届高考数学考点回归总复习《第四十二讲抛物线》课件

第四十二讲抛物线回归课本1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.2.抛物线的标准方程和几何意义考点陪练1.(2010·湖南)设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是()A.4 B.6C.8 D.12解析:由抛物线的方程得 再根据抛物线的定义,可知所求距离为4+2=6,故选B.答案:B解析:如图,由直线的斜率为得∠AFH=60°,∠FAH=30°,∴∠PAF=60°.又由抛物线的定义知|PA|=|PF|,∴△PAF为等边三角形,由|HF|=4得|AF|=8,∴|PF|=8.答案:B3.(2010·陕西)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为()

解析:由已知,可知抛物线的准线与圆(x-3)2+y2=16相切.圆心为(3,0),半径为4,圆心到准线的距离 解得p=2.故选C.答案:C4.若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则P的轨迹方程为( )A.y2=8x B.y2=-8xC.x2=8y D.x2=-8y解析:由题意知,P到F(0,2)的距离比它到y+4=0的距离小2,因此P到F(0,2)的距离与到直线y+2=0的距离相等,故P的轨迹是以F为焦点,y=-2为准线的抛物线,所以P的轨迹方程为x2=8y.答案:C答案:A类型一 抛物线的定义解题准备:利用抛物线定义可将抛物线上的点到抛物线的焦点和准线的距离相互转化.例如若点P0(x0,y0)是抛物线y2=2px(p>0)上的任一点,则该点到抛物线的焦点F的距离 (焦半径公式),这一公式的直接运用会为我们求解有关到焦点或准线的距离的问题带来方便.在求过焦点的一弦长时,经常将其转化为两端点到准线的距离之和,再用根与系数关系求解,有时也把点到准线的距离转化为点到焦点的距离进行求解.【典例1】(1)在抛物线y2=4x上找一点M,使|MA|+|MF|最小,其中A(3,2),F(1,0),求M点的坐标及此时的最小值.(2)已知抛物线y2=2x和定点抛物线上有动点P,P到点A的距离为d1,P到抛物线准线的距离为d2,求d1+d2的最小值及此时P点的坐标.[解]要求最小值问题,可考虑抛物线的定义,通过定义转化为“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”这一结论. (1)如图,点A在抛物线y2=4x的内部,由抛物线的定义可知,|MA|+|MF|=|MA|+|MH|,其中|MH|为M到抛物线的准线的距离.过A作抛物线的准线的垂线交抛物线于M1,垂足为B,则|MA|+|MF|=|MA|+|MH|≥|AB|=4(当且仅当点M在M1的位置时),此时M点的坐标为(1,2).

(2臣)如图,点史在抛太物线y2=2阀x的外害部,由抛德物线播的定旬义可孔知,痰(其中F为抛你物线槐的焦跨点).此时P点的悠坐标企为(2扛,2遥).[反思凉感悟]熟练友掌握投和灵伍活运私用定略义是陪解题哨的关胸键.利用志抛物太线定绪义可祥将抛既物线喇上的棒点到烛抛物聪线的养焦点僻和准瓶线的鸦距离尺相互渐转化.例如暖若点P0(x0,y0)是抛四物线y2=2舍px叼(p浮>0和)上的晃任一册点,则该鉴点到浓抛物凤线的塌焦点F的距反离(焦半葛径公贯式),这一棋公式具的直汇接运盯用会麦为我刑们求东解有税关到腥焦点呀或准敞线的昼距离震的问女题带被来方索便.在求突过焦重点的篇一弦够长时,经常厘将其嗽转化排为两花端点邀到准训线的违距离巴之和,再用驼韦达滚定理挎求解,有时勺也把椒点到扒准线梦的距摩离转掉化为享点到农焦点翼的距驻离进返行求眉解.类型允二惭求抛脉物线吵的方吓程解题饰准备:求抛唐物线妄的标抖准方愈程常蝇用的晶方法侍是待贴定系腰数法.为避稿免开马口方润向不含确定替而设滴成多语种形纤式的偿麻烦,可以摆将焦孩点在x轴上屿的抛药物线光的标然准方屋程统桌一设凯为y2=a计x(虾a≠誓0)滤;焦点疯在y轴上从的抛糖物线睁的标法准方健程统项一设芳为x2=a古y(廉a≠塑0)筹.【典例2】求下盗列各本抛物番线的由方程:(1欲)顶点摆在坐场标原灾点,对称颈轴为巴坐标更轴,且经本过点M(升-2给,-阵4)烘;(2慎)顶点独在坐略标原千点,焦点臣在y轴上,抛物泛线上青一点Q(认m,培-3枯)到焦短点的轧距离榆等于5.[解](吩1)设抛虎物线白为y2=mx或x2=ny,则(-速4)2=m依(-溉2)⇒m=慈-8或(-姻2)2=n退(-罩4)⇒n=铅-1玻.∴所求艇的抛练物线工方程堤为y2=-枕8x或x2=-唉y.(2纪)依题忆意,抛物虽线开盆口向彼下,故设舱其方糊程为x2=-映2p酿y.则准拆线方扮程为敬又争设焦稠点为F,则故抛早物线悟方程律为x2=-梯8y加.[反思犬感悟]这里辟易犯江的错除误就口是缺按乏对祖开口静方向岭的讨猴论,先入耳为主,设定艘一种础形式往的标降准方搁程后犹求解,以致歼失去亿另一秀解.类型蜻三症抛物疏线的基几何什性质解题耀准备:1捧.以抛绵物线满的标鸭准方份程y2=2僻px税(p番>0葱)为例,有如慎下几杏何性铃质:①范围:抛物诵线y2=2热px北(p竿>0裁)开口率向右,且向躲右上潮方和描右下忙方无隆限延原伸;②抛物吉线只替有一挤条对内称轴x轴,没有夕对称标中心;③顶点:抛物右线和扯它的常轴的某交点徐叫做削抛物昌线的询顶点,即坐梨标原升点.顶点乖是焦皂点向染准线处所作迈垂线壁段的悔中点;④离心膊率:抛物辰线上文的点M与焦想点的催距离择和它抚到准将线的匀距离向的比,叫抛阴物线约的离娇心率,e恢=1李.2.抛物鬼线的竞每一魂条过笑焦点畜的弦丸被焦纹点分段成两甚段焦抄半径,由焦股半径劈燕公式鹊可推架出抛吓物线盖的焦衔点弦颗长公栗式:设过堪抛物纤线y2=2桥px亏(p持>0冤)的焦表点F的弦妥为AB但,设A(孩x1,y1),篮B(俗x2,y2),则弦凤长|A任B|谷=|巧AF1|+盏|B快F1|=晴x1+x2+p滚.特别脉地,当弦AB与抛钟物线毕的对蜻称轴绣垂直病时,这条胞弦称装为通渣径,其长音度为2p萍.[分析]考查线抛物任线的爹过焦历点的祸弦的组性质.将抛雅物线犬的焦影点弦软的方艳程设态出,代入挨抛物剪线方层程,利用感韦达扑定理韵等解扭决问摇题.类型厉四萄直线深与抛沾物线侵的位茶置关励系解题保准备:直线血和抛活物线伏的位评置关雁系,可通般过直逐线方呜程与沸抛物窑线方恢程组备成的码方程眠组实离数解简的个洞数来吩确定,同时灶注意深过焦举点的岗弦的简一些俗性质,如:弦长l=呢x1+x2+p劳.(2遵)当直旋线l的斜盘率不触存在配时,x锐=8与抛爽物线登没有提交点,不合电题意.当直赠线l的斜裁率存零在时,设直恋线l的斜线率为k,则l:另y=k范(x顺-8慢).设M(美x1,y1),梨N(尝x2,y2),即x1x2+x1+x2+1觉+k2(x1-8米)(向x2-8帜)=革97玻,∴(坦1+案k2)x1x2+(趋1-衰8k2)(驰x1+x2)+辉1+浴64夕k2=9晋7,拐②将y=禾k(害x-林8)代入y2=-变4x得k2x2+(嫌4-浅16蔑k2)x蕉+6治4k2=0岁,∴代入纤②式宴得:6谁4(慰1+依k2)+疏(1菜-8努k2)整理押得∴l的方购程为:即x-戚2y欠-8莲=0或x+怕2y絮-8听=0兽.错源赌一袜对疼抛物伙线的翼定义捧理解袍不透似而致脖错【典例1】若动虹点M到定责点F(篮1,其0)的距浑离等午于它竞到定喂直线l:廊x-脉1=荒0距离,则动泰点M的轨谣迹是(套)A.抛物俊线B.直线C.圆D.椭圆[错解]由抛劳物线雨的定歇义知厚动点M的轨定迹是镇抛物穷线,故选A.[剖析]抛物直线的胶定义娃中隐克含一议个条静件“许定点F不在侧定直押线l上”.若“吵定点F在定变直线l上”,那么乖动点努的轨建迹就督不再叉是抛阀物线,而是梢过定垫点F且与距定直以线l垂直敢的直哨线.[正解]因定疗点F(止1,凑0)在定真直线l:都x-栽1=深0上,故动模点M的轨袄迹是城直线,应选B.[答案]B错源弃二垦对抛呀物线妄的标均准方睛程认室识不敏清而色致误[答案]C错源摧三炊对问款题考屡虑不隔全面装而致希错【典例3】过点M(袜1,春-2第)的抛胁物线狸的标抚准方川程为__邮__评__含__.[错解]设抛活物线遗方程好为y2=2酿px质,把点M(掩1,载-2些)的坐纠标代嗓入得2p秩=4弦,故抛见物线虏的标扭准方杀程为y2=4岁x.[剖析]上面猪的解棋法漏然掉了荡抛物偷线的武焦点懂还可客以在y轴的曲负半仍轴上万的情嫩形.[正解]当抛协物线庸的焦茎点在x轴上致时,设方诸程为y2=m点x(动m≠爆0)幅,把点M(匠1,而-2盾)的坐伶标代稍入得m=鸭4,故抛万物线位的标蓄准方溉程为y2=4饭x;当抛朝物线旦的焦幸点在y轴上垂时,设方仗程为x2=n魂y(终n≠类0)矛,把点M(远1,悉-2夕)的坐蚁标代缸入得腰故容抛物桨线的她标准纱方程硬为故应慢填y2=4辈x和[答案]错源宰四对述直线雕与抛松物线偏只有俭一个案公共社点认创识不基清【典例4】求过睁点(0腥,1似)且与仙抛物掏线y2=2储x只有度一个讽公共奴点的霜直线l的方捏程.[剖析]事实探上,上述敲解法仙只考筋虑了才直线l的斜恐率存震在且显不为0时解贫的情呼形,而忽楼视了k不存坡在以四及直挺线l平行育于抛秀物线享对称良轴这疫两种做情形.[正解](笋1)当直跟线l的斜融率为0时,则l:量y=1奔,此时l平行翠于抛睛物线决的对纱称轴,且于查抛物盗线只透有一既个公郊共点(2颈)当直养线l的斜趴率k≠权0时,同错欺解.(3挑)当k不存夫在时,则l:蜻x=0与抛粉物线y2=2冲x相切景于点(0辰,0充).综上忌可知,所求船直线l的方防程为:技法丈一中抛物仓线中的过定病点直拣线的棋性质【典例1】已知私抛物是线y2=2骨px趋(p倍>0列),过(2偶p,拜0)作直牧线交仗抛物余线于钞两点,请写冠出你溪所能浓得出医的不肝同结公论.[分析]设直我线与泻抛物窜线交挎于A､柿B两点,有以怎下结逝论:结论1:蝴OA碗⊥O稼B.[证明]设P(傻2p辽,0苗),当AB不垂斤直于x轴时,△绸OP疑M为直伞角三肢角形,M在以OP为直彻径的晚圆周垄上,方程咬为(x书-p小)2+y2=p2.当AB饥⊥x轴时,M点与P点重偿合,满足翁上述匙方程.所以,M点轨类迹方霜程为(x滋-p梨)2+y2=p2(除(0葱,0苏)点外).结论1和结杆论3所对惧应命扣题的迁逆命墨题也族成立,不妨童证明糟之.[思考]若将神定点(2仅p,塞0)改为(p絮,0滴)或(3钢