届高考文科数学一轮复习考案直线与圆圆与圆的位置关系

§7.3直线与圆、圆与圆的位置关系

真题探究考纲解读知识盘点典例精析例题备选命题预测基础拾遗技巧归纳

考点考纲解读1直线与圆的位置关系能根据给定的直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系.2圆与圆的位置关系能根据给定的两个圆的方程判断两圆的位置关系.3直线和圆的方程的应用能用直线和圆的方程解决一些简单的问题,初步了解用代数方法处理几何问题的思想.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选

从近几年高考来看,涉及本节内容的试题主要考查直线与圆,圆

与圆的位置关系,考查用代数方法处理几何问题的思想,题型以选择

题、填空题为主,属中档题.可以预测2013年高考考查的热点问题是

利用直线与圆的位置关系求弦长问题.求圆的方程或求参数范围问

题,同时着重考查数形结合思想的应用.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选1.常用研究方法:①判别式法;②考查圆心到直线的距离与半径的大

小关系.2.直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系有三种:若d=

,则d>r⇔相离⇔Δ<0;d=r⇔相切⇔Δ=0;d<r⇔相交⇔Δ>0.3.直线和圆相切(1)过圆上一点的圆的切线方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r2的以P(x0,y0)为切点

的切线方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.

一、直线与圆的位置关系考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选当点P(x0,y0)在曲线外时,(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2表示切点弦的方程.(2)一般地,曲线Ax2+Cy2-Dx+Ey+F=0的以点P(x0,y0)为切点的切线方

程是:Ax0x+Cy0y-D·

+E·

+F=0.当点P(x0,y0)在曲线外时,Ax0+Cy0y-D·

+E·

+F=0表示切点弦的方程.这个结论只能用来做选择或者填空题,若是做解答题,只能按求切线

方程的常规过程去做.(3)过圆外一点的切线方程:一般求法是设点斜式,利用圆心到切线的距离等于半径求斜率.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选二、圆与圆的位置关系判定方法:设两圆圆心分别为O1、O2,半径分别为r1、r2,|O1O2|=d.①d>r1+r2⇔外离⇔4条公切线;②d=r1+r2⇔外切⇔3条公切;③|r1-r2|<d<r1+r2⇔相交⇔2条公切线;④d=|r1-r2|⇔内切⇔1条公切线;⑤0<d<|r1-r2|⇔内含⇔无公切线.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选三、圆系方程1.经过两个圆交点的圆系方程:经过圆x2+y2+D1x+E1y+F1=0,x2+y2+D2x

+E2y+F2=0的交点的圆系方程是:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+

F2)=0(不表示后一个圆).若λ=-1,可得两圆公共弦所在的直线方程:(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=

0.2.经过直线与圆交点的圆系方程:经过直线l:Ax+By+C=0与圆x2+y2+

Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程是:x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0

(不表示直线l).考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选1.与圆x2+(y-2)2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有

(

)(A)2条.

(B)3条.

(C)4条.

(D)6条.【解析】由题意可知,过原点且与圆相切的直线共有2条,此时与两

坐标轴的截距都是0;当圆的切线与两坐标轴截距相等且不为零时,

此切线过一、二、四象限,易知满足题意的切线有2条,综上共有4条.【答案】C考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选2.已知圆C1:x2+y2-6x-7=0与圆C2:x2+y2-6y-27=0相交于A、B两点,则线

段AB的中垂线方程为

(

)(A)x+y-3=0.

(B)x-y-3=0.(C)x-y+3=0.

(D)x+y+3=0.【解析】AB的中垂线即为圆C1、圆C2的连心线C1C2,又C1(3,0),C2(0,3),

C1C2的方程为x+y-3=0,即线段AB的中垂线方程为x+y-3=0.【答案】A考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选3.圆C:x2+y2-2x-4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离d=

.【答案】3【解析】圆心(1,2)到直线3x+4y+4=0距离为

=3.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选4.直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2

,则k的取值范围是

.【解析】圆心(3,2)到直线的距离d=

,则由|MN|≥2

及圆的半径为2,得d=

≤1,解得-

≤k≤0.【答案】[-

,0]考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选题型1直线与圆的位置关系 例1已知动直线l:y=kx+5和圆C:(x-1)2+y2=1,试问k为何值时,直线l与圆C相离、相切、相交.【分析】联立方程,消去一个未知数(如y),可得关于x的二次方程,再

利用判别式Δ<0,Δ=0和Δ>0,求k的取值范围.或者利用圆心到直线的

距离与半径的大小关系,求参数k的取值范围.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选【解析】(法一)(代数法)联立方程

消去y整理得:(k2+1)x2+(10k-2)x+25=0,则Δ=(10k-2)2-4(k2+1)×25=-40k-96,∴当直线l与圆C相离时,有-40k-96<0,故k>-

;当直线l与圆C相切时,有-40k-96=0,故k=-

;当直线l与圆C相交时,有-40k-96>0,故k<-

.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选(法二)(几何法)圆C:(x-1)2+y2=1的圆心为C(1,0),半径r=1.设直线l与圆心C的距离为d,则d=

.当d>r,即

>1,即k>-

时,直线l与圆C相离;当d=r,即

=1,即k=-

时,直线l与圆相切;当d<r,即

<1,即k<-

时,直线l与圆相交.【点评】研究直线与圆的位置关系有两种方法:代数法和几何法,可

根据题设选用适当的方法.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选变式训练1已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0

(m∈R).【解析】(1)l的方程(x+y-4)+m(2x+y-7)=0.∵m∈R,∴由

得

即l恒过定点A(3,1).∵圆心C(1,2),|AC|=

<5(半径),∴点A在圆C内,从而直线l与圆C恒交于两点.(2)弦长最小时,l⊥AC,由kAC=-

,得kl=2,∴l的方程为2x-y-5=0.(1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点;(2)求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选题型郊2圆的践切线愁或弦裙长问睁题 例2已知点P(0,5)及圆C:x2+y2+4x-12y+24=0.(1赶)若尼直线l过点P且被墙圆C截得州的线蛋段长炊为4,求l的方糖程;(2利)求例过P点的敢圆C的弦滩的中粮点的撑轨迹秩方程非.【分析】(1)利用弦长求出直线l的斜率;(2)利用垂径定理找等量关

系求解.考纲移解读命题晨预测知识巴盘点典例敏精析技巧洋归纳真题思探究基础希拾遗例题持备选【解眨析】丸(1圾)(暗法一津)如龄图所仙示,弓|AB|=两4,D是线绣段AB的中庸点,CD⊥AB,怠|AD|=常2,|AC|=及4,目在R深t△AC络D中,陪可得踪蝶|CD|=读2.他圆C的标薄准方字程为该(x+2挖)2+(y-6)2=1廉6,豪圆心C为(-2,返6)凡,半守径r=4刊.当直士线l的斜场率存热在时婶,设席所求蛾直线l的斜范率为k,则疲直线l的方形程为y-5=kx,即kx-y+5挪=0扔.由点C到直负线AB的距孤离得锤:=2澡,得k=,此时泰直线l的方夸程为丧3x-4y+2砍0=行0.又直醒线l的斜臣率不喇存在忠时,丢也满飞足题锻意,撞此时l的方躬程为x=0艳.考纲浪解读命题洁预测知识别盘点典例愉精析技巧毯归纳真题恩探究基础摆拾遗例题也备选∴所从求直遭线l的方磁程为爽3x-4y+2崇0=纲0或x=0年.(法虎二)称当直灯线l的斜樱率存娃在时纺,设淘斜率宵为k,则司直线l的方拒程为y-5=kx,即y=kx+5口.红由消去y得(住1+k2)x2+(谊4-2k)x-11巩=0租.①设方谅程①猪的两牌根为x1,x2,则由弦邪长公铃式得=4,解弓得k=,此时毒直线恋方程群为3x-4y+2钉0=傍0.考纲板解读命题棚预测知识蔬盘点典例尿精析技巧渗归纳真题来探究基础酸拾遗例题舱备选【点凳评】毯涉护及弦鉴长或供弦的先中点伪问题狂,通扔常利座用弦柿的中白点、府端点停和圆心构责成的冲直角恨三角则形来档求解酒.又斜率k不存在时也满足题意,此时直线方程为x=0.∴所求直线的方程为x=0或3x-4y+20=0.(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x,y),则CD⊥PD,∴

·

=0,∴(x+2,y-6)·(x,y-5)=0,化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x-11y+30=0.考纲翅解读命题榜预测知识啦盘点典例诉精析技巧非归纳真题价探究基础添拾遗例题奴备选变式擦训练艳2沫已知混圆O的方踪蝶程为x2+y2=1挪,直报线l1过点A(3杀,0咸),鞠且与移圆O相切.(1爸)求肝直线l1的方方程;(2减)设装圆O与x轴交瘦于P,Q两点绳,M是圆O上异米于P,Q的任挨意一华点,雨过点A且与x轴垂岭直的嫂直线锹为l2,直自线PM交直彻线l2于点P',错直线QM交直民线l2于点Q'.响求证居:以P'Q'为吧直径纹的圆C总过滑定点泡,并州求出盖定点剂坐标错.考纲炸解读命题峡预测知识跟盘点典例堤精析技巧否归纳真题理探究基础理拾遗例题蛙备选【解析】(1)∵直线l1过点A(3,0),且与圆C:x2+y2=1相切,设直线l1的方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0,则圆心O(0,0)到直线l1的距离为d=

,解得k=±

,∴直线l1的方程为y=±

(x-3).(2)由已知P(-1,0),Q(1,0).又直线l2过点A且与x轴垂直,∴直线l2方程为

x=3,设M(s,t),则直线PM方程为y=

(x+1).考纲冷解读命题折预测知识晶盘点典例途精析技巧弱归纳真题附探究基础慌拾遗例题损备选解方程组

得P‘(3,

).同理可得,Q’(3,

).∴以P‘Q’为直径的圆C‘的方程为(x-3)(x-3)+(y-

)(y-

)=0,又s2+t2=1,∴整理得(x2+y2-6x+1)+

y=0,若圆C‘经过定点,只需令y=0,从而有x2-6x+1=0,解得x=3±2

,∴圆C‘总经过定点(3±2

,0).考纲脆解读命题堤预测知识际盘点典例骡精析技巧脏归纳真题加探究基础见拾遗例题欧备选题型粉3圆与场圆的娃位置枕关系例3旧圆O1的方网程为x2+(y+1谜)2=4渔,圆O2的圆桶心为O2(2棋,1幼).(1现)若芒圆O2与圆O1外切华,求离圆O2的方月程;(2劳)若叹圆O2与圆O1交于A、B两点州,且络|AB|=尺2,求械圆O2的方肯程.【分析】(1)利用两圆外切求出圆O2的半径;(2)利用圆O1的圆心到两

圆公共弦AB所在直线的距离、圆O1的半径、

|AB|构造直角三角形,求出圆O2的半径.考纲柔解读命题辣预测知识妻盘点典例锹精析技巧侄归纳真题各探究基础架拾遗例题奥备选【解免析】音(1塞)设酸圆O2的半帐径为r2,由扶于两栗圆外端切,烦∴|O1O2|=r1+r2,r2=|O1O2|-r1=2柜(-1)摧,故掠圆O2的方毛程是柿(x-2)2+(y-1)2=4养(-1)2.(2摸)设般圆O2的方疗程为芹(x-2)2+(y-1)2=,又旺圆O1的方讨程为x2+(y+1搞)2=4航,此两丈圆的正方程岭相减避,即第得两挽圆公放共弦AB所在其直线豪的方瓶程:声4x+4y+-8=0.∴圆堆心O1(0颜,-1)重到直旗线AB的距搞离为==,解得=4培或=2井0.故圆O2的方父程为参(x-2)2+(y-1)2=4劈燕或(x-2)2+(y-1)2=2码0.考纲涉解读命题惜预测知识幸盘点典例核精析技巧器归纳真题兼探究基础理拾遗例题狗备选【点态评】丽判断固两圆雹位置餐关系屠的方钱法有讲两种岩:一灵是代来数法医,即跳解由夜两圆方程总组成痰的方敏程组挑,若码方程扯组无降实数朱解,培则两赖圆相散离或温内含闹,若马方程践组有两南组相俭同的羡实数葡解,务则两恰圆相路切,傻若方没程组畜有两牙组不纲同的敌实数也解,赴则两圆溜相交已;二么是几堪何法坛,即汽通过摊讨论逼两圆掉的圆独心距伍与两串圆半稿径之筹间的关系饰来判呢断两陡圆的宴位置继关系享.考纲芝解读命题金预测知识聋盘点典例这精析技巧直归纳真题简探究基础碎拾遗例题梦备选变式扬训练爬3扎(1水)若铅圆x2+y2=4兄与圆x2+y2+2ay-6=狂0(a>0并)的脊公共共弦长批为拆2,则a=.(2介)若称☉O:x2+y2=5沃与☉O1:(x-m)2+y2=2葵0(m∈R字)相榜交于A、B两点挤,且虽两圆在足点A处的芽切线缴互相勒垂直应,则号线段AB的长贫度是.【答干案】掠(砖1)子1生(耕2)飘4【解析】(1)两圆方程作差,易知弦所在直线方程为:y=

,由已知半弦长为

,半径为2,故

=1,∴a=1.(2)由题意,☉O1与☉O在A处的切线互相垂直,则两切线分别过另一

圆的圆心,所以O1A⊥OA.又∵|OA|=

,|O1A|=2

,∴|OO1|=5,而A、B关于OO1轴对称,所以AB为Rt△OAO1斜边上高的2倍,即|AB|=2×

=4.考纲熊解读命题霉预测知识怨盘点典例完精析技巧斩归纳真题故探究基础苹拾遗例题夹备选1.妖判断未直线拳与圆趣的位苍置关六系一桥般有爸两种崇方法期(1雹)几超何法醒:比孝较圆限心到直线善的距言离与吊圆半仪径的滨大小谷;(狮2)捞代数愉法:晓讨论闻圆的阁方程青与直访线方杏程的实数美解的糊组数席.注坏意:盯两种哈方法晃中优彩先考蝴虑使捉用几观何法糖.2诞求过若圆外皇一点胀(x0,y0)的牛圆的友切线睬方程饺的方伍法:硬(1竹)几工何法夏:当栽斜率欣存在时,犹设为k,切研线方互程为y-y0=k(x-x0),滨即kx-y+y0-kx0=0讯.由使圆心为到直遇线的紧距离等淘于半堤径,惭即可赛得出评切线步方程餐;(杠2)创代数先法:胞当斜令率存就在时沸,设田切线袜方程为y-y0=k(x-x0),电即y=kx-kx0+y0,代苏入圆元方程永,得环一个骡关于x的一熊元二熟次方程眼,由Δ=0隔,求类得k,切蜜线方辩程即工可求老出.考纲蜡解读命题网预测知识堪盘点典例永精析技巧这归纳真题浙探究基础写拾遗例题铸备选3.右以P(x1,y1)、Q(x2,y2)为教直径侦端点继的圆姓的方钱程为累(x-x1)(x-x2)+矛(y-y1)(y-y2)=孔0.4.希圆的侨弦长解的常目用求申法:珠(1渐)几闻何法爬:设夕圆的梦半径野为r,弦巡寿心距教为d,弦玩长为l,则黎()2=r2-d2;(世2)贯代数尘法:萌运用唱韦达享定理钉及弦立长公幼式:掘|AB|=|x1-x2|=·.5.乖判评断两元圆的僚位置防关系书时常帅用几樱何法补,倾即利霉用两扬圆圆奥心之贝间的暂距离与两扎圆半处径之销间的落关系姐,纽奉一般摄不采绸用代晚数法损.若减两圆赌相交怖,则环两圆直公共弦堂所在营直线颗的方婆程可黄由两伤圆的排方程阀作差鼓消去x2、y2项得限到.考纲泻解读命题因预测知识吊盘点典例流精析技巧堤归纳真题抖探究基础竿拾遗例题做备选1.术(2香01禽1年持江西吉卷)愿若曲爪线C1:x2+y2-2x=0昨与曲莲线C2:y(y-mx-m)=时0有侄四个不同职的交柱点,鄙则实砖数m的取励值范扑围是(仗)(A众)(-,).映(B滤)(-,0安)∪(0面,).(C盾)[-,].痰(革D)码(-∞,-)∪(,+∞).【解析】配方得,曲线C1:(x-1)2+y2=1,即曲线C1是圆心为C1(1,0),半径

为1的圆,曲线C2则表示两条直线:x轴与直线l:y=m(x+1),显然x轴与圆

C1有两个交点,于是直线l与曲线C1相交,故圆心C1到直线l的距离d=

<r=1,解得m∈(-

,

),又当m=0时,直线l与x轴重合,此时只有两个交点,应舍去.故选B.【答悲案】刊B考纲今解读命题秆预测知识衣盘点典例它精析技巧垃归纳真题载探究基础唯拾遗例题决备选2.探(2验01狼1年真重庆拦卷)臂设圆C位于帽抛物话线y2=2x与直敬线x=3当所组剩成的铜封闭糠区域(侧包含柴边界薄)内撒,则罗圆C的半汽径能勤取到爷的最绑大值锁为.【解析】由题意知,半径取得最大值的圆的圆心必在x轴上,设圆心

为(a,0)(0<a<3),则半径为3-a,于是圆的方程为(x-a)2+y2=(3-a)2,将抛物

线方程y2=2x代入圆方程得(x-a)2+2x=(a-3)2,即x2-2(a-1)x+6a-9=0,由Δ=

4(a-1)2-4(6a-9)=0,即a2-8a+10=0,a=4±

,∵0<a<3,∴a=4-

,故圆C的半径能取到的最大值为3-a=

-1.【答案】

-1考纲想解读命题郑预测知识校盘点典例虽精析技巧慈归纳真题期探究基础敲拾遗例题凯备选例1妹已察知点M(3坊,1闸),用直线ax-y+4智=0灿及圆爷(x-1)2+(y-2)2=4歉.(1抗)求浙过M点的挪圆的株切线局方程花;(2著)若旧直线ax-y+4挑=0狭与圆标相切纺,求a的值近;(3拉)若线直线ax-y+4结=0新与圆减相交多于A,B两点敞,且烈弦AB的长雪为2,求a的值刮.考纲酷解读命题债预测知识壮盘点典例雨精析技巧蛮归纳真题接探究基础菜拾遗例题馋备选【解迟析】奋(1值)由摸题意觉可知M在圆诵(x-1)2+(y-2)2=4蜘外,攀故切旦线有微两条剃.当斜冬率不展存在两时,漆显然形直线x=3懂与圆冻相切柳.当斜鸡率存著在时计设切鉴线为y-1=k(x-3)嫌,即kx-y-3k+1续=0骗.由=2饲,∴k=,∴鹿所求廊的切清线方射程为x=3支或3x-4y-5=久0.(2齐)由ax-y+4订=0伯与圆启相切谣知=2零,∴a=0泥或a=.(3盆)圆暖心到踪蝶直线筹的距酱离d=,又AB=2,r=2怨,∴由r2=d2+()2,可纹得a=-.考纲鲁解读命题蛙预测知识置盘点典例努精析技巧尘归纳真题错探究基础做拾遗例题挥备选例2芳已惕知以华点C(t,)(t∈R皆,t≠0)侵为圆鲁心的趁圆与x轴交锹于点O、A,与y轴交辅于点O、B,其乌中O为原辈点.(1助)求低证:萄△AO卸B的面谊积为沾定值效;(2参)设地直线碌2x+y-4=互0与偷圆C交于朱点M、N,若遮|OM|=羽|ON|,参