第二章线性规划

3运筹学的主要内容线性规划非线性规划整数规划多目标规划动态规划图与网络模型存储论排队论对策论决策分析排序与统筹方法随机规划模糊规划预测§1.2运筹学的数学模型模型的定义:模型是一件实际事物或情况的代表或抽象。实际事物是A，若B能够真实地描述A，则称B为A的模型。数学模型就是用字母、数字和运算符号将系统或过程的某些特征及相互关系表达出来，他试图定量地表示系统的各种关系，以便对系统和问题进行量化分析。第2章线性规划线性规划问题可行区域与基本可行解单纯形方法初始解对偶性及对偶单纯形方法灵敏度分析§2.1线性规划问题线性规划问题举例线性规划模型1线性规划问题举例生产计划问题运输问题营养配餐问题资金使用问题1线性规划问题举例（一）某工厂拥有A、B、C三种类型的设备，生产甲、乙两种产品。已知条件如下表所示：

产品甲产品乙设备能力设备A3265设备B2140设备C0375利润（元/件）15002500

问题：工厂应如何安排生产可获得最大的总利润？1线性规划问题举例（一）解：设生产两种产品的数量分别为x1,x2，总利润为z.目标函数约束条件1线性规划问题举例（二）设要从甲地调出物资2000吨，从乙地调出物资600吨，从丙地调出物资500吨，分别供应给A地1700吨、B地1100吨、C地200吨、D地100吨。已知每吨运费如下表所示。1726384315375151乙1572521甲DCBA销地产地单位：元/t丙假定运费与运量成正比例，问怎样才能找到一个总运费最省的调拨计划？2321341600500170011002001002000供应量供应地运价需求量需求地212571551513715433826171线性规划问题举例（二）1726384315375151乙1572521甲DCBA销地产地丙x22x11x12x13x21x23x31x32x33x14x24x341线性规划问题举例（二）用(i=1,2,3;j=1,2,3,4)分别表示从甲乙丙三个产地运往A,B,C,D四个销地的物资数量。1线性规划问题举例（二）1线性规划问题举例（二）简化表达式1线性规划问题举例（三）假定一个成年人每天需要从食物中获得3000千卡的热量、55克蛋白质和800毫克的钙。市场情况见下表。问如何选择才能在满足营养的前提下使购买食品的费用最小？食品名称热量(千卡)蛋白质(克)钙(毫克)价格(元)猪肉鸡蛋大米白菜100080090020050602010400200300500309631线性规划问题举例（三）解：设xj为第j种食品每天的购入量，则配餐问题的线性规划模型为：

minz=30x1+9x2+6x3+3x4s.t.1000x1+800x2+900x3+200x4300050x1+60x2+20x3+10x455400x1+200x2+300x3+500x4800

x1，x2，

x3，x401线性规划问题举例（四）设有400万元资金，要求4年内使用完，若在一年内使用资金万元，则可得到效益万元，（效益不能再次使用），当年未使用的资金可存入银行，年利率为10%，试制定出资金的使用计划，以使4年资金效益之和最大。1线性露规划类问题邮举例窗（四毛）设变量分别表示第年所使用的资金数解：1线性凳规划汇问题素举例鼻（四池）线性锹规划略问题埋的结槽构特纵征都有柱一组斤决策贴变量汉；都有版一组肉约束私条件窗，它辫们是线性等式峰或不幼等式变；都有椅一个振确定忆的目览标，缠这个使目标泥可以沈表示攻成决糟策变追量的线性函数悟，根单据问征题不深同，姻有的拒要求景实现世极大异化，童有的齐要求所实现弃极小岩化。线性刷规划粘问题严的本于质：亮研究拆在一限组线性约束室下，尸一个线性函数某的极枯值问谢题。2线性闸规划惜模型一般傻形式标准冰形式形式皆转换2线性爆规划柄模型柳（一眯般形汪式）目标惯函数约束就条件2线性况规划否模型慕（标通准形鸽式）mi肉nz=c1x1+c2x2+结…狐+cnxns.巷t.a11x1+录a12x2+叶…赏+凤a1nxn=衣b1a21x1+僚a22x2+海…粒+拌a2nxn=涛b2……革…腊…am1x1+睁am2x2+愿…有+amnxn=bmx1，x2，…，xn≥0目标谣函数约束箱条件2线性找规划余模型尺（标巴准形报式）2线性看规划嗽模型参（标摸准形殖式）用向量表示用矩阵表示2线性喝规划凤模型择（标崇准形串式）2线性性规划滔模型犹（标缝准形侍式）标准供形式捞的特慢点：目标登函数万极小侍化约束挡条件摊全部酿是等资式所有雀的变容量都够是非障负的2线性多规划谋模型识（形房诚式转头换）令xj=xj-xj，对皱模型铅中的炼进行烘变量优代换讲。⑴目爬标函姥数为ma掠x经z=致c1x1+c2x2++歼cnxn令z=-z,变为mi盯n剃z=-c1x1-c2x2--cnxn⑵约善束条腔件为a11x1+a12x2+尘+a1nxn≤b1加入服非负锋变量xn+1，称虽为松损弛变谷量，吓有a11x1+a12x2+原+a1nxn+xn+1=b1⑶约需束条吗件为a11x1+a12x2+深+a1nxn≥b1减去倚非负础变量xn+1，称虑为剩贩余变辰量，糊有a11x1+a12x2+刻+a1nxn-xn+1=b1⑷变强量xj无约卸束。2线性母规划某模型唇（形非式转之换）例：缴将如萌下线腥性规盘划问皆题化例成标昂准形议式：§2折.2可行卧区域捕与基疫本可卸行解基本那概念图解滨法求亚解两荐个变悟量的屿线性南规划遮问题可行残区域既的几框何结排构基本更可行勉解及波线性蔽规划今的基刘本定虹理1基本趴概念1基本乳概念对于蛾标准译的LP问题泼来说满足这两个条件的x是可行解或者可行点三者皆满足是最优解2图解证法求剃解两棋个变权量线育性规碰划问联题（1）ma桑x巡寿z遍=x1+3寇x2s.杀t.泰x1+x2≤6-x1+2烈x2≤8x1,漫x2≥0可行值域目标萌函数译等值愁线最优创解64-860x1x2最优伤解为x=(浓4/愈3,来14跑/3联)T最优汪值z=4贡/3货+1粗4=队46蛙/32图解轻法求剖解两笨个变雹量线孔性规斗划问缸题（2）ma行x套z=3x1+3填x2s.烂t.佳x1+宅x2≤6-x1+2只x2≤8x1,诸x2≥0可行叔域目标驼函数奶等值遇线64-860x1x2最优洋解?最优趋值?2图解榨法求须解两块个变碗量线镰性规校划问蔽题（3）ma芒x缎z=3x1+3赤x2s.录t.培-x1+2错x2≤8x1,圆x2≥0可行嘱域目标膀函数筛等值泳线4-80x1x2最优栗解?最优万值?minz=3x1+3做x2?2图解而法求甘解两必个变添量线弯性规谊划问昏题（4）ma谅x卧z=3x1+3渠x2s.果t.幻玉-x1+2益x2≤8x1-2挡x2≤-悔9x1,懂x2≥0可行霜域?2图解筒法求米解两丘个变生量线届性规拖划问脆题——在边挪界，伏而且示是在筐某个散顶点葛获得朵。——多边奖形，乘而且蜜是“蹦凸”傲形的略多边变形。线性拣规划胶的可晶行域酱是一柿个什签么形缓状？最优触解(如果岩存在)在什督么位季置获触得？两变康量线殊性规劲划问叨题解鼠的性霉质2图解胡法求眉解两颤个变矛量线藏性规伤划问基题1）唯雄一解2）多失重最博优解3）无印有限且最优乘解4）无青可行氏解求解搏线性钞规划焰问题筒可能学出现遇哪些呆情况届？3可行运区域侨的几授何结否构基本榆假设凸集可行皱域的尽凸性问题3可行子区域竭的几番何结恩构（终基本残假设勇）3可行宋区域侄的几逢何结吗构（狱凸集霞）3可行谋区域毁的几弯何结饭构（馋凸集蛇）3可行详区域忘的几级何结储构（境凸集筋）3可行堪区域需的几兽何结爸构（矩凸集描）定义2.2.4：设为凸集，如果对任意和任意，都有则称x为S的顶点。3可行惰区域悄的几构何结锈构（瓦可行务域的云凸性踪蝶）定理2.2.1是凸集。定理2.德2.镜2任意饭多个慈凸集牺的交扎集还凑是凸盯集。3可行惧区域搬的几魔何结牌构（子可行睛域的拿凸性科）3可行扶区域面的几游何结僚构（看问题事）4基本唤可行名解及请线性屿规划增的基能本定茄理定义基本顷定理结论问题4基本偿可行辆解及技线性针规划歇的基舱本定预理（象定义阿）基(基阵)：设B是秩中为m的约称束矩洒阵ARm狮n中的异一个m阶满撕秩子符方阵筋，则庸称B为一劝个基（基阵）。基向缩慧量：B中m个线坚性无察关的首列向吹量称晒为基向视量。基变珍量：变量x中与举基向已量对趣应的m个分接量称涂为基变鲁量.其余扑的分退量称作为非基异变量。基本斥解：令所俯有的讨非基叨变量青取值势为零允得到宴的解疾。基本提可行宏解：既是牧基本欣解又该是可碌行解像。可行勤基：基本堤可行混解对怨应的粗基B。=目标舰函数约束佣条件基矩默阵右边威常数=基变迎量4基本宇可行刃解及炎线性关规划撇的基缩慧本定制理（怨定义陈）基本劳解基本荡可行其解可行粥基4基本六可行捷解及眨线性街规划宗的基件本定朝理（奴定义荒）例：线考虑雪如下输线性典规划撇问题表，用扒图解功法求雹解，酬并把寺它化巴成标据准形扣式，穿且指吗出基吴、基队解：4基本扛可行愁解及上线性凉规划期的基支本定标理（活定义飘）0x1x24基本检可行享解及刻线性竟规划拾的基冰本定音理（滴定义贸）4基本浴可行脱解及糠线性缓规划转的基奖本定定理（酸定义棍）0x1x2（0，0）（4，0）（4，2）（0，4）（8，0）4基本您可行仿解及柜线性序规划纵的基持本定剂理（欲定理裳）4基本厉可行退解及深线性酷规划笔的基揉本定粘理（嚼结论酷）线性浩规划私问题偿的可仓行域佩是凸俱集。基本谅可行律解与汤可行叙域的猴顶点掩对应车，可曲行域疲有有感限多室个顶绘点(基本缴可行惨解)。最优乖解一抛定可义以在席某个爪顶点支上(基本靠可行个解)得到染。非可冻行解可行架解基可损行解基解最优请解？4基本虚可行壳解及吓线性爱规划皂的基脊本定排理成（结预论与防问题颂）4基本肆可行我解及俩线性太规划万的基喝本定司理（与总结验）求解LP的基这本思区路1、构滴造初杂始可般行基割；2、求放出一芦个基脑可行直解（阔顶点脏）；3、最伟优性宁检验荐：判壶断是猎否最手优解铺；4、基放变换针，转2。要瞧保证财目标杆函数牛值比括原来舍更优斜。§2冷.3单纯获形方镇法19打47年由Da皆nt疤zi蔬g提出染，被圈称为20世纪径最好惠的十趋个算冻法之责一，最是迄众今为隶止解岁决线假性规迁划问棚题的顷最成朗熟的颗方法英。§2皮.3单纯械形方桂法典式基本强定理单纯翁形方虽法单纯际形表安（单捧纯形箭方法闸的实凶现）=1典式(定义)=1典式勺（定陪义）001100010=0001典式静（定壤义）典式猜的特甩点：1、约束策条件桥中含宋有一滩个单鼓位矩扛阵；2、目性标函科数中督不含膛基变纷量。000001100010=1典式戒（定羡义）000001100010=1典式创（例舍）1典式款（定花义）问题段：如年何判僚断一圈个基籍本可炉行解眯是否欣为最辩优解座呢？典则泰形式墙的LP问题配中，发目标背函数兄中的抗变量蛇系数号的符塌号，对于悉判断仙某一观个基推本可慰行解既是不料是最犬优解啊非常姿重要尾。本例中是什么？典则仇形式化的LP问题滔中，健目标酷函数型系数聚向量挎的负桐向量历。称为检验数向量.2基本锦定理定理2.3.1例如门：2基本黎定理例如物：定理2.3.2则原问题无界。2基本严定理例如疮：定理2.3.3对应则2基本滴定理定理2.悟3.维4对于卵任何挠非退折化的固线性泳规划任问题循，从宴任何斗基本智可行栗解开千始，胀经过图有限蜓多次娘迭代刻，或夺者得什到一浮个基秤本可怜行解悼，或肺者作斗出该诉线性岛规划极问题框无界丘的判洽断。3单纯短形方喇法St奋ep今1将线至性规乞划问俱题化眼成典救式,求出菠各个傲非基开变量芬的检历验数刷。St杯ep评2判断皇所有势非基蹈变量饲的检桑验数系是否毁非正,若是,则结兼束；狭否则伪转st砌ep治3。St炸ep好3选取脆一个训检验钟数大爱于零婶的非蹈基变脆量为衣进基碍变量坝；St朝ep鄙4若进窄基变藏量所渣对应御的约径束条点件系献数全灭为非现正数,则原泽问题持无界,结束轻；否抓则,按最阅小比兆值原率则确勿定出昨基变谦量；St地ep窗5进行校迭代(用方阴程组此的初艘等行变换比法确纹定新醉的基赤对应闪的典赚式及北检验羊数),转st需ep纤2。4单纯阀形表例1求解LP问题Z01-2000x1x4x51-210001-31001-101212x1x2x3x4x5RH民SZ01-2000x1x4x51-210001-31001-101212x1x2x3x4x5RH学SZ001-10-1x1x2x510-52001-310002-11411检验洗数转轴标元Z001-10-1x1x2x510-52001-310002-11411Z000-0.5-0.5-1.5x1x2x3100-0.52.5010-0.51.5001-0.50.56.52.50.5最优炕解：x*=(选6.寇5,响2隙.5哄,倦0.州5,课0恢,些0)T最优旦值：z*=旧-1富.5例2：解LP问题4单纯刘形表Z012000x1x2x3100-0.52.5010-0.51.5001-0.50.56.52.50.5x1x2x3x4x5Z0001.5-2.5-3.5x1x2x3100-0.52.5010-0.51.5001-0.50.56.52.50.5分此问劲题无途界RH疲S例3：解LP问题4单纯掠形表Z0000-118x1x4x2101000031-101-3/201/2463x1x2x3x4x5Z0000-118x1x3x2100-1/31/30011/3-1/30101/20226罪此问电题有煮多解块。RH彻S§2扶.4初始遮解（煌两阶叉段法粥）问题颤：线息性规卫划问题拨化为腾标准胁型时册，若约挽束条野件的蹄系数矩阵重中不味存在霉单位矩阵避，如痕何构梨造初始袍可行屯基？§2恐.4初始草解（日两阶闲段法期）第一槐阶段蔑：加入潜人工能变量,构造片初始拳可行种基.用单蚀纯形衣法求晨解,若g=0,进入赛第二盈阶段,否则,原问题无喂可行栋解。第二悼阶段：去需掉人窑工变妈量，稳还原撒目标恐函数拜系数市，做出初势始单隔纯形粒表。例：安求解醋下列慨线性骑规划始问题将原息问题象化成婆标准酬型：解:化标准型用两国阶段物方法航来求辱解。第一螺阶段的线列性规央划问谈题为x1x2x3x4x5x6x7g00000-1-10X4X6X71111000-21-10-1100310001419RH门Sx1x2x3x4x5x6x7RH舟Sg-2400-10010X4X6X71111000-21-10-1100310001419

g60403-406X4X2X730211-10-21-10-11060403-31316g00000-1-10X4X2X10001-1/21/2-1/2011/30001/3102/301/2-1/21/6031x1x2x3x4x5x6x7RH龄S得原铃问题鄙的基鸭可行辨解X=疲(1婆,3例,0杨,0咸,0沾,)T。第二邮阶段腥：将上病表中纲的人尝工变用量去升除，喂目标浪函数欣换成誓原问钻题的泥目标酸函数江从上纸表的骨最后职一个杂单纯且形表女出发至，继于续计厘算。Z-301000X4X2X10001-1/2011/300102/301/2031x1x2x3x4x5RH寄SZ00303/23X4X2X10001-1/2011/300102/301/2031Z-9/2000-3/4-3/2X4X2X30001-1/2-1/2100-1/43/20103/405/23/2x1x2x3x4x5RH庆S得原逮标准百线性刺规划晓问题愈的最岩优解X=（0，5/民2，3/屿2，0，0）T，最优宫值是-3跳/2。所以糠最初映的线妻性规吸划问注题的影最优决解X=（0，5/磁2，3/社2）T，最优如值是3/助2。例：章求解惩下列匙线性嫩规划疤问题将原脱问题脂化成洞标准姑型：解:化标准型用两璃阶段浅方法干来求槽解。第一西阶段的线鹅性规签划问胃题为x1x2x3x4x5x6RH趣Sg0000-1-10X5X6X431001043-1001120100363x1x2x3x4x5x6RH菠Sg74-10009X5X6X431001043-1001120100363g05/3-10-7/302X1X6X411/3001/3005/3-10-4/3105/301-1/30122x1x2x3x4x5x6RH经Sg05/3-10-7/302X1X6X411/3001/3005/3-10-4/3105/301-1/30122g00-1-1-200X1X6X2100-1/52/5000-1-1-110103/5-1/503/506/5g00-1-1-200X1X6X2100-1/52/5000-1-1-110103/5-1/503/506/5x1x2x3x4x5x6RH及Sg0000-1-10X1X3X2100-1/52/5000111-10103/5-1/503/506/5第二矩阶段傲：将上拨表中呈的人欲工变按量去抚除，垦目标混函数探换成杀原问未题的感目标溪函数妖从上柄表的遇最后编一个华单纯恳形表冈出发佩，继溉续计名算。z-4-1000X1X3X2100-1/500110103/53/506/5x1x2x3x4RH途Sz000-1/518/5X1X3X2100-1/500110103/53/506/5所以歉最初典的线佛性规智划问遮题的树最优湾解X=刻(3帆/5，6/姨5)T，最优临值是18痕/5。例：幻玉求解饲下列雹线性牢规划素问题将原洗问题巡寿化成偿标准丢型：解:化标准型用两淋阶段晌方法帖来求致解。第一捞阶段的线裙性规妈划问巴题为x1x2x3x4x5x6RH娱Sg0000-1-10X5X62-3-1010-110-10123x1x2x3x4x5x6RH足Sg1-2-1-1005X5X62-3-1010-110-10123g0-1/2-1/2-1-1/204X1X61-3/2-1/201/200-1/2-1/2-11/2114原问乐题无疲解。两阶代段方须法总拘结第一怨阶段家结束绞时，行辅助饶问题猾目标扮函数栗值大裤于0，原瓶问题集无解域；第一叶阶段备结束薪时，晶辅助型问题折目标寺函数茶值等导于0，且示人工营变量换都是站非基杨变量沉，那竿末，垒所得粒基本鄙可行识解为错原问迷题初牧始基钟本可俭行解划，去摊掉人登工变掩量，闷目标债函数蛮行换孝为原寇问题融目标胡函数止，继皮续求勺解。第一藏阶段古结束危时，氏辅助饲问题仪目标芦函数塞值等鹊于0，但辩是人师工变垂量不绕都是比非基继变量哲，那患么令浙其强谢行出茂基，呈然后背继续宫求解山。小母结线性常规划谣问题图解怠法只有白两个钞变量约束循矩阵A中含财有一些个m阶的热单位机矩阵右端扮向量渐非负单纯礼形方繁法约束稍矩阵A中没挂有一饲个m阶的书单位筹矩阵两阶阳段法§2暖.5对偶友性及远对偶喜单纯较形方怪法对偶井问题席的提客出原问拣题与斜对偶袖问题晕的数恳学模耐型原问贱题与容对偶稍问题巡寿的关藏系对偶柳单纯丹形法1对偶底问题掏的提军出例：轮某家岛电厂罩生产千两种赖产品鸭，有表关数南据如患下表饥：设备A设备B调试工序售价（元）0612521115245产品Ⅰ产品Ⅱ资源如何努安排爽生产努，使获渗利最军多？厂家1对偶载问题愚的提俊出设备A设备B调试工序售价（元）0612521115245产品Ⅰ产品Ⅱ资源收购付出翠代价最小肿，且踪蝶对方能接添受。出让钳代价堵应不机低于用同尝等数炕量的湾资源自己篮生产夺的收开益。1对偶护问题夫的提斧出收购厂家一对对偶问题2原问遇题与预对偶菠问题偏的数许学模拉型其它肯形式的对始偶?2原问融题与变对偶歇问题倘的数窝学模狸型原问挠题（P）对偶栏问题难（D）例回写计出线对性规删划问就题的畏对偶宵问题天：2原问贞题与虏对偶兰问题摊的数兴学模淹型3原问捧题与闲对偶巷问题份的关踪蝶系收购厂家一对对偶问题3原问忙题与接对偶途问题信的关四系z000-1/4-1/2-17/2x3x1x20015/4-15/21001/4-1/2010-1/43/215/27/23/2y-15/200-7/2-3/217/2w2w3-5/410-1/41/415/2011/2-3/21/41/23原问种题与每对偶胁问题轰的关膝系原问壁题与树对偶遣问题忍在某储种意恳义上卧来说胀，实善质上麻是一昼样的，失因为岔第二嫁个问充题仅迟仅在称第一鞋个问捕题的娱另一般种表偷达而已仰。理论词证明愁：原问暑题与迫对偶项问题紫解的僻关系3原问风题与建对偶架问题诊的关筑系定理2.点5.凤2对偶凉的对寨偶为堡原始免问题持。（稼对称氧性）3原问碑题与桥对偶烂问题铺的关巴系定理弱对偶定理（弱对偶性）：设和分别是问题（P）和（D）的可行解，则必有3原问贸题与湖对偶略问题喊的关乌系定理2.把5.村1如果锹一个LP问题伤有最毕优解睬，则怎它的盖对偶挂问题翁也有顶最优解解，都且它焦们的找最优此值相刑等。厘（强耐对偶席定理汉）推论障（最优世性判般别定蔽理）原始爸问题爆和对墙偶问然题的省可行暂解x,悟w分别婚是最谎优解具的充霉要条始件是cTx=wTb。无界（对偶）无可行解（原始）3原问猾题与浴对偶废问题错的关门系3原问唤题与钟对偶鹿问题挺的关渡系显然勤，这扔两个夺问题蓬都无堪可行予解。综上盲所述庭，一斑对对蕉偶问映题的后关系强，只耕能有缺下面尸三种某情况谁之一靠出现欢：都有碧最优灾解，韵分别繁设为X*和Y*，则安必有CTX*=bTY*；一个灰问题扣无界妹，则田另一称个问谣题无序可行军解；两个离都无患可行芽解。3原问蜜题与长对偶遣问题恰的关津系定理2.辛5.比3原始LP与其届对偶庆必为录下面湖三种韵情况神之一铺出现PD有最优解问题无界无可行解有最优解(1)

问题无界

(3)无可行解(3)(2)3原问擦题与榴对偶团问题粘的关踏系定理2.糕5.协4设x和w分别臭是原隐始问装题和珠对偶龟问题妨的可显行解万，则技它们疾是原锹始问茂题和翠对偶径问题归的最机优解当的充舰要条孩件是搭对一期切i=北1,唐2,鹅…,位m和一影切的j=宿1,砍2,苹…,浮n有3原问脾题与细对偶从问题烟的关演系4对偶威单纯川形方掌法基本没思路对偶寻单纯办形方过法计竟算步康骤4对偶陶单纯棋形方天法（赖基本买思路麦）对偶蜡单纯扩形法婚是求掘解线活性规挠划的卡另一娃种基讯本方饲法。逗它是资根据井对偶末原理橡和单寺纯形吧法的申原理壁而设弄计出加来的殖，因猛此称念为对龟偶单艺纯形照法。湖不要目简单容理解荡为是慨求解今对偶牢问题惜的单害纯形位法。4对偶样单纯笑形方妥法（筹计算隐步骤件）例：解：员将原直问题勒化成笛标准光形：0闲-6蚕-黑1壮1科0邻-讲2-1旦5闭-2既4面-5诞0匙04对偶林单纯更形方植法（狼计算掩步骤耽）z

2-5臭-各2韵-1黄0佳1殃-1x4x5x1x2x3x4x5RH元S4对偶每单纯貌形方险法（蔑计算贸步骤侄）z-15-24-5002x4x50-6-110-5-2-101-2-1z

x5

0词1桥1联/6吩-猫1/云6扑0淡1废/3-5胶0绞-节2/披3爪-1份/3步1贡-厦1/皆3x2-1言5应0格-1测-单4忙0淡1咐0x1x2x3x4x5RH出S4对偶化单纯针形方惕法（鲜计算脚步骤舞）z-150-1-4010x2x5011/6-1/60-50-2/3-1/31

1/3-1/3z-15/200-7/2-3/221/2x2x3-5/410-1/41/415/2011/2-3/2

1/41/2x1x2x3x4x5RH滋S§2垂.6灵敏肆度分炸析灵敏督度分勿析概非念如何援进行伴灵敏肤度分疮析价值忘向量轧的灵裤敏度坦分析右端绸向量速的灵蓝敏度浴分析Cj——市场哄条件aij——工艺瞎技术斑条件bi——根据丸资源确投入湾后能卫产生拼经济喉效果冰来决匆定的坡一种仇决策透选择灵敏经度分至析是指迷对系欢统或糊事物惭因周判围条香件变劝化显痰示出汽来的迫敏感四程度扛的分顽析。1灵敏钉度分梁析概偷念灵敏畅度分腔析解巡寿决什摘么问半题？当线跟性规泽划问带题的内参数aij，bi，cj中一厉个或帝几个做发生改轰变时列，线牵性规烧划问匹题最优司解变隶化的龙分析；或惑上述参数般在多疫大范言围内膀变化时，器线性兼规划紧问题兵最优耗解不变匠的分断析。1灵敏桨度分讲析概颈念2如何山进行量灵敏腔度分悄析1、根胁据改诞变后爬的参效数生警成新串的问某题，出用单录纯形门法从象头计森算，矛看最愤优解购是否兰改变六；2、将琴改变娘后的恼参数避直接浅反映钞到原歉线性芬规划啄问题柳的最松终单扎纯形比表中串，看姻最优骨解是舰否改唯变。（采充用此爽方法艇）2如何与进行娇灵敏原度分丸析3价值课向量虫的灵排敏度快分析例线性惕规划最优泳单纯毁形表挪：z0-1/20-11/4-9/431/4x3x10-1/21-1/41/41201/2-3/2

1/41/2x1x2x3x4x5RH饲S1、若c2=1，求腊新的史最优碌解；若c3=5，求贼新的歉最优火解。2、确桐定x1的系禽数c1的变朝化范燥围，罚使原亡最优贿解保伞持最赛优。3价值涉向量浩的灵哑敏度卫分析z-5-1-21000x3x10