【积分的计算方法研究综述3000字】

积分的计算方法研究综述目录TOC\o"1-2"\h\u26744关于积分的计算方法研究 115574摘要 122762引言 1222341.直接积分法 2198272.分步积分法计算不定积分 29117例2求xsinxdx 245283.换元积分法计算不定积分 5231553.1第一换元法计算不定积分 5228213.2第二换元法计算不定积分 6236254.有理化法计算不定积分 630369例6求dxx3+1 66145即 73998令 7摘要定积分的计算中，不定积分的计算是重要步骤之一，计算不定积分的关键是找到被积函数的原函数，且这种解题思路被广泛地应用于解决实际数学问题之中，本文首先介绍原函数，不定积分等相关概念；在此基础上再介绍不定积分的几种计算方法，如：直接积分法、分步积分法、换元积分法、有理化法等，最后通过研究相关实际问题，阐述不定积分在计算内积函数的原函数时所需要注意的问题以及在实际问题当中的应用。关键词：积分；不定积分；计算引言微积分作为人类从初等数学跨越到高等数学的标志，在数学发展中起到了很大的作用。到了现代微积分学中，研究者为了计算定积分的精确值又研究出了不定积分计算方法。作为定积分问题研究的基础，不定积分的计算起到了关键作用。如果没有不定积分的计算方法，那么定积分精确值的计算就难以实现。解决不定积分的计算问题的关键在于计算出原函数，虽然微分和积分互为逆运算，但是不定积分的计算方法不像微分计算那样有迹可循，有一定的计算法则和规律。对于不定积分的计算则需要根据不同的题型选用不同的方法，其技巧性更强，也需要大量的做题经验。1.直接积分法直接积分法是一种较为简单的方法，通过观察可以直接利用积分公式和积分的运算法则快速计算出原函数。例1求

(5x==52.分步积分法计算不定积分利用分步积分法计算不定积分，通常情况下，要将合适的被积函数令其为u，其原则是：反三角函数优先于对数函数，其次是幂函数，然后是三角函数，最后考虑指数函数。根据优先选择u的原则，一些看似复杂的被积函数，在计算过程中也迎刃而解。类似被积函数为lnx，把其不定积分可以看成1·lnxdx，优先选择u=lnln例2求

xsinx分析:根据选u函数的原则选取u=sinxx解:令

u=x,dv=sinxdx

因为

udv=uv−v将

u=x,dv=sinxdx,du=cos对分部积分公式还有一类题目，这类题目是不能直接得出原函数，而是要用到一定解方程的思想，将原函数的一部分与被积函数建立起联系。例3求

eαx被积函数是指数函数和三角函数乘积的形式,依旧可以使用分步积分法，首先根据选u函数的原则，令u=cosβx,dv=eαxdxe解:令

u=cosβx,dv=eI=eαx根据分部积分公式:udvI=根据积分运算法则:I“+”后面的式子也是一个指数函数和三角函数乘积的形式,为了得出最后的结果还得再运用一次分部积分公式，为了区别于前面，我们用其他大写字母表示.令

J=u=sinβx,dv=根据分部积分公式可得:将其代入上式I中得I移项化简得:I=3.换元积分法计算不定积分3.1第一换元法计算不定积分在计算此类不定积分时，要灵活应用三角函数之间的转换，把复杂的不定积分换为简单的不定积分，再运用第一换元法求出其原函数。例4求

解：方法①:因为tan所以csc方法②:csc==ln同法还可得：sec3.2第二换元法计算不定积分当被积函数中出现了根式的情况如a2±x例5[NOTEREF_Ref22978\h2]

a2−x解：设

x=a根据定理3，得a=4.有理化法计算不定积分在运用有理化法计算原函数时，将分式分解为部分分式之和是利用有理化法的关键，但是也不局限于死板硬套。与其他求法一样，还是要更具体题型选择合适的分解方法。成功分解后解题过程中也会出现和其他方法交叉使用的情况。例6求

dxx3解：设：1有 1≡得方程组：A+B=0解得：A=即dx