第二十四讲高考复习平面向量的概念及运算

第一节平面向量的概念及运算

最新考纲1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．2．掌握向量的加法和减法．3．掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．4．了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，掌握平面向量的坐标运算．高考热点1.以选择题、填空题的形式考查向量的有关概念、运算法则．2．对共线向量定理及平面向量基本定理的考查也主要出现在选择题、填空题中，但有时也出现在解答题中.大小

方向

有向

零向量

平行向量

共线向量

相等向量

单位向量

三角形

平行四边形

3．向量b与向量a共线的充要条件是

(λ为实数)(其中a≠0)．4．向量加法的运算律：交换律

结合律

．a＋b＋c＝a＋(b＋c)b＝λaa＋b＝b＋a.(1)向量是具有大小和方向的量，二者缺一不可，两个向量只有模相等且方向相同时，才能称它们相等．对于一个向量，只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的，即我们研究的是自由向量.

题型一平面向量的有关概念思维提示向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量例1给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝±b；②若|a|＜|b|，则a＜b；③若a＝b，则a∥b；④若a∥b，则a＝b；⑤若|a|＝0，则a＝0；⑥若a≠b，则a与b一定不共线．其中，正确命题的序号是________(把你认为正确的命题序号都填上)．[思路点拨]借助于相等向量、共线向量、零向量、向量的模等概念逐一作出判断．[解析]

(1)两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，也不一定相反，故①不正确．(2)由向量不能比较大小，知②不正确．(3)共线向量是指方向相同或相反的向量，相等向量一定共线，共线向量不一定相等，故③正确，④不正确．(4)零向量与数字0是两个不同的概念，零向量不等于数字0，故⑤不正确．(5)因为向量不相等，可能仅由于模不相等，方向仍可能是相同的，所以a与b有共线的可能，故⑥不正确[答案]

③

备选例题1

(2008·海南·宁夏高考)平面向量a，b共线的充要条件是()A．a，b方向相同B．a，b两向量中至少有一个为零向量C．存在λ∈R，b＝λaD．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a＋λ2b＝0答案：D题型二平面向量的线性运算思维提示向量的加法、减法运算法则以及几何意义[思维父启迪]结合地图形炕性质货，准览确灵篇活运光用三蜘角形陈法则摆和平浇行四素边形途法则类是向说量加蹲减运免算的怀关键杠．[规律芬总结](1毫)解题盏的关益键在磁于搞忧清构们成三巩角形查的三耽个问挑题间拼的相叶互关圈系，机能熟猜练地阳找出桐图形真中的集相等欣向量回，并希能熟咸练运符用相悔反向市量将馒加减翠法相即互转指化．(2裁)用几雅个基净本向锐量表秒示某爷个向芹量问专题的著基本续技巧竞是：①观察倚各向异量的吗位置易；②寻找产相应注的三着角形凶或多迫边形糠；③运用纲法则拦找关今系；④化简焦结果.答案干：A题型三共线向量定理、平面向量基本定理及应用思维提示证明三点共线问题，可用向量共线来解决．平面内任意三个不共线的向量中的任何一个向量都可以表示为其余两个向量的线性组合，且形式唯一题型四平面向量的坐标运算思维提示①向量的坐标运算法则②已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，则x1y2＝x2y1例4平面期内给感定三堤个向悔量a＝(3池,2捎)，b＝(－1,桐2)，c＝(4端,1概)，回谜答下锣列问毒题：(1休)求3a＋b－2c；(2坑)求满富足a＝mb＋nc的实裁数m，n；(3站)若(a＋kc)∥(2b－a)，求家实数k；(4盟)若d＝(x，y)满足(d－c)∥(a＋b)且|d－c|＝1，求d.[分析](1趁)直接粮用向业量加独减法邪的坐泪标运要算公巾式．(2券)借助裁于向鸽量相闭等的努条件甜，建屠立关烫于m，n的方耍程组茎．(3咬)利用宪向量殖共线迟的充纽奉要条首件，瞎建立轧关于诵实数k的充脏要条妈件．(4丸)利用(d－c)∥(a＋b)及|d－c|＝1建立秤关于x，y的方尾程组帜．[规律跑总结]向量可的坐梳标表鄙示实脉际上希就是震向量齿的代汗数表伟示．稿在引谅入向陶量的切坐标唱表示堆后，督可以然使向哈量的俭运算光完全扶化为掉代数摸运算再．这认样就打可以钩将“形”和“数”紧密径结合丝式在一祝起．课因此斩，很帖多几湖何问氧题，稿特别字是像僵共线杜、共讲点等枝较难勤问题践的证舟明，恒通过启建立星坐标划系，腔设出守点的得坐标齐就可失转化蔬为坐偿标运仓算来某解决凳．如令：要浪证平准行，岛只需僚相关鞋向量姥共线踪蝶；要仗证垂虫直，胡只需理相关晕向量骂数量肺积等嗽于0.备选订例题4已知霸向量a＝(－3,垂2)，b＝(2张,1语)，c＝(3，－1)，t∈R.(1糖)求|a＋tb|的最侧小值胆及相吼应的t值；(2甲