第章代数系统一般性质

第3篇代数系统

在普通代数里，计算的对象是数（自然数、实数、多项式、矩阵、命题、集合乃至图），计算的方法是运算（加、减、乘、除、与、或、非、并、交、差、补），然后讨论这些对象及其运算的相关性质。它们中不无雷同之处。如：数与多项式对于代数运算有相当一致的特性；命题对于与、或、非运算和集合对于交、并、补运算甚至可以做统一的描述。这就使人们自然地想到可以做进一步抽象的研究：不管对象集合的具体特性，也不管对象集合上运算的具体意义，主要讨论数学结构的一般特性，并按运算所遵循的一般定律（如结合律、交换律、分配律等）和特性，对这些数学结构进行分类研究。在19世纪，一些数学家对这些事物及其运算的共同内容进行概括和综合研究，发现它们有着统一的形式：它们都是由集合和其上的运算所组成的系统。称这样的系统为代数系统。代数系统是一种数学结构，它由集合、关系、运算、公理、定理、定义和算法组成。它采用抽象的手法，研究将要处理的数学对象——集合上的关系或运算。事物中的关系就是事物的结构，所以，代数系统又称为代数结构。

代数的概念和方法是研究计算机科学和工程的重要数学工具。众所周知，在各种数学问题及许多实际问题的研究中都离不开数学模型，要构造一个现象或过程的数学模型，就需要某种数学结构，而代数结构就是最常用的数学结构之一。如描述机器可计算的函数、研究算数计算的复杂性、刻划抽象数据结构、程序设计语言的语义学基础、逻辑电路设计和编码理论等，都需要代数知识。因此有必要掌握它的重要概念和基本方法。在现实生活中抽象出来的代数系统是满足某些固有性质的代数系统，对于具有某些性质的代数系统，没有必要分散地、个别地进行讨论，完全可以对具有相同性质的代数系统进行集中研究。利用这种方法来研究代数系统可以形成很多特定的代数系统，它们构成了代数系统的各个分支，如半群、群、环、域、格、布尔代数等。在本篇中，首先将介绍代数系统的基本概念、代数系统的基本运算和性质及其同态和同构。在此基础上对典型的代数系统进行讨论，如半群、群、环、域、格、布尔代数等。

第六章代数系统一般性质

在前面的章节中已经给出了集合和函数的概念，使用这些概念可以定义集合上的运算。一般来说，集合和它上面的运算都遵从某些规律——算律，这就构成了代数系统。本章主要介绍代数系统中的一些基本概念，如子代数、同态、同余、商代数与积代数等，以便对各种代数系统的共性有所了解。第六章代数系统一般性质

6.1二元运算及其性质6.2代数系统的定义6.3代数系统的同态与同构6.4同余关系与商代数6.1二元运算及其性质

6.1.1二元运算

6.1.2二元运算律6.1.3二元运算特殊元6.1.4二元运算实例6.1.1二元运算

二元运算是最常见的代数运算。定义6.1.1设S为集合，函数f：S×S→S称为S上的一个二元运算，简称为二元运算。例如，f：N×N→N，f(<x,y>)=x+y就是自然数集合上的一个二元运算，即普通的加法运算。但是普通的减法不是自然数集合上的二元运算，因为两个自然数相减可能得负数，而负数不属于N。这时也称集合N对减法运算不封闭。验证一个运算是否为集合S上的二元运算主要考虑两点：（1）S中任何两个元素都可以进行这种运算，且运算结果是唯一的；（2）S中任何两个元素的运算结果都属于S

，即S对该运算是封闭的。类似于二元运算，对于任意的正整数n可以定义集合S上的n元运算。定义6.1.2设S为集合，n为正整数，则函数称为S上的一个n元运算，简称为n元运算。例如，求一个数的相反数是实数集R上的一元运算，求一个数的倒数是上的一元运算。在空间直角坐标系中求某一点(x,y,z)的坐标在x轴上的投影可以看作是实数集R上的三元运算，因为参加运算的是有序的三个实数，而结果也是实数。对于有穷集S上的一元和二元运算，除了可以使用函数f的表达式给出以外，还可以用运算表给出。表6.1.1和表6.1.2所列是一元运算表和二元运算表的一般形式，其中是S中的元素，◦为算符。表6.1.1一元运算表一般形式表6.1.2二元运算表一般形式

6.1二元运算及其性质

6.1.1二元运算6.1.2二元运算律6.1.3二元运算特殊元6.1.4二元运算实例定义6.1.3设◦为S上的二元运算，如果对任意的x,y

∈S，都有x

◦y=y◦x则称◦运算在S上是可交换的，或者说◦在S上满足交换律。例如，实数集合上的加法和乘法都是可交换的，但减法不是可交换的。幂集上的∩、∪、都是可交换的，但相对补不是可交换的。n阶（n≥2）实矩阵集合上的矩阵加法是可交换的，但矩阵乘法不是可交换的。上函数的复合运算不是可交换的，因为一般地

f

◦g≠g

◦f定义6.1.4设◦为S上的二元运算，如果对任意的x,y,z∈S都有(x◦y)◦z

=x◦

(y◦z)则称运算◦在S上是可结合的，或者说◦在S上满足结合律。普通的加法和乘法在N、Z、Q、R上都是可结合的。矩阵的加法和乘法也是可结合的，集合的∩、∪、运算也是可结合，还有函数的复合运算也是可结合的。定义6.1.5设◦为S上的二元运算，如果对于x∈S有x

◦x=x则称x为运算◦的幂等元。若S中的任意元素都是运算◦的幂等元，则称S对运算◦满足幂等律。例如，幂集上的∪和∩运算适合幂等律，但对称差运算不适合幂等律（除非）。因为对任意集合A，如果A≠Ø，则，只有空集满足，可以说运算不适合幂等律，但Ø是运算的幂等元。定义6.1.6设◦和*为S上的两个二元运算，如果对任意的x,y,z∈S都有则称运算*对◦是可分配的，也可以说*对◦满足分配律。例如，在实数集上普通乘法对加法是可分配的，在n阶实矩阵集合上矩阵乘法对矩阵加法是可分配的。而在幂集上∪和∩运算是互相可分配的。在讲到分配律时应指明哪个运算对哪个运算可分配，因为往往一个运算对另一个运算可分配，但反之不对。例如，普通乘法对加法可分配，但普通加法对乘法不是可分配的。使用归纳法不难证明，若*对◦运算分配律成立，则*对◦运算广义分配律也成立，即有成立。

定义6.1.7设◦和*为S上的两个二元运算，如果对任意的x,y∈S都有则称运算*和◦满足吸收律。例如，在幂集上∪和∩是满足吸收律的，即有6.1二元运算及其性质

6.1.1二元运算

6.1.2二元运算律6.1.3二元运算特殊元6.1.4二元运算实例定义6.1.8设◦为S上的二元运算，如果存在（或）∈S使得对任何

x∈S都有

（或）则称（或）是S上关于◦运算的一个左幺元（或右幺元）。若e∈S关于◦既是左幺元又是右幺元，则称e为S上关于◦运算的幺元。在自然数集N上加法的幺元是0，乘法的幺元是1。在上，全0的n阶矩阵是关于矩阵加法的幺元，而n阶单位矩阵是关于矩阵乘法的幺元。在幂集上∪运算的幺元是Ø，∩运算的幺元是S。对于给定的集合和运算有的存在幺元，有的不存在幺元。例如，是非零实数集，◦是上的二元运算，任取，有a

◦b=a那么不存在使得对所有的，都有所以运算◦没有左幺元。但对任意的，对所有的，都有b◦a=b所以任意的元素a都是运算◦的右幺元。中有无数多个右幺元，但是没有幺元。定理6.1.1设◦为S上的二元运算，、分别是运算◦的左幺元和右幺元，则有且e为S上关于◦

运算的唯一的幺元。证明：（为右幺元）（为左幺元）所以。把记作e。假设S中存在幺元e’，则有e’=e

◦e’=e所以e是S上关于◦运算的唯一的幺元。定义6.凡1.氏9设◦为S上的示二元掘运算士，如幸果存妄在封（或朝）∈S使得赔对任何x∈S，都姐有(或促）则称夫（或辅）喷是S上关课于◦运算恶的一垫个左砖零元肤（或颗右零苦元）货。若θ∈S关于◦既是龙左零村元又纯是右屿零元虽，则喘称θ为S上关掌于运拦算◦的零制元。例如视，自钉然数绿集合朱上普沙通乘延法的米零元缩慧是0，而查加法英没有慢零元芳。语上遣矩阵粪乘法贯的零排元是师全0的n阶矩繁阵，荡而矩坝阵加堂法没紧有零预元。能在幂叛集巧上∪运算徐的零赌元是S，∩运算孤的零报元是Ø。在耐上拔定义可二元仓运算◦，使获得对泥任意洗满色足a◦b=a那么祸的抛任何私元素屠都是贺关于◦运算迹的左项零元联，闲中稻没有乖右零钟元，桨也没古有零院元。定理6.驶1.拔2设◦为S上的戴二元衣运算萍，危、们分别打是运算◦的左扇零元嘱和右慢零元夜，则粥有且θ为S上关芝于◦运算幅的唯皇一零肿元。关于吃零元治和幺菊元还绑有以旦下的朋定理亩。定理6.目1.祖3设◦为S上的咸二元律运算扒，e和θ分别扒是◦运算埋的幺蚀元和途零元瞒，如维果S至少粗有两税个元狸素，叠则e≠θ。证明杰：用糖反证跨法。假设e=θ，则社，培有这与S中至脉少含督有两鸟个元裙素矛挨盾。定义6.敏1.按10设◦为S上的糠二元亚运算压，e∈S为运谅算◦的幺文元，静对于x∈S，如替果存闲在杜（技或影）曾使得（或梳）则称娱（或围）进是x的左创逆元止（或构右逆节元）享。若y∈S既是x的左驰逆元只又是x的右对逆元执，则讲称y为x的逆娃元。例如每，自疤然数孕集N关于冠加法骄运算树只有0∈N有逆兴元0，其谦他的妻自然挂数都龙没有池加法惨逆元蔬。在圆整数腾集Z中，顺加法吴幺元兆为0，对旧任何担整数x，它剖的加趣法逆搁元都税存在戒，即绢它的怒相反罪数-x。因榜为x+(-x)涨=跑0,纪(-x)娃+x=爽0在n阶（n≥2）实督矩阵债集合者上去，对坊于矩荒阵乘姓法只缓有可访逆矩绳阵蜘存劝在逆恐元隶，召使得监和极成项立，削其中E为n阶单袜位矩筋阵。洗而在里幂集宽上∪运算毁的幺丝式元是Ø，所采以只绿有Ø有逆典元，太就是建它自唐己，追其他门的元务素都诵没有挥逆元都。类刮似地乱，对骂于∩运算踪蝶，S为幺雄元，猪也只汪有S有逆痕元，椒即S自己但，其下他元岁素都队没有题逆元验。定理6.俩1.贯4设◦为S上可结熊合的二渴元运散算，幕是该恶运算称的幺患元，遭对于选，如匠果存拔在左帜逆元忽和右证逆元雾，则须有且y是x的唯庸一的铜逆元告。证明甩：由评和廉，样得令慰，y是x的逆瓣元。本假若尊也葬是x的逆坛元，台则所以y是x的唯敞一的屿逆元伙。由定昨理6.免1.跪4可知赌，对呀于可桨结合裤的二消元运投算来里说，黄可逆腾的元耀素x只有哲唯一酱的逆女元，归通常政把它私记作翁。定义6.避1.倍11设◦为S上的虏二元效运算仓，如话果对扒于任碎意的x,竟y始,z∈S满足眠以下纷条件桃：（1）若x◦y=x◦z且x≠θ，则y=z，此相时称S对◦满足鱼左消部去律掌。（2）若y◦x=z◦x且x≠θ，则y=z，此块时称S对◦满足研右消诸去律技。若S对◦既满途足左不消去袍律又补满足瓶右消锅去律萍，则晕称S对◦满足疫消去太律。例如体，在毁整数好集合真上加树法是坦满足樱消去惧律的律。因萝为对衡任意在的整议数x,惊y水,扇z由x+y=x+z或y+x=z+x可得y=z消去验了x。类妥似地采，对垃乘法统也有跪消去培律。岭但在瞎幂集脏上，伍取齐，由A∪B=A∪C不一茶定能技得到B=C，所泊以∪运算葱不满令足消仪去律出。但须是对耐称差剩运算缝满足里消去咏律。在使队用消乐去律沫时要扒注意最，消量去的斯元素骨不能造是该畅运算俩的零真元。创例如智普通公乘法蝇满足蔑消去育律，奖但是填不能励由墓得到5云=丽6，因功为0是乘嗽法的膜零元筹。6.竿1二元酿运算颠及其违性质6.但1.僻1二元禽运算6.茄1.饭2二元换运算膛律6.捐1.汪3二元楚运算维特殊绸元6.糊1.核4二元拌运算雪实例第六柱章龄代另数系搂统一声般性尽质6.角1二元互运算饰及其宗性质6.皮2代数栏系统寄的定慕义6.撤3代数缘瑞系统悬的同扒态与挨同构6.察4同余霉关系象与商慢代数定义6.唇2.硬1非空跳集合S和S上k个运品算f1,f2,赤…,fk（其崖中fi为ni元运骡算，i=1没,2吃,军…亿,k）组音成的顷系统乒称为饲一个灰代数以系统傅，简谷称代剖数，胞记作<S,f1,f2,植…,fk>。称S为该弦代数毙系统碍的定蔽义域涂。若S为有刑穷集超，则厚称<S,f1,f2,戒…,fk>为有机限代胁数系喝统，阿并称|S|为该年代数樱系统循的阶民。例如<N,否+且>，<Z,批+,·>，<R,若+,坟·哗>都是誓代数吊系统钞，其努中+为普斑通加桂法，·为普掉通乘豪法。托是代壶数系困统，扑其中+和·分别治表示期矩阵权加法合和矩嫌阵乘兴法。板也是骂代数米系统关，它趁包含泼两个厌二元筒运算耀和一确个一仇元运向算。在某纸些代屑数系器统中弟，对傻于给羡定的岛二元装运算坡存在倾幺元扑或零哥元，食并且瞎它们唇对该闹系统委的性斥质起若着重恭要作舰用，糕称之脚为该隐系统陶的特临异元番素或陶代数炉常数槐。为了缩慧强调逗这些职特异套元素努的存听在，驳有时跪把它慢们列堤到有漂关的流代数绘系统搁的表帝达式掩中。例如荡，<Z,怨+>的幺张元是0，也祸可以寺记为<Z,砌+,浙0>。踩中∪和∩的幺期元分饶别为Ø、S，同祸样可占以记沟为爆。具亩体采橡用那砌一种悄记法咽要看椅所研抢究的粥问题队是否致与这肝些代坦数常船数有己关。定义6.趣2.股2设V=属<S,f1,f2,查…,fk>是代启数系淘统，B⊆S，且B≠Ø。如勇果B对f1,f2,踏…,fk都是捷封闭耳的，俊则称<B,f1,f2,舟…,fk>是V的子歉代数贴系统掀，简老称子稿代数牺。特别羞地，塔当B是S的真街子集擦，则称<B,f1,f2,宾…,fk>是V的真乱子代库数系仿统，简称菜真子压代数书。例如星，<N,垄+出>是<Z,酿+铜>的真舅子代度数，浓因为N对加终法封唐闭。扮且N是Z的真熔子集堪。对任测何代融数系菠统V=厚<S,f1,f2,纪…,fk>，其捧子代锡数一猎定存肝在。孩最大盲的子径代数厕就是V本身抖。如厦果令V中所灭有的主代数稻常数吃构成摧的集菜合是B，且B对V中所踪蝶有的粘运算拥都是距封闭趁的，匹那么B就构侧成了V的最留小的禁子代浪数。蚀这种啦最大签与最俊小的唇子代继数称灿为V的平标凡子艺代数腹。定义6.世2.禾3设V1=<S1,◦列>，V2=也<S2,*>是代望数系宏统，◦和*为二绵元运扔算。V1和V2的积功代数V1×V2是含捷有一左个二啦元运捷算·的代为数系香统，夏即V1×V2=瓶<S,·>，其铅中S=S1×S2，且澡对任洒意的<x1,y1>,迈<x2,y2>∈S1×S2有<x1,y1>·<x2,y2>=皂<x1◦x2,y1*y2>例如副，设V1=<Z,社+计>，V2=<M3(R),乡丰·霸>，其但中+和·分别阳表示穿整数给加法辛和矩患阵乘砌法。弦那么V1×V2是V1×V2=妥<Z×M3(R),◦>对任利意的<z1,M1>，<z2,M2>∈Z×M3(R)，都境有<z1,M1>◦<z2,M2>=毁<z1+z2,M1·M2>例如类似旱地，延可以倾定义3个代绕数系找统的碧积代伍数。例如鱼，毛，服那么祝有：并且腊对任绍意的居有不难酷证明句，如障果雨和晌中的利二元吊运算缘瑞都是俗可交赖换的脆（可寸结合器的或沫幂等怪的）猾，则闻积代惠数中堂相应谁的二以元运军算也吉是可雄交换拢的（惑可结傻合的餐或幂膊等的扁）。赢如果叮、姨分别际为座和惑的幺胆元，赠那么合就是鞭积代绢数真的颗幺元汉。如慰果做在途中针的逆支元为唉，奇在奖中的理逆元证为抖，够那么镜在积纠代数木中筑，制就旨是愿的瞒逆元照。第六沫章壶代驻数系踪蝶统一述般性按质6.好1二元煎运算匆及其按性质6.蚕2代数吩系统裙的定叛义6.表3代数记系统找的同债态与阁同构6.团4同余座关系旅与商玩代数6.坛3代数竞系统袋的同巩态与庙同构同态甚是近碍世代剪数中昆最基略本的节，也瓣是最驱重要绝的概贼念之榜一。集代数抄系统幻玉的同宾态与称同构梅就是致在两盾个代慨数系兆统之脊间存临在着劳一种无特殊系的映原射。在它是什研究狮两个尾代数明系统抖之间拒关系存的强棵有力疮的工神具。遮借助烛同态芝，可禾以把如两个宵似乎全完全独不同展的代居数系代统加纤以比拆较，刺并进齿而找泊出它斤们本鹅质上净的一饶致性茄。6.究3代数象系统也的同辛态与勉同构6.臣3.温1同态虚与同电构6.冠3.适2同态包与同辉构实永例6.丈3.残3同态两与同阔构的布性质定义6.待3.炕1设菊，资是代陷数系暑统，糊和嘴为详二元衡运算闹。如赶果存梦在映侦射疲满足浙对任绣意的田有则称率是次到瞧的同秒态映阴射，榆简称惊同态坡。例如育，占，臂，浇其中+为普邪通加铜法，中为模观加法在。即胁有这里基。伐令则翻是引到滥的同阴态。凳因为哨对任软意扰有又比岔如令忠，撇，那恨么铜是阔到肆的友同态授，因忆为对件任意浪的鸭，裕下式伐成立挖：定义6.群3.萄2设φ是浪到盏的防同态杀，则聚称久是识在φ下的牧同态售像。定义6.析3.变3设φ是跨到场的跌同态走，（1）如仰果φ是满姑射的蛋，则锐称φ是岸到澡的壶满同稳态，截记作仁。（2）如盘果φ是单旺射的士，则丽称φ是煌到熟的渐单同撤态。（3）如印果φ是双晴射的深，则向称φ是裁到芽的同都构映个射，霉记作迈，延并称在和熊是离同构菊的。（4）如瓦果皱，泳则称φ是摸到滔的自瘦同态婚。（5）如福果院，锐且φ是双画射的稼，则奥称φ是枝到偷的自凯同构获。6.请3代数哪系统泪的同裂态与辩同构6.团3.麦1同态容与同谊构6.纵3.分2同态盖与同珠构实鸣例6.悟3.抽3同态忘与同恼构的巾性质定义6.串3.夜1的同锁态概标念可触以推雹广到柔一般胡的代时数系寨统中脸。先栋考虑丛具有娃两个卧二元托运算苏的代亭数系毙统。设绑，杰是治代数嫌系统迎，其唇中耻都是握二元状运算烦。如讽果垂满足燃以下兴条件棵：童有（1）（2）则招是凉到屿的同普态映颜射，刑简称旨同态套。例如催，驻，助，其粥中殃为寨普通笨的加狮法和时乘法景，裕为申模逝加果法和朽模童乘法法，隆即对方有令妻，痒，那寨么易红证所以拾是经到陪的塞同态废，且报是满跪同态皇。类似击地，秒还可圈以把歼同态牵的概旦念推颗广到至两个郑具有k个运仍算的阴代数茎系统凑中。下面剂考虑旦除了贩二元半运算副以外陈还具狮有一毙元运域算的楼代数蜘系统拌。设瞧，香是蝇代数刮系统活，其朵中婚、笋是二惹元运漠算，政和颂是间一元叉运算霜。如债果映挑射灯满足证以下熟条件（1）咏，督有贫。（2）统，有殊。则寺是佩到钥的同堪态。例如青，制，张，其欢中+，选是阳普通您加法蚊和乘恩法，磁表示家求戚的精相反递数，质表习示求育的倒钓数。错令，那金么有所以犁是市到惯的同厘态。最后紧考虑留具有辆代数惹常数替的代顺数系叙统之示间的甩同态圾。设职，教是代挺数系臂统，是其中畏、旧是二鹿元运据算，聪，啊是吵代数刻常数罪。如仗果映套射驱满流足以筝下条柱件（1）盛，有堂。（2）继。则擦是交到林的德同态辞。例如真，拿，蜡，暗其中+是普闹通加隆法，违为荷模加汁法，潮令，温，又由号，则所以哭是扬到含的同胃态。6.针3代数竭系统浙的同让态与椒同构6.拌3.咏1同态锯与同肯构6.温3.吸2同态撇与同贴构实商例6.踩3.巡寿3同态娱与同猴构的胀性质定理6.此3.脂1设被是规从饿到妇的同尖态，妻是从丢到疑的睁同态贱，则粉是从掀到养的同吩态。定理6.珍3.吐2设初是韵从使到毛的刷同构虾，则傅是根从娇到烫的豆同构苹。定理6.械3.末3设灭和据同态圾，且夫为满抵同态山映射耻，则（1）如杆果候满鸦足结很合律梁，则墙也满房诚足结逃合律转。（2）如枯果见满怨足交庙换律盖，则枕也满虑足交容换律冶。（3）如碑果判满娇足幂首等律童，则姐也满敏足幂首等律持。（4）若潜是同中刮关于孕运算俘的幺府元，披那么虚是关标于运常算衣的谷幺元烛。（5）若脾是夕中恭关于午运算厨的零经元，唯那么祖是关腿于运去算牺的敏零元妹。（6）如易果概，晌是关贤于产运亦算可离逆的早，即真有逆腥元偶，爱则是童关于泰运算言的逆碎元。定理6.工3.猎4设佳，北是境具有哲两个支二元虹运算勇的代云数系奋统，票其中稠都挺是二企元运巷算，脆是溜到庭的同垫态，强则（1）若纯（或扎）是睛可交胞换的称（可钟结合神的或者幂等长的）篇，则胸（或眯）在引中也缓是可旨交换狭的（微可结决合的繁或幂瓦等的籍）。（2）若谁对武是杯可分脑配的深，则科对度在礼中缓也是挥可分赵配的衬。（3）若怪和毯是陡可吸谈收的领，则婶和拳在表中持也是野可吸驰收的圆。（4）若颗是依中关窑于乌运园算的漏幺元蜡，弊是尾中关舞于厚运奴算的胃零元籍，那犁么比和冠分别漠为抓中统关于董运算通的幺似元和陈零元驳。对毒于