第十讲刚体定轴转动中的功和能对定轴的角动量守恒

15.4刚体定轴转动中的功和能5.5对定轴的角动量守恒定律2教学基本要求

1理解力矩的功，刚体转动动能。

2掌握刚体转动的动能定理掌握刚体定轴转动的角动量守恒定律

3

能运用转动的动能定理和角动量守恒定律

分析和解决刚体定轴转动的力学问题。作业：练习5刚体定轴转动中的功和能及角动量守恒定律本节内容提纲

1力矩的功，刚体的转动动能。

2刚体定轴转动的动能定理

3刚体定轴转动的角动量守恒定律力矩的空间累积效应

力矩的功，转动动能，动能定理。力的空间累积效应力的功，动能，动能定理。5.4刚体定轴转动中的功和能一.力矩的功

刚体在力作用下绕轴转过一微小角位移d，力作功为：力矩的功：

刚体绕定轴转动时，力矩对转动物体作的功等于相应力矩和角位移的乘积。力矩的元功：OP.力矩的功：1）若M的大小、方向不变—恒力矩，2）力矩做功的正负5）力矩对定刚体空间累积作用效果——力矩的功。4）如果刚体同时受到N个外力时，这

N个外力使

刚体转过d角的过程中，所作的总功为：讨论：

力矩的功率：可见，力矩的功率等于力矩与角速度的乘积。1、定义：单位时间内力矩对刚体所作的功。2、公式：功率一定时，转速越大，力矩越小；转速越小，力矩越大。表示力矩对刚体作功的快慢。zO设系统包括有N个质量元，刚体定轴转动的总动能为：P•，其动能为：取二、刚体的转动动能（刚体上所有质元的动能之和。）各质量元速度不同，但角速度相同。9三、刚体绕定轴转动的动能定理

合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量。刚体：各质量元间无相对位移，所以内力矩不做功。质点系：外力和内力的功对质点系的动能变化均有影响。

刚体的重力势能，可看作是刚体质量全部集中在其质心处，按质心的重力势能来计算。刚体重力势能为：

刚体的动能：刚体的重力势能：刚体的机械能：刚体的机械能守恒：质心的势能

对于含有刚体的系统，如果在运动过程中只有保守内力作功，则此系统的机械能守恒。例1：一根长为

l

，质量为m

的均匀细直棒，可绕轴O

在竖直平面内转动，初始时它在水平位置。求：它由此位置下摆

角时的角速度。解：由动能定理：OlmCx棒-对象，受力：重力、轴处支持力另解：对杆、地球组成的系统，由机械能守恒定律：例1：一根长为

l

，质量为m

的均匀细直棒，可绕轴O

在竖直平面内转动，初始时它在水平位置。求：它由此位置下摆

角时的角速度。OlmCx此题也可用机械能守恒定律方便求解。Rhm'mm

例2：

一质量为

、半径为R的圆盘，可绕一垂直通过盘心的无摩擦的水平轴转动。圆盘上绕有轻绳，一端挂质量为m的物体。问：物体由静止下落高度h时，其速度的大小为多少？设绳的质量忽略不计。m为圆盘转过的角度，、分别为圆盘起始和终了时的角速度。拉力的力矩对圆盘做功，由刚体绕定轴转动的动能定理可得，拉力的力矩所作的功为：

解：物体由静止开始下落解得：由质点动能定理：m另解：用机械能竖守恒赠定律求冰解Rhm'mm

例2：

一质量为

、半径为R的圆盘，可绕一垂直通过盘心的无摩擦的水平轴转动。圆盘上绕有轻绳，一端挂质量为m的物体。问：物体由静止下落高度h时，其速度的大小为多少？设绳的质量忽略不计。圆盘错、物体m和地她球组成的饥系统由机械妹能守翅恒定律，可得：m一.刚体定止轴转赢动的地角动许量定理1、刚右体定锄轴转盖动的芒角动瞎量5.剪5对定团轴的品角动廉量守戏恒2、刚体定漫轴转君动的园角动山量定兽理182、刚体题定轴滨转动户的角务动量铸定理由转祸动定杰律：（角显动量断定理北的积木分形悟式）定轴价转动师刚体祝所受疤合外秀力矩宿的冲外量矩继，等革于其作角动字量的送增量瞧。（角污动量狼定理咽的微业分形朵式）非刚怀体定轴烘转动骂的角矿动量哲定理透：说明翅：当变形仆体绕某驴轴转吼动时等，若野其上痰各点唤（质降元）鄙转动楚的角饶速度棋相同柴，则变形产体对碧该轴盆的角摆动量为：刚体定轴猛转动挨的角健动量绪定理建：（J不变论）（J变）4）角动量共守恒皱定律鸽是自痰然界孕的一粪个基交本定糊律。2）内力矩转不改没变系伯统的获角动升量。刚体定轴转动的角动量定理二、刚体定侵轴转兵动的诵角动睛量守意恒定明律，则若3）

在冲击等问题中常量当刚缴体受啊到的湖合外挺力矩暂为0时，敢其角乔动量政保持骄不变餐。讨论1）守恒式勺中各量卵必须是忠对同咱一惯有性系中同一苹转轴跑。说明1）刚把体定历轴转辫动的序角动小量守闹恒条孩件：当合李外力句不为0时，合外赏力矩棒可以绕为0。当合援外力减为0时，合外瞒力矩察不一扣定为0；2）驾角迷动量言守恒撤的两隆种情牲况：若不变，不变；若变，也变，但不变。①②即刚锁体在仙受合役外力所矩为0时，己原来社静止允则永橡远保名持静邪止，擦原来箱转动你的将刮永远红转动皂下去教。①

定轴转动的刚体，

不变，若则大小方向都不变。角动吸量守职恒的则两种体情况狭：②定轴悄转动喉的非刚性唯物体，转动勾惯量犁可变认，角动量守恒，则有：如花样真滑冰熔，跳思水，渣芭蕾需舞等旺。②定轴旦转动掉的非刚性如物体，花糖样唯滑喝冰张臂先使蜂自己恋转动惰起来收臂Jw大小大小Jw3）物处体系亭的角回动量尝守恒

若系统由几个物体组成，各物体对同一个转轴的角动量分别为…，则总角动量为：，比如彼：当研柿究质点剑与刚考体的烧碰撞腊问题时，振可以暂把质隙点和托刚体丘看成沃一个郑系统赴，在洁碰撞症过程祝中，厅系统胳所受肺的合币外力腥矩为秧零，钱所以系统党的角动野量守恒。只要凭整个派系统普受到年的合稳外力租矩为0，则糊系统唐的总匆角动突量守净恒，密即：恒量角动轰量守降恒是渗自然泼界的日普遍黎规律驳。角动滑量守恒定律与动量流守恒定律及能量传守恒脏定律并称湿为三大猎守恒旱定律，这混三大凑守恒辟定律肥的成易立有零着深粪刻的丹内在荣原因氧。现傅代物培理学陈已确犯认，优这些颠守恒罢定律塑是和词自然肝界的怕更为误普遍灰的属瓦性——时空灶对称耀性相党联系贼的。解：把子弹际和杆象看作紧一个档系统知。例题3一长为l,质量膝为的杆可须绕支傲点O自由望转动炕。轿一质技量为速率为的子弹笨射入夸竿内叮距支缩慧点为处，守使杆的最偏转耍角为该。问子弹糠的初下速率祝为多芬少?子弹绕射入别杆的脏过程系见统角动量崭守恒介。射入裳竿后酿，以坦子弹乐、细龄杆和恩地球僚为系茅统，擦机械艺能守揪恒。29解：碰撞孝过程松角动歉量守黑恒:例4：长为2L、质刃量为m的匀算质细档杆，演静止胖在光欣滑的糖水平扔桌面激上。何两个拔质量胀、速牙率均乎为m和的小井球，在水而平面查内与味杆的疏两端析同时艰发生底完全幻玉非弹优性碰络撞（菠设碰旷撞时候间极泪短）学。求：两小肝球与释杆刚撇碰后短，这款一系相统的肿角速落度为贼多少步？mm.O解得12例5：人与址转盘辽的转昆动惯突量J0，伸性臂时朝臂长错为l1，收滚臂时低臂长漏为l2。人业站在阻不计贿摩擦傻的自痰由转寄动的黑圆盘虏中心淹上，仙每只木手抓胸有质楚量为m的哑枝铃。侄伸臂截时转屿动角泄速度凑为1，求：收臂财时的涛角速台度2。转动绢惯量铜减小，角速度欺增加。解：人-对象，受包力（重力、转盘支持力恳）对燥竖直轴力矩掩为零，故角舒动量克守恒狡。例6：圆盘醋（R，M），兄人（m）开土始静征止，朝人走多一周赵，求：盘相耳对地鞭转动显的角滥度？解：系统蛾对转寇轴由角动量誉守恒永定律萝：M先=0在盘上跑一圈的时间（

）内，圆盘对地的角位移人、锣圆盘-系统受力梨：重力方、支锐持力在盘上跑一圈的时间（）内，圆盘对地的角位移随堂同小议（1）（2）（3）（4）两人日同时震到达春；用力纳上爬核者先胆到；握绳私不动切者先叙到；以上斗结果之都不检对。两人绍质量寺相等O一人币握绳各不动一人耕用力棉上爬随堂小议终点聋线终点态线滑轮恳质量既忽茎略轮绳党摩擦又忽荷略可能眼出现装的情秃况是小议评链接1两人质量相等O一人握绳不动一人用力上爬随堂小议可能出现的情况是终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略（1）（2）（3）（4）两人蕉同时剖到达禾；用力傲上爬吧者先帝到；握绳井不动臂者先禁到；以上翻结果肃都不产对。小议榴链接2两人质量相等O一人握绳不动一人用力上爬随堂小议可能出现的情况是终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略（1）（2）（3）（4）两人发同时丧到达踏；用力袖上爬舌者先教到；握绳纹不动缴者先晨到；以上腔结果娘都不欲对。小议漂链接3两人质量相等O一人握绳不动一人用力上爬随堂小议可能出现的情况是终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略（1）（2）（3）（4）两人甚同时裳到达嚼；用力株上爬泉者先椅到；握绳屈不动郊者先痒到；以上盗结果宅都不择对。小议鼓链接4两人质量相等O一人握绳不动一人用力上爬随堂小议可能出现的情况是终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略（1）（2）（3）（4）两人锦同时捏到达妥；用力盗上爬糖者先晶到；握绳构不动炸者先悔到；以上烟结果疤都不勒对。忽略止轮、未绳质遮量及习轴摩滤擦。可应现用质点缸系角狭动量求定理进行拦具体手分析坦讨论兼。质点系

1）若

，系统受合外力矩为零，角动量守恒。得

2）若

，系统受合外力矩不为零，角动量不守恒。O同高从静止开始往上爬系统扁的末荐态角顾动量系统滴的初帽态角档动量不论眯体力接强弱，两人等啄速上睡升。一人挖用力稻上爬一人朋握绳呀不动质点村的直突线运动物理绪量刚体阳定轴按转动铸物理怠量

─平动动量ω─角速种度v─线速书度a─线加垃速度m─质量平动脉惯性的疏量度─力─平动动能─角动量—转动动能─力矩J─转动纷惯量β─角加勺速度转动责惯性版的量嫌度质点皂的直炒线运桥动规律刚体分定轴并转动惜规律练习扑：圆如图睛，长蓄为l，质驾量为M的均虽匀细敬棒可叹饶过O点的弟转轴合在竖守直面爹内自哪由转悄动。氧一质矮量为m的质朗点以迟初速v0沿水轿平方洋向运舞动，掌与静轨止在活竖直扮位置挡的细俯棒的轿末端艺发生般完全殖非弹壁性碰牺撞，蹲碰撞驳后两村者一蚀起上腔摆。卡求（1）碰哲撞后样瞬间斗两者舞一起抚上摆盾的角毅速度，（2）两坟者一汗起上束摆的价最大者角度。OlmOlmd解得乎：=4m宝/s解：系统（滑嫂块、垮弹簧疾），贤受力-弹力无、重索力对滑捎块运压动有义影响帽的力幸只有尺弹性句力，例题7：在一光蝇滑的尽水平检面上抵，有迟一轻脆弹簧烘，倔馅强系霉数为k=1纽奉00沸N/喊m，一脊端固勿定于o点，死另一炒端连叮接一陪质量计为m=将1k或g的滑诸块。盯设开凯始时惜，弹危簧的犹长度陪为lo=0.龙2m次(自然研长度)，毯滑块窜速度o=盾5m赚/s，方翁向与怜弹簧战垂直荒。当膨弹簧您转过90时，愈其长塞度l=想0.垃5m。求：此时预滑块侄速度织的大小。角动墓量守京恒：molo=ml鸡si览nololomm机械境能守碎恒：例8：匀质销圆盘捉（M、R）与蚕人（m，视阻为质档点讨）一肯起以殖角速含度o绕通贱过其跃盘心个的竖宋直光青滑固蓬定轴串转动浇。赴当此怨人从盘的边缘混走到盘心够时，求：圆盘棵的角散速度终是多红少？解：系统傲（圆悦盘+人）o系统井角动崇量守义恒：受重力、转盘支持力对竖直轴力沸矩为蹄零，46例9:在水朝平面涉内，阔质量棋为m1的小盖球与株质量通为m2长为2l的棒雁作完全仆弹性贝碰撞，棒闲可绕怨通过团中心米的轴顿转动订。求：球的厘反弹贫速度隔和棒播的角核速度凳。解：小球奖的重基力与哲冲击束力相闹比可网忽略谈，设小球反弹速度为v,棒的角速度为弹性慕碰撞:解得:解：两飞柔轮通妇过摩赶擦达暴到共返同速驶度，酬合外艘力矩家为0，系统骂角动随量守樱恒。共同坏角速挨度：例10：两个迈共轴遵飞轮芦转动逢惯量堆分别葛为J1、J2，角繁速度挑分别前为1、2，求：两飞默轮啮分合后处共同垃的角骆速度。48例11