第讲差错控制技术

差错控制的常用方法自动请求重发（ARQ）

停发等待重发

返回重发

选择重发前向纠错（FEC）混合纠错（HEC）反馈检验（IRQ）自动请求重发优点：译码设备简单，对突发错误和信道干扰较严重时比较有效。缺点：需要反馈信道，实时性差。前向纠错优点：使用纠错码和单向信道，发送端无需设置缓冲器。缺点：设备复杂、成本高。混合纠错特点：实时性和译码复杂性方面是前向纠错和检错重发方式的折衷，可达到较低的误码率，较适合于环路延迟大的高速数据传输系统。反馈校验优点：设备简单，可以纠正任何错误缺点：会引入较大的时延。纠错编码通过对信息序列作某种变换，使原来彼此独立、互不相关的信息码元产生某种规律性（相关性），从而在接收端根据这种规律性来检查，进而纠正传输信号序列中的差错。纠错编码基本原理变换的方法不同就构成了不同的编码。引入差错编码控制后，实际传输的

信息序列=信息码元+监督码元，称为码组。监督码（元）：为了使信息码元产生某种规律性，可按照某种规则在用户信息序列中插入一定数量的新码元，这种新码元叫监督码（元）。信息码（元）：发送用户端欲发送的信息序列，本来彼此独立，互不相关；由用户控制，最终也交给接收用户。

差错控制编码的基本原理就是：在保持信息位数不变（信息码元）情况下，采用增加码长的方法来降低误码率。例：传输A和B两个消息。①用一位二进制数表示：“0”—A；“1”—B传输过程中出现错码，接收端无法发现，无检错和纠错能力。②用两位二进制数“00”—A“11”—B称为许用码组“01”和“10”未定义，为禁用码组。S：00D：00√ 01×10×S:11D：11√表示附加一位监督码以后码组具有了检测1位错码，但因译码器不能判别哪位是错码，不具备纠正错码的能力；且无法检测错2位错码。

③用三位二进制数“000”—A“111”—B称为许用码组“001”、“010”、“011”、“100”“101”、“110”皆是禁用码组S：000D：000√ 001× 010× 011× 100× 101× 110× 111√表明附加两个监督码元以后码组具备检测1位和2位错码的能力；并且具备纠正一位错码的能力，即3位码组中有2个或3个“0”/“1”码，则判为“000”/“111”。但无法纠正两位出错和检测3位出错的能力。④总结：（信息码+监督码=码组）构成的信息序列通过降低信息传输速率来提高传输的可靠性（降低误码率）。11分组码＝信息位＋监督位分组码符号：(n,k)

其中，n－码组总长度，

k－信息码元数目。

r=n–k

－监督码元数目。分组码的一般结构：分组码的参数：码重：码组内“1”的个数码距：两码组中对应位取值不同的位数，又称汉明距离最小码距(d0)：各码组间的最小距离k个信息位r个监督位an-1an-2...arar-1an-2...a0t码长n=k+r分组码的结构纠错能力与码距关系码距的几何意义：以n=3的编码为例一般而言，码距是n维空间中单位正多面体顶点之间的汉明距离。(0,0,0)(0,0,1)(1,0,1)(1,0,0)(1,1,0)(0,1,0)(0,1,1)(1,1,1)a2a0a1为了检测e个随机错误，则要求码组的最小距离距为

为了纠正t个随机错误，则要求码组的最小距离为纠正t个随机错码，同时检测e个随机错误，则要求码组的最小距离为(e≥t)常用但的简酒单编层码奇偶度校验菜码:增加旬一位咏监督剂码来等使得取码组杨中“1”的个铅数保胡持奇膀数（鼻奇校在验）萍或偶利数（颈偶校厘验）熔。分碧为：筹垂直标奇偶览校验弯；水铸平奇朱偶校宇验；旷水平趁垂直墨奇偶内校验轨。群计损数码：监督牲码元敏附加埋在信颗息码惯元之四后，区每一岛个监螺督码沸元在片数值观上表氧示其塔对应爆的信盈息码岔元中正“1”的个草数。恒比骡码：每蜜个码缸组中暂均包身含相铺同数摩目的剖“1”和“0”，即坊数目惑之比嘱是一兴定的或，所穗以也亡叫定屯比码急。正反弱码：监督赏码元艳与信护息码虚元位悬数相抱同，透但根臂据信想息码低元中遭“1”的数俯目不嚷同，猫监督匹码元唇与信街息码团元完亚全相情同或召相反堂。代数塌码国－炒利用点代数督关系杨式产顷生监巧督位猛的编衰码线性反分组任码环－映代数鹅码的隙一种仙，其钢监督睁位和遣信息这位的鞋关系倦由线抖性代妇数方谱程决峡定汉明瓜码做－乎一种舍能够渴纠正督一个狗错码躬的线枕性分炒组码校正位子：在偶难数监族督码脾中，坚计算实际熊上就附是计改算并检生验S是否朗等于0。S称为熟校正软子监督弟关系粪式：线性星分组枝码纠错茅基本补原理中，S只有壁两种安取值鸦，故志只能课表示密有错抛和无借错，蜘而不鸭能进笋一步乌指明笔错码刷的位阳置。若此桂码组建长度伴增加吴一位呜，则筛能增原加一掉个监特督关欧系式牺。这呜样，缩慧就能津得到侄两个出校正节子。暑两个敌校正阿子的怠可能臣取值营有4种组彩合，脊即00，01，10，11，故艺能表内示4种不丈同的收信息适。若炮用其炕中一卵种组摘合表燥示无兰错码扁，则妥还有凯其他3种组搞合可算以用创于指闪明一摆个错袋码的3种不奔同位奴置。黎从朱而可槽以有料纠错侨能力向。一般疯而言骗，若誓有r个监堤督关进系式商，则r个校够正子末可以驼指明暑一个歪错码刺的(2r–耐1)个不泼同位疲置。当校咸正子池可以嫂指明良的错促码位璃置数贱目等曲于或狸大于筋码组椅长度n时，耀才能锯够纠料正码库组中火任何爸一个咽位置痒上的沈错码消，即葡要求汉明光码例：歇要求高设计扒一个湿能够网纠正1个错腐码的禾分组筹码(n,k)，给惜定的艰码组旱中有4个信璃息位慨，即k=恋4。由这时愈要求欢监督渐位数r3。若御取r=并3，则n=k+r=皇7。现央在用a6a5a4a3a2a1a0表示倒这7个码蓄元，况用S1S2S3表示俊校正洋子，扩则这3个校现正子饱恰好君能够从指明23–鞭1葱=饺7个错烦码的渡位置毫。若规倡定校难正子链和错谷码位土置的在关系棵如下剥表，努则仅彻当在a6a5a4a2位置腔上有涝错码析时，楼校正泽子S1的值浑才等嫩于1；否废则S1的值恶为零叙。这纹就意盟味着a6a5a4a2四个虽码元趁构成沾偶数估监督横关系盯：同理温，有21在编秩码时其，信甚息位a6a5a4a3的值葬决定行于输著入信浸号，阵它们般是随夹机的恼。监涝督位a2a1a0是按炒监督覆关系孙确定光的，贺应该环保证严上列3式中侵的校茶正子定等于0，即难有给定没信息偿位后您，为密了计算赞监督攀位，先上式植可以改雾写为按照砍上式庭计算剧结果半为22在接钞收端肿解码恒时，亮对于俯每个峰接收此码组慢，先充按式计算其出校兔正子S1，S2和S3，然厌后按丝式照表判断烦错码钉的位著置。例：款若接效收码继组为00询00减01约1，则升按上测三式疼计算塑得到边：S1=宜0，S2=拴1，S3=弱1。这担样，杂由上传表可认知，紫错码盘位置他在a3。上例誉中的险汉明生码是(7叛,承4)码，蒙其最捆小码随距d0=抽3。由式可知令，此尼码能加够检谨测2个错润码，垂或纠出正1个错慌码。汉明深码的味码率搬：当r(或n)很大蠢时，究上式势趋近折于1。所隶以汉比明码钞是一丸种高愚效编叛码。分组溪码的我一般姥原理线性李分组螺码的衫监督喊位和尿信息醉位的军关系可以窄改写绝为上式妨中，鸣已经恋将“”简进写成餐“+”。监督绍矩阵上式个可以法写成制矩阵乘形式胶：（模2）将上袖式简规写为HAT=筝0T或AHT=择026HAT=座0T式中祝，－模称为询监督危矩阵监督具矩阵迎的性撇质监督哥矩阵H确定敲码组手中的死信息嗓位和缺监督箭位的文关系动。H的行惭数就愈是监床督关艰系式哄的数旗目，察即监裤督位拍数r。H的每蚂行中攀“1”的位率置表不示相和应的攀码元种参与搬监督告关系对。H可以超分成扬两部笋分，纳例如－典绘型监除督矩队阵式中制，P为rk阶矩痛阵，Ir为rr阶单丽位方惹阵。A=圾[a6a5a4a3a2a1a0]0束=构[0买00闷]循环俊码循环乌性是斤指任祖一码翁组循碑环一皇位后孙仍然肠是该挑编码渗中的喉一个滔码组粱。例：座一种(7揭,肉3)循环美码的得全部治码组王如下表中框第2码组碍向右瘦移一询位即妥得到立第5码组爸；第5码组载向右范移一淹位即味得到县第7码组割。28若(an-1an-2…a0)是循连环码脊的一妹个码滥组，府则循告环移吃位后疫的码闪组：(an-2an-3…a0an-1)(an-3an-4…an-1an-2)…匀…见(a0an-1…a2a1)仍然痰是该虑编码俗中的汽码组材。多项勿式表慎示法一个叨长度归为n的码殃组(an-1an-2…a0)可以贺表示习成上式稿中x的值带没有容任何屡意义摄，仅用用它你的幂根代表痕码元柔的位悦置。例：肝码组1兽1趣0颤0馋1妹0粱1可以森表示老为循环际码的扎运算整数万的按忆模运晋算在整暖数运撞算中匀，有健模n运算静。例践如，侍在模2运算陕中，兄有1同+托1侦=逢20娘(模2)，1避+痰2弊=剩31灭(模2)，23我=冲60也(模2)一般寺说来魂，若茫一个粱整数m可以假表示因为式中卡，Q为整烛数，床则在镰模n运算投下，弟有mp(模n)所以路，在普模n运算阳下，甜一个哀整数m等于渴它被n除得贫的余伯数。码多蜡项式永的按印模运退算若任猎意一迈个多芝项式F(x)被一罩个n次多纹项式N(x)除，榜得到迟商式Q(x)和一滥个次他数小混于n的余授式R(x)，即则在鄙按模N(x)运算拣下，衡有这时帖，码穿多项假式系仔数仍古按模2运算蓄。例1：x3被(x3+艳1)除，池得到蛋余项1，即例2：因为xx3+损1x4+x2+坑1x4+xx2+x+1在模2运算仰中加附法和勿减法拨一样车。在循纷环码尚中，恐设T(x)是一籍个长记度为n的码轿组，两若则T(x)也是尽该编前码中顷的一销个码伸组。[证]设一拣循环私码为则有上式踢中的T(x)正是喝码组T(x)向左闯循环棉移位i次的龟结果袖。例：级一充循环灭码为11秀00沟10浑1，即若给絮定i=奶3，则眨有上式电对应役的码俯组为01尼01钢11书0，它尖正是T(x)向左轮移3位的久结果网。结论危：一连个长棕为n的循断环码旗必定男为按逐模(xn+推1)运算安的一世个余鹊式。循环的码的卫生成有了楼生成芬矩阵G，就归可以傍由k个信叛息位衔得出豪整个座码组纯：例：式中瞎，生成运矩阵G的每匪一行猛都是矿一个锤码组孤。因此板，若英能找并到k个已侵知的量码组棉，就妄能构车成矩秩阵G。如片前所货述，扣这k个已浴知码假组必枯须是逢线性贝不相稠关的育。在循炮环码谎中，学一个(n,k)码有2k个不贯同的垂码组完。若轮用g(x)表示乒其中散前(k-1予)位皆速为“0”的码叮组，椒则g(x)，xg(x)，x2g(x)，，xk-询1g(x)都是县码组震，而吓且这k个码独组是痕线性禽无关荷的。视因此谎它们毁可以谱用来繁构成鄙此循计环码态的生吓成矩咽阵G。在循在环码耐中除执全“0”码组越外，嚼再没快有连正续k位均辅为“0”的码恩组。珠否则邻，在魄经过跟若干蛇次循朗环移塘位后堡将得砖到k位信徒息位状全为势“0”，但冶监督肢位不妙全为底“0”的一溉个码续组。阶这在迹线性组码中慎显然蚀是不摸可能括的。因此贯，g(x)必须小是一顿个常萝数项窑不为间“0”的(n-k)次多烟项式叉，而歌且这疫个g(x)还是妄这种(n,k)码中乳次数国为(n–k)的唯服一一膊个多桑项式轰。因模为如迫果有攻两个乌，则魔由码渗的封滚闭性灾，把窗这两加个相光加也扯应该爆是一昏个码教组，纪且此昆码组晒多项乓式的辟次数托将小台于(n–k)，即束连续挠“0”的个瘦数多创于(k–吓1)。显滔然，凉这是培与前诱面的邻结论职矛盾涨的。称这搅唯一居的(n–k)次多撇项式g(x)为码纪的生败成多罪项式陈。一昆旦确愚定了g(x)，则班整个(n,k)循环仿码就房诚被确佛定了月。因此填，循胞环码帐的生锋成矩介阵G可以声写成例：上表垃中的复编码湖为(7皆,翻3)循环暗码，n=据7,k=疼3,n–k=董4，其起中唯宴一的咬一个(n–k)湖=造4次码艰多项候式代输表的闲码组护是第流二码芬组00络10角11述1，与总它对问应的臣码多午项式仆，即送生成副多项卵式，笨为g(x)尤=x4+x2+x+骄1。g(x)挪=x4+x2+x+别1即硬“1门0也1按1牺1”将此g(x)代入右上矩稼阵，柱得到或上式莫不符缓合G=贷[IkQ]形式肃，所访以它酸不是潮典型始生成鄙矩阵认。但奴它经帆过线信性变因换后真，不扎难化蹈成典梅型阵甜。此循删环码爆组的提多项物式表择示式T(x)：上式控表明远，所竿有码臣多项笛式T(x)都能沈够被g(x)整除绞，而辛且任鹅意一场个次添数不球大于(k–世1)的多暖项式滔乘g(x)都是枯码多折项式议。寻求捐码生浸成多集项式因为阿任意老一个座循环尚码T(x)都是g(x)的倍孙式，拿故它翼可以污写成T(x)示=h(x)g(x)而生五成多估项式g(赠x)本身酒也是宏一个富码组巾，即裙有T(x)陪=g(x)由于版码组T(x)是一迅个(n–k)次多血项式逐，故xkT(x)是一港个n次多矮项式际。由可知小，xkT(x)在模(xn+属1)运算添下也屈是一探个码光组，犬所以盗有上式虹左端靠分子伤和分毕母都匆是n次多都项式北，故控相除狭的商基式Q(x)雹=怜1。因欣此，肢上式爪可以益写成将T(x)怎=h(x)g(x)和T(x)极=g(x)代入化简忆后，悠得到上式让表明抛，生挤成多纪项式g(x)应该类是(xn+碧1)的一号个因插子。例：(x7+榴1)可以功分解暑为为了净求出(7臂,统3)循环着码的虾生成明多项罢式g(x)，需吊要从付上式睁中找不到一兔个(n掉–污k)竖=密4次的麦因子宣。这详样的车因子背有两堆个，茧即以上夹两式址都可档以作疯为生药成多腹项式遇。选用颈的生袋成多范项式浴不同圆，产初生出还的循穗环码丙码组锻也不饶同。循环遗码的圾编码还方法用xn-六k乘m(x)。这衡一运佛算实藏际上扛是在扩信息朴码后阵附加播上(n–k)个“0”。例争如，矿信息忠码为11菜0，它炼写成夏多项吨式为m(x)怎=x2+x。当n–k=何7胞–草3济=4时，xn-扁km(x)幅=x4(x2+x)陕=x6+x5，它涂表示舰码组11咽00般00鹿0。用g(x)除xn-炭km(x)，得捕到商Q(x)和余庸式r(x)，即务有例：化若选扰定g(x)破=x4+x2+x+灵1，则宏有上式活是用播码多泊项式怕表示难的运喇算。丸它和欲下式迹等效膨：编出溪的码还组T(x)为：T(x)喷=xn-类km(x)号+r(x)在上钱例中龄，T(x)壳=圣11耕00畅00戴0性+红10朴1写=究11劫00甲10结1循环株码的姜解码末方法在检险错时勤：当跪接收次码组勺没有别错码剃时，袋接收养码组R(x)必定锣能被g(x)整除表，即算下式中余趋项r(x)应为世零；引否则肌，有午误码澡。当接狠收码脏组中浴的错缎码数涂量过扬多，漆超出士了编石码的磁检错酿能力录时，抚有错镰码的围接收并码组妖也可滔能被g(x)整除白。这滔时，赖错码规就不昏能检膛出了水。在纠迁错时伴：用生切成多棋项式g(x)除接爹收码摧组R(x)，得终出余米式r(x)。按照融余式r(x)，用掀查表扭的方轧法或余计算吓方法浅得出亩错误狐图样E(x)。从R(x)中减棒去E(x)，便馒得到楚已经睬纠正第错码寻的原衬发送捧码组T(x)。截短捐循环关码截短妇目的脉：在设燃计时害，通豆常信茶息位缎数k、码屈长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