第五章刚体的转动改

第五章刚体的转动§5-1刚体的平动、转动和定轴转动§5-2力矩转动定律转动惯量§5-3转动动能力矩的功§5-4角动量角动量守恒定律理解描述刚体定轴转动的基本物理量的定义和性质；理解力矩、转动动能和转动惯量的物理意义；掌握定轴转动的转动定律和角动量定理；掌握定轴转动的机械能守恒定律和角动量守恒定律。教学要求§5-1刚体的平动、转动和定轴转动一、刚体（理想模型）刚体上的任一直线，在各时刻的位置始终保持彼止平行的运动，叫做平动。因为在平动时刚体上各点的运动轨迹、各时刻的位移、速度、加速度都相同，整个刚体可当作质点来处理。二、平动和转动（刚体的二种基本运动形态）1、平动在任何外力作用下，形状大小均不发生改变的物体称为刚体。或者说运动中物体上任二点的间距不变。1.理想模型；2.在外力作用下，任意两点间均不发生相对位移；3.内力无穷大的特殊质点系。AB刚体的平动如果刚体上的任意一条直线的方位在运动中变了，则称刚体作转动。若轴线固定不动，则称定轴转动。2、转动

刚体的一般运动可视为平动和转动的合成运动。如：滚动—轴心的平动+绕轴心的转动抛体—质心的抛物线运动+绕质心的转动进动—绕转轴转动+转轴绕定轴的转动描述刚体定轴转动的物理量1.角位置，角位移yx0P(t)P(t+dt)d运动方程：角位置：位矢与ox

轴夹角。角位移d：dt

时间内角位置增量。1、刚体上各质点的角位移，角速度和角加速度均相同；2、各质点都在垂直转轴的平面内运动，且作圆周运动。圆心在转轴上。三、定轴转动刚体定轴转动的特点：定轴转动只有两个转动方向。3.线量与角量的关系方向垂直于和组成的平面2.角速度和角加速度规定：位矢从ox

轴逆时针方向转动时角位置为正，反之，为负。yx0△θ△s若是定值，刚体的运动称为：若是定值，刚体的运动称作：匀角速转动匀变速转动（或匀加速转动)刚体的定轴转动的公式与一维直线运动的公式相似：为恒矢为恒值例1、一飞轮作减速运动，其角加速度与角速度关系为解：⑴ω0α=-

kω，k为比例系数，设初始角速度为ω0。求：

⑴飞轮角速度与时间的关系；

⑵当角速度由ω0→ω0/2时，在此时间内飞轮转过的圈数。(2)当角速度由ω0→ω0/2时,所需时间为t：在此时间内车轮转过的圈数=一、力矩

1、定义：转轴到力的作用点的矢径与作用力的叉积。力矩的表示式：大小：2、注意：①合力矩≠合力的力矩合力矩=力矩的和(矢量和）（对定轴转动而言为代数和）

②合力为零，合力矩不一定为零方向：F1F2

转轴（F1=F2）§5-2力矩、转动定律、转动惯量合力矩为零，合力不一定为零④当力不在垂直于转轴的平面内，只有对转轴力矩有贡献。问：一对作用力与反作用力的力矩和等于多少？零由此推知：质点组对任一轴的内力矩之和为零。F1F2力矩合力③中心力（过转轴的力）的力矩≡0。力矩：垂直和构成的平面。中学表为：合力矩：M只有两个方向，可用正、负表示。而且有：与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩；与转轴平行的力对转轴不产生力矩；刚体内各质点间内力矩的合为零。归结起来：odP∥⊥力矩是改变转动状态（即产生角加速度）的原因。转动物体也有保持原有转动状态不变的惯性——转动惯性，实验发现：物体的角加速度与力矩成正比，与转动惯性成反比。若用J表示转动惯性（J称为转动惯量）则有：在国际单位制中，k=1则上式为它说明了力矩的瞬时作用规律。转动定律相当重要，其在转动中的地位就相当于质点运动中的牛顿第二定律。二、转动定律把刚体看作质元的集合，对用牛顿第二定律的切向式与法向式。设一刚体绕定轴转动，某质元受内力和外力作用转动定律可由牛顿第二定律推求：矢量式：法向式：切向式：转轴以遍乘切向式两端：将遍贪乘悼后的张切向热式求绑和得糠：刚体慌所受慢的合百外力尾矩：（内绿力不幕改变呜角动眼量）定义：转动煎定律注意：（叶1）M,J,均对料同一孙轴而执言，出且具乞有瞬煎时性；（2依）改无变刚兴体转碑动状针态的剑是力窜矩；（3识）转剧动惯槐量是猴刚体政转动扰惯性汪的度蜡量。牛顿洪第二防定律穗与转贷动定铲律的约对应摊关系物理怒量：盆质点m刚体JM规织律：茎质点肉牛狮顿第躲二定俘律刚体罗转考动定围律不一代定例：射问：议力矩M大，青是否大？不一宝定大，继是否M大元？（M大，大，的变貌化大取。可为尿0）（大，珠并不榨代表愁它的糠变化壁大，谋有可伍能它血的M=帖0，匀角辽速转痕动。奋）对分旷离的蒸质点敬组：2、转动供惯量赖的物惯理意握义：J是描昌述刚稠体转贷动惯背性大危小的简量度锅。三、既转动备惯量1、光转动粱惯量菠的定赖义：对单趟个质北点：m1r1m2r2m3r3转轴对质秋量连发续分冶布的呀刚体淡：转轴dmJ=mr2，r为质响点到蹄转轴医的距旗离。①与刚保体的秋总质俭量有浓关②与质顾量的趋分布懒有关③与转乘轴的映位置州有关4、转动似惯量J的计算握方法：（可将伯质量逆元变附为线紧元、婶面元司、体理元积桐分求变得）3、J与下骄列因波素有咸关：例1、有菜一均园匀细逗杆，附杆长乓为l，质量宪为m，c为杆裤的中耻点。笨设转宵轴oo’通过c点且借与杆洒垂直径，杆延绕轴率转动倍，求败转动下惯量Jc=？解：评取x轴方势向如犁图，罢杆的裳线密破度为叉=m/l，取小坟质元dm=吓dx，则0x0’0xdxC若将勉转轴封移到A点，仓求JA=？仍有盘小质奥元dm浅=dx，（=照m/社l）x0’xdxA0C可见皱转轴庙不同致，转翻动惯荡量是室不同偿的。泄那么需将转崖轴从C点平敲行移润到A点转促动惯骆量改需变了私多少新？移项忌得：JA=绩JC+md2x0’xdxA0Cdd是转轴0’0到质牌心的辽距离惹。刚体晒对某浇轴的垃转动橡惯量J，等于眼刚体档对通扇过质爸心的平行愤轴的转内动惯辜量Jc，加上析刚体泼质量m乘以创两平饶行轴吵之间甜的距障离d的平孝方。序即：dCB过质心平行轴平行蝴轴定守理：圆环转轴通过中心与环面垂直圆环转轴沿直径圆盘转轴通过中心与盘面垂直圆筒转轴沿几何轴圆柱体转轴沿几何轴圆柱体转轴过中心与几何轴相垂细棒转轴过中心与棒相垂细棒转轴过端点与棒相垂球体转轴沿直径球壳转轴沿直径几种宏常用疲简单课几何前形状增、密贷度均劣匀物殿体的低转动躲惯量例2、质量浆为m、长度熟为l的均红质细持直棍，对富通过并其中丛心O且与糊棍斜靠交成避角的厅轴的呼转动信惯量夕。解：山取OX轴如烦图所每示，振则棍相上任一段变元dx的质允量欢，至转脖轴的吹距离转动罩惯量这：XdxOrx②过俱棒一修端O’、仍与畏棍斜抱交成营角的轴究的转娱动惯将量Jo’。讨论晶：①当床时，盒即筹为棍地对于疫过它将的中箩心且晨与棍垂坟直的贩转轴平的转价动惯轰量。XdxdOrxO

’由平功行轴楼定理萄：例3、求辉质量详为m，半径神为R的细宣圆环富对过规环心港垂直则于环晨面的姨转轴边的转袭动惯需量。解：予圆环肿的线止密度耽为敢=m/巴2盆R环上却取小紫质元dm杰=惯d换l拴=迹R姥d颗则dld轴例4、求遵质量个为m，半径惯为R的薄栋圆盘努对过轻圆心概垂直睁于盘隙面的膝转轴自的转狂动惯埋量。解：蜜圆盘箱的面孕密度泳为慕=m/跟R2取一检半径班为r，宽为dr的圆钢环为也质元dm=着2rd盆r注意烛：转动氏惯量云的计挪算只稠能对尊规则砌物体铅进行奇，不圣规则鬼的物概体的季转动蝇惯量舞通常敬只能伐用实炭验的主方法妥测量吴。rdr轴即圆砖盘对牧其中亚心轴杆的转渔动惯钳量为J墓=m耳R2/2。例5、如脆图所犬示，沉求大史圆盘庄的实国心部柔分对O轴（茧垂直块于盘党面）漂的转造动惯择量。也（惹已知调大盘禽半径R=块2r，质量辉为M）解：裁先将螺小盘唯补上乐面密惰度相损同的交刚体切，使观之质丑量变春为M’，而小拼盘的气质量趋为m，由于畅转动配惯量谎有可属加性污，可痰以先尽分别借求出段大盘士和小皆盘对O轴的碰转动尿惯量们，再革把小门盘的祖除去孔即得剩大盘笨实心捎部分恩对O轴的某转动佳惯量揪。补齐掏后大白盘对O轴的僵转动幅惯量漏：J1=萄M’R2/2小盘勉对O轴的躬转动钓惯量防：J2=馒mr2/2+伶mr2=3mr2/20RMrrm所以嗓实心叼部分社对O轴的弃转动舱惯量惩为：例6、一收质量汁为M、半径捎为R的定耗滑轮洪上面柜绕有作细绳童，绳介的一姐端固仅定在拐滑轮群上（伤略去鼻轮轴挨处的减摩檫撇，绳稼不可箱伸长拼不计葬质量陵），耀另一错端挂弄有一畜质量否为m的物斤体而剧下垂蹲。求牺物体m由静亚止下遮落h高度都时的背速度哪和此蹦时轮自的角牢速度引。解：薪①对基象：M刚体m质点②受霜力分猜析：语如图朴所示③依英牛顿撕第二悬定律根与转倘动定魂律列检方程露（注努意T1=T2=T）对物浙体有里：mg-T会=攀m惕a对滑记轮有援：TR=J=M燃R2/2角量窗和线扔量的俱关系晃：a困=跨R运动张学关罚系：v2=v02+2ah蛙=2ahhT1T2mgmmM④解甩方程扁得：在该蜡题中变如果幸在滑蚊轮上由加一泊恒力金矩，加使物制体以v0的速引度匀优速上渡升，科撤去盘力矩象后，况问过唉多少糖时间借后滑立轮开镇始反催向运研动？解：乐分析般：撤邀去力伟矩后拘，滑胞轮和岩物体题受力壶和前签面完笋全一妨样挂。因骑此对该物体搜应用阵牛顿亮第二翠定律斗和对贴滑轮递应用肢转动政定律栗的形独式完苗全一工样。T1T2mgmMv0对物穴体有置：mg-T诊=墓m剑a①对滑趁轮有岸：TR=J=MR2/2富②角量卵和线睬量的贡关系务：a绪=泻R③运动相学关理系：v=v0+恋at挥=首0④由第征1、身2、衡3个随方程昂可解纪得：由第己4个歼方程御可解阶得：T1T2mgmMv0右图森中，件滑轮橡两边炉张力棉不相宿同横，两物坑体的鱼加速常度相锻同。傅（绳眉不可阻伸长铲）M1m1m2T2T1T2T12aam1gm2gM2TT1Mm1m2T1T1aam1gm2gT2T2解：（1）选细杆、刚体为研究对象受力与受力矩分析如图由转动定律有方程：（2磁）由于槽力矩M=尚m愚g（l摆/2存）co或s属变漏力矩冒，故煮由求角钟速度时用铸积分匪法。得例7、质精量m、长为l的均昌质细涨杆，名可绕撕过固娘定端O的水衔平轴排转动衡，将袖杆从薪水平欲位置侄由静膨止释颜放，神如图姿。试砌求：吴⑴转链到任鹿一角时，弱杆的些角加古速度等于倦多少纸？⑵此时络的角强速度等于进多少惠？lrmgO②当普=爬/2（杆熟转到怎竖直睡位置功）时夕，讨论齐：①越小市，值越多小；越大姨，值越腿大。所以抄刚体颈的转蚊动动专能:一、恭转动粒动能刚体盾转动叫时，幼各质扒点都后绕定菌轴作汤圆运建动，灭都具斑有动域能。邮刚体魔的转惕动动遗能就抓等于吗刚体更中所顾有质毛点的纹动能闭之和蓬。第i个质狭点的域动能俩为1/难2mivi2=1/弊2miri22则刚贪体总要动能溉为与平企动动穷能形待式相矩同，执量纲队也相湾同，辛单位澡也相肉同。[Ek]颠=凳[m徐][吹r2][2]做=你ML2T-2§5潜-3旁转动肾动能勺、力雾矩的血功转轴dm刚体昏转过d角，合外竭力F作的莫元功飞为：二、绕力矩痰的功M：Xd

rds0当刚域体在F力作跳用下葡，从1转到2时所税作的缓功为咸：因为炼外力咐的功屈也就亩是外疮力矩全的功挥，所吸以有朋：转动花动能搞定理：合轰外力爱(矩迁)对捧刚体钓所作雀的功龙，等聚于刚堂体转猜动动鄙能的费增量宣。使用座中应钩注意：凡是岸涉及董杆的挎转动守问题邮，应锁使用吓转动治动能哨定理每。①Ek转是相使对量滤；②事转动您动能荡定理掀的表动达式筛为标秆量式践。③粒应用别该定惠理时逃只需口分析破始态杀与末杨态。解：红对象财：杆由转看动动烦能定双理有联：lrmgO下面董用转屯动动触能定揭理求幅解例6求解杆的角速度时，用转动动能定理比用转动定律简单。求角加速度又是用转动定律为简单。可见：只有钳保守取力作秃功时考，机城械能飘守恒筋，即例用机纲械能负守恒痒定律衡求解粪例6中的解：缸在杆墨转动采的过断程中爬，由司于只套有重装力作候功，辆故机渐械能忠守恒拒。取劫杆的扫水平揪位置状为势脖能零肠点，麻有三、皱机械冶能守食恒定闲律lrmgO一、宿质点驰的角胳动量陪（动侍量矩六）和碎角动帐量守丸恒定棉律质点粗的角亚动量：§5-4角动驾量定劲理艘角判动量波守恒贯定律质点咱角动悬量原太理：质点始所受代冲量剂矩牧=年质点络角动后量的口增量当质道点所砖受合棚外力孤矩M=0时，爽质点驰角动库量守咏恒。——防质点创角动勿量守承恒定觉律。例1、一矿小球精在光丝式滑平算面上森作圆即运动奴，小挑球被淹穿过延中心泄的线滥拉住剂。员开始螺时绳前半径耀为r1，小球诊速率浓为v1；后来么，往呼下拉哭绳子昨，使封半径掀变为r2，小球糕速率驱变为v2，求v2=？解：织受力求分析颠如图钓。mg=N而T为小闸球圆傻运动史的向任心力筒，所业以合杜外力饱不等稠于T，但过六转轴槐而无纽奉力矩炮。合乔外力锦矩为较0舟，劲小球翠角动良量守敢恒。有：L=mvr=恒量认即：mv1r1=mv2r2二、棕绕定址轴转魂动的微刚体身的角猎动量在和角南动量该守恒裁定律刚体彻对定说轴转度动的免角动极量等趁于刚品体中柴所有惹质点蛛对转尸轴的紧角动性量之驻和：由刚犬体的尽转动申定律串：z0mi①晕刚体幕的角葛动量②响刚体冈的角丑动量挽定律刚体挑的角滋动量叨定理补：——满刚体厅定轴匪转动委的角喘动量封守恒办定律当M=抛0时，即：葬刚体分受外就力矩梦为零助时，客动量赖矩（题角动迅量）梨保持厌不变卵。③刚体劫定轴娱转动膨的角疾动量紫守恒奖定律合外翁力矩凝的冲表量矩灿=爽角计动量隙的增鱼量。ⅲ.山推广寺至人帆：人例非刚偿体，案只要拼满足孟人所火受的则人犁的角片动量绵也守筋恒。2。使用邀中的行几种毯情况：ⅰ.姜一个箱刚体偿（质弊点）做：J不变皇，场不穴变，L=恒量帆。④塘注意贤守恒酸定律伯的使模用1。条件宪分析毕：育，即脊力矩叶的和肺为零漏。ⅱ.迎几个恨刚体悟（几水个质共点）平：J变，队变，吗不饱变。合力叔=0，合恭力矩夏不一津定等呆于零添。合力傻矩而=0，合骨力不代一定艺等于挥零。但例2、一手根长氧为l、质量盒为m1的均吨匀细魂棒，氏其一故端挂不在一疏个水还平光穗滑轴厘上而深静止般于竖爸直位词置。喂今有然一质辨量为m2的子厌弹以锤水平炒速度v0射入尼棒下卖端距爆轴高铁度为a处如舞图。局子弹夜射入谣后嵌栋入其雅内并请与棒挠一起锅转动止偏离驻铅直制位置30o，求子揪弹水眠平速破度v0的大背小？解：墨①对妖象：妖棒：梯刚诉体子弹让：排质点②过程程分辅析：第一感阶段鸦：m2与m1碰撞第二桃阶段砍：m1+m2一起突转动角动斧量守究恒：只有旱重力隐作功真，故机恶械能享守恒纹。am2m1③列茅方程仔（取摆炭轴处信为重返力势骑能的浊零势壮点）解得渔：例3、质爪量为M、长为L的均骑匀直垃棒，贞可绕撕垂直唇于棒默的一猪端的虚水平好轴O无摩麦擦地澡转动害。它帽原来屯静止蚕在平惯衡位摸置上薪，现祝在有间一质东量为m的弹俩性小孝球飞览来，拣正好粪在棒芽下端话与棒扮垂直芝相碰清撞，唱碰撞叉后，浇棒从舟平衡扬位置觉处摆脱动到角最大街角度=300，如跪图所沾示。求：摆（1）小栋球碰观撞前娘的速康度v0=汽？（2）碰撞恒时，钟小球借受到主多大缎的冲猜量？解（1垮）选小炒球和寸棒为科研究与对象辟，俭碰遭撞时坦系统睁所受把合外尊力矩踩为0，系个统角夕动量熄守恒议，有蓄：LmO由于是弹性碰撞，动能守恒有：碰撞雹后棒侦从平钳衡位元置摆怕到角的渡过程阵中，脏系统对只有粉重力食作功赛，机霉械能胜守恒桌。有刻