3.3-线性方程组的消元解法

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n元线性方程组可以用矩阵形式表示为Ax=b，其中A、x、b分别称为方程组的系数矩阵、n元未知列向量、常数项列向量。a11x1a21x1am1x1a12x2a22x2am2x2a1nxna2nxnamnxnb1b2bm====++++++++++-+b=。b1b2bmA=，a11a21am1a12a22am2a1na2namnx=，x1x2xn一、线性方程组的矩阵表示：称为线性方程组的增广矩阵。

矩阵下页(Ab)=a11a21am1a12a22am2a1na2namnb1b2bm

n元线性方程组可以用矩阵形式表示为Ax=b，其中a11x1a21x1am1x1a12x2a22x2am2x2a1nxna2nxnamnxnb1b2bm====++++++++++-+一、线性方程组的矩阵表示：

方程组Ax=o

称为n元齐次线性方程组，Ax=b(bo)称为n元非齐次线性方程组。首页问答练习

n元线性方程组可以用矩阵形式表示为Ax=b，其中a11x1a21x1am1x1a12x2a22x2am2x2a1nxna2nxnamnxnb1b2bm====++++++++++-+一、线性方程组的矩阵表示：定义：若A是行阶梯形矩阵，并且还满足：（1）非零

行的首非零元为1；

（2）首非零元所在列的其它元全为0。则称A为行最简形矩阵。

例如：（见教材P47）下页

例1．解线性方程组。3x1x1x15x22x24x214x34x3x31235===--++++++-方程组的解为x1x2x371。2=-=-=于是得到x2=3-2x3=-1，=-7。x1=3+2x2-4x3x3=2，+4x3=3-2x2x1+

x3=5+4x2-x1+14x3=12-5x23x13x1x1x15x22x24x214x34x3x31235===--++++++-

解：+4x3=3-2x2x1+5x3=82x2+2x3=3x2+4x3=3-2x2x1x3=2，+2x3=3x2——r1r2——r2-3r1r3+r1——r3-2r2下页求解过程与矩阵的初等行变换：+4x3=3-2x2x1+

x3=5+4x2-x1+14x3=12-5x23x13x1x1x15x22x24x214x34x3x31235===--++++++-

解：+4x3=3-2x2x1+5x3=82x2+2x3=3x2+4x3=3-2x2x1x3=2，+2x3=3x2——r1r2——r2-3r1r3+r1——r3-2r2(Ab)=1-243-14153-514123-514121-243-141501231-243025801231-2430012——r1r2——r2-3r1r3+r1——r3-2r2

用消元法解线性方程组的过程，实质上就是对该方程组的增广矩阵施以初等行变换的过程。01231-2430012故方程组的解为

n元线性方程组Ax=b下页定理3：（1）无解（2）有唯一解（3）有无穷多解线性方程组解的判定定理：

第四步，写出方程组的解。下页解线性方程组的一般步骤：第一步，对增广矩阵施以初等行变换，化成行阶梯形矩阵；第二步，根据定理3判断方程组是否有解；

第三步，如果方程组有解，则对上述行阶梯形矩阵继续施以初等行变换，化成行最简形矩阵；

解：(A

b)=

11116315-213-1-337-1-337-101-1-2-20-22440-448815-1-1-1-101-2-2000000000015-1-1-101-1-2-2000000000010499，

例2．解线性方程组。x1x1x1x15x26x23x2x25x32x3x33x3x43x43x47x41337=-=-==++++--++--++下页

解：(A

b)=

11116315-213-1-337-1-337-1方程组的一般解为00011000-1004-2009-2009，

例2．解线性方程组。x1x1x1x15x26x23x2x25x32x3x33x3x43x43x47x41337=-=-==++++--++--++x1x24x3x39x42x492==--+-+下页故方程组有无穷多解.则方程组的通解为：x1x2x3x44c1c1c19c22c2c1c292=-=-==-+-+

例3．解线性方程组。x1

x12x1x2x22x22x22x3x33x3x33x44x4x4x41146====-++++++-+---

解：0111123422-1-61121-4-1-13(A

b)=

0111-40113-400-5-8-7112135-8-7112130111-4005870002011213，下页故方程组无解.例4．a取何值时，线性方程组并求其解。x1ax1x1x2x2x2x3x3ax3a15===++++++有解？

a11111

a5111

a解：(A，b)=

(1)当a=1时，R(A)=R(A,b)=1<3，方程组有无穷多个解，(A

b)000000001111，此时方程组的全部解为x1x2x31-c1-c2c1c2===(c1，c2为任意常数)。01-a1-a

1-a2111

a00

a-11-a，其一般解为例4．a取何值时，线性方程组并求其解。x1ax1x1x2x2x2x3x3ax3a15===++++++有解?

解：

a11111

a5111

a(A，b)=

01-a1-a

1-a2111

a00

a-11-a，(2)当a1时，R(A)=R(A，b)=3，方程组有唯一解，此时下页方程组的唯一解为例4

设有线性方程组问λ

取何值时，此方程组(1)有唯一解；(2)无解;(3)有无限多个解？并在有无限多解时求其通解.解：对增广矩