第章弯曲变形

第9章弯曲刚度问题9-1基本概念9-2小挠度微分方程及其积分9-3工程中的叠加法9-4简单的静不定问题弯曲刚度问题9-5梁的刚度设计１基本概念弯曲变形研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。研究目的：①对梁作刚度校核；②解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用w表示。与y

同向为正，反之为负。

2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用表示，顺时针转动为正，反之为负。

二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。其方程为：

w=f(x)三、转角与挠曲线的关系：弯曲变形一、度量梁变形的两个基本位移量小变形PxwCqC1y

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小挠度微分方程及其积分一、挠曲线近似微分方程式（2）就是挠曲线近似微分方程。弯曲变形小变形yxM>0yxM<0对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：二、求挠曲线方程（弹性曲线）1.微分方程的积分弯曲变形2.位移边界条件积分一次得转角方程为：再积分一次得挠度方程为：支点位移条件：连续条件：光滑条件：弯曲变形PABCPD2.位移边界条件积分常数C1、C2

由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。讨论：①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条件）确定。④优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁。弯曲变形例1求下列各等截面直梁的挠曲线方程、最大挠度及最大转角。建立坐标系并写出弯矩方程写出微分方程的积分并积分应用位移边界条件求积分常数弯曲变形解：PLxf写出挠曲线方程并画出曲线最大挠度及最大转角弯曲变形xfPL解：建立坐标系并写出弯矩方程写出微分方程的积分并积分弯曲变形xfPLa应用位移边界条件求积分常数弯曲变形PLaxf写出挠曲线方程并画出曲线最大挠度及最大转角弯曲变形PLaxf弯曲变形讨论积分法求变形有什么优缺点？设梁上有n个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为M(x)，转角为，挠度为y，则有：若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩为，转角为，挠度为，则有：由弯矩的叠加原理知：所以，3工程中的叠加原理一、赌载荷夜叠加摧：多个制载荷充同时升作用久于结版构而举引起巧的变跪形摩等背于每君个载月荷单屿独作资用于摔结构腿而引游起的乖变形答的代畜数和卷。弯曲统变形重要悲结论砖：梁在械若干蓬个载痕荷共航同作科用时镰的挠赢度或励转角雹，等吃于在肺各个侧载荷要单独森作用送时的见挠度办或转桂角的鼓代数至和。映这就肯是计算惭弯曲郑变形惯的叠冬加原杜理。故由于娇梁的慰边界钞条件难不变肃，因老此例4按叠考加原痕理求A点转感角和C点县挠度堤。解、载荷好分解借如图由梁笼的简舱单载健荷变海形表电，查简宪单载缎荷引造起的毅变形伐。弯曲洋变形qqPP=+AAABBBCaa弯曲俗变形qqPP=+AAABBBCaa叠加例5按叠巡寿加原厘理求C点挠割度。解：载荷qd焰x看成押一集闲中力由梁充的简暖单载夸荷变戏形表言，查简街单载族荷引啊起的晕变形矛。叠加炒在图垂示均栏布载触荷作谦用下彩，跨期度中顿点c的挠称度应殊为dy情c的积还分弯曲率变形0.5L0.5LxCAbBDqd穿x0.5L0.5LxCAbBDdp=qdxdyc例6已知：悬臂希梁受添力如捎图示否，q、l、EI均为盖已知肉。求C截面蛾的挠斥度yC和转角C1）首乌先，爽将梁句上的美载荷劫变成摩有表士可查扭的情符形为了殖利用鞠梁全狱长承麻受均映布载晋荷的魄已知涛结果凶，先的将均坐布载股荷延贷长至财梁的驰全长菠，为昆了不钞改变飞原来璃载荷共作用辣的效葡果，深在AB段还袖需再迅加上村集度单相同赔、方艇向相择反的岛均布袍载荷更。解弯曲吵变形3）将豪结果叙叠加2）再猾将处语理后轧的梁势分解侵为简栽单载虽荷作湾用的驴情形巨，计宜算各崖自C截面的挠集度和蒜转角物。弯曲企变形讨婆论叠加崇法求桌变形属有什状么优倡缺点货？弯曲俯变形1.基本驶概念博：超静禽定梁充：支反仔力数涌目大庸于有抽效平最衡方丹程数洞目的佣梁多余于约束虫：从维验持平女衡角视度而捆言,多余聪的约着束超静坑定次油数：多余古约束都或多裕余支肚反力困的数吼目。2.求解竖方法劝：解除演多余举约束逆，建旦立相形当系气统——比较尽变形妻，列模变形不协调亲条件——由物零理关腹系建哑立补服充方顿程——利用学静力耍平衡镇条件化求其撑他约塑束反请力。相当识系统代：用多尺余约涨束力谢代替浅多余裹约束驻的静挠定系桶统7-朗64简单痒的静听不定膜问题弯曲座变形解例6求梁秤的支消反力顷，梁振的抗士弯刚参度为EI。1）判北定超签静定眯次数2）解保除多勾余约苗束，盖建立座相当说系统3）进欠行变霜形比鲜较，脉列出详变形削协调肾条件弯曲历变形4）由羞物理社关系皇，列挤出补苍充方绳程所以4）由息整体妹平衡守条件羞求其瓦他约酬束反绘力弯曲疑变形例7梁AB和BC在B处铰托接，A、C两端绕固定详，梁御的抗匆弯刚贴度均风为EI，F=店40炉kN，q=报20宜kN罚/m。画梁屿的剪休力图陡和弯求矩图翻。从B处拆栽开，寻使超快静定册结构播变成核两个凉悬臂仰梁。变形勤协调欲方程每为：FBMAFAyB1FBMCFCyB2物理鸡关系解弯曲幕变形代入债得补帆充方券程：确定A端约趣束力弯曲邻变形FBF´BMAFAMCFCyB1yB2FBF´BMAFAMCFCyB1yB2确定B端约蝇束力弯曲题变形MAFAMCFCA、B端约挨束力秒已求分出最后俭作梁相的剪关力图蚁和弯借矩图弯曲己变形1.刚度早条件建筑钻钢梁跨的许专可挠兴度：机械讲传动榜轴的塌许可拦转角：精密袄机床鞠的许窄可转券角：7-乎55梁的众刚度侄设计弯曲周变形根据恶要求杀，圆览轴必蚀须具口有足巧够的枯刚度护，以田保证内轴承B处转角角不鄙超过弄许用阔数值聪。B1）由挠争度表绵中查因得承鹿受集严中载搁荷的哀外伸痛梁B处的宋转角童为：解例5已知剥钢制蹈圆轴宋左端顺受力顾为F＝20kN，a＝l岛m，l＝2丝式m，E=2榨06GP脚a。轴承B处的速许可剖转角θ=0楚.5筹°。根据殃刚度丛要求己确定阅轴的增直径d。弯曲柴变形例6已知煤钢制凶圆轴享左端抓受力鸽为F＝20kN，a＝l膝m，l＝2足m，E=2难06GP描a。轴承B处的纳许可届转角θ=0垂.5箩