人工智能第五章不确定性推理

人工智能第五章不确定性推理第一页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五第五章不确定性推理概述概率论基础Bayes网络主观Bayes方法确定性方法证据理论第二页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五概述一个人工智能系统，由于知识本身的不精确和不完全，常采用非标准逻辑意义下的不确定性推理方法和非单调推理方法。对于不确定推理来说，不精确性如何描述以及如何传播是主要问题。对于非单调推理来说，如何提出合理的假设以及矛盾的处理是主要问题。第三页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五不确定推理方法是70年代提出并加以研究的，实际的人工智能系统采用的不确定推理常是不够严谨的，但尚能解决些问题，符合人类专家的直觉，在概率上也可给出某种解释。Shortliffe等人1975年结合MYCIN系统的建立提出了确定性理论。Duda等人1976年结合PROSPECTOR系统给出了主观概率法。DempsterShafer1976年提出证据理论。Zadeh1978年提出了可能性理论，1983年提出了模糊逻辑。Bundy1984年提出了关联值计算。Cohen1985年讨论一种非数值方法称作批注理论。Nilsson1986年提出概率逻辑。Pearl等人1986年信任网络。概述第四页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五概述不确定推理知识库是人工智能系统的核心，而知识库中的知识既有规律性的一般原理，又有大量的不完全的专家经验知识，这样的知识不可避免的带有模糊性、随机性、不可靠或不知道等不确定因素。一般地说，不确定性是来自知识的客观现实和知识的主观认识水平。不确定性是人们思维过程中经常出现的一种心理状态，人们在日常生活中要处理大量的不确定性问题。现实世界上几乎没有什么事情是完全确定的，处理不确定性的目的是希望得到对某一命题的精确判断。第五页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五概述不精确思维并非专家的习惯或爱好所至，而是客观现实的要求。很多原因导致同一结果推理所需的信息不完备背景知识不足信息描述模糊信息中含有噪声规划是模糊的推理能力不足解题方案不唯一在人类的知识和思维行为中，精确性只是相对的，不精确性才是绝对的。知识工程需要各种适应不同类的不精确性特点的不精确性知识描述方法和推理方法。第六页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五概述-表示的3方面问题不确定问题的数学模型一个问题的代数模型是由论域、运算和公理组成的。依这种观点，我们希望所引入的各种不确定推理方法应符合某种代数结构，如在某种意义下构成半群（在不确定性值域上，对不确定性度量的合成运算来说，具有封闭性并满足结合律），甚至反过来把这种结构做为建立一种不确定推理方法的必要条件。以这种观点建立的不确定问题模型必须说明不确定知识的表示、计算和语义解释这三个方面。第七页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五概述-表示的3方面问题不确定问题的数学模型表示的3方面问题表示问题指的是采用什么方法描述不确定性，这是解决不确定推理的关键一步。通常有数值表示和非数值的语义表示方法，两者都不完善。数值表示便于计算、比较，再考虑到定性的非数值描述才能较好的解决不确定问题。如对规则A→B和命题（事实）A分别以f(B，A)和C(A)来表示不确定性度量。第八页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五基于概率的方法依据概率论的有关理论发展起来的方法模糊推理

依据模糊理论发展起来的方法(1)数值方法(1)数值方法概述-表示的3方面问题第九页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五

纯概率方法虽然有严密的理论依据，但它通常要求给出事件的先验概率和条件概率，而这些数据又不易获得，因此其应用受到了限制。为了解决这个问题，人们在概率理论的基础上发展起来了一些新的方法及理论。（3）证据理论:它通过定义信任函数、似然函数，把知道和不知道区别开来。（2）可信度方法:它是MYCIN专家系统中使用的不确定推理模型，它以确定性理论为基础，方法简单、易用。（1）主观Bayes方法:它是PROSPECTOR专家系统中使用的不确定推理模型，是对Bayes公式修正后形成的一种不确定推理方法。概述-表示的3方面问题第十页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五概述-表示的3方面问题计算问题不确定性的传播和更新。也是获取新信息的过程。例如：

(1)已知C(A)和f(B,A)，如何计算A→B结论的C(B)。

(2)A的度量C1(A)已知，又从另一个规则得C2(A）时，如何确定C(A)。

(3)C(A1∧A2)，C(A1∨A1)等如何由C(A1)和C(A2)来计算。当然初始命题的不确定性度量的获得也是重要的，这常常是主观确定的由有关领域的专家给出。第十一页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五不确定性推理例子例如，对于如下的推理过程：R1：A2∧A3→B1R2：A1∨A2→B2R3：B1→BR4：B2→B

在描述这些规则时，采用的都是不确定性知识表示方式。第十二页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五推理树结果图

用推理树表示如图：第十三页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五概述-表示的3方面问题语义问题如何解释表示和计算的含义，目前多用概率方法。如：f（B，A）可理解为当前提A为真时结论B为真的一种影响程度，C（A）可理解为A为真的程度。特别关心的是f（B，A）的特殊值的意义：

1）A(T)→B(T)，f（B，A）=? 2）A(T)→B(F)，f（B，A）=? 3）B独立于A，f（B，A）=?

第十四页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五概述-表示的3方面问题

对C（A）关心的是其在特殊状态下的意义：

1）A为TRUE，C（A）=?

2）A为FALSE，C（A）=?

3）对A一无所知时，C(A)=?

其中，T：True，F：False第十五页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五1．表示问题（1）知识不确定性的表示（2）证据的不确定性表示2．计算问题（1）不确定性的传递算法（2）结论不确定性的合成（3）组合证据的不确定性算法3．语义问题(1)知识的不确定性度量，需要定义在三个典型情况下的取值。(2)对于证据的不确定性度量，需要定义在三个典型情况下的取值。要实现对不确定性知识的处理，必须要解决不确定知识的表示问题，不确定信息的计算问题，以及不确定性表示和计算的语义解释问题。概述-表示的3方面问题第十六页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五概述-分类

不确定性推理方法可分为形式化方法和非形式化方法。形式化方法：有逻辑法、新计算法和新概率法。逻辑法逻辑法是非数值方法，采用多值逻辑和非单调逻辑来处理不确定性。传统的有基于概率理论的贝叶斯网络等。第十七页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五概述-分类新计算法新计算法认为概率法不足以描述不确定性，从而出现了证据理论（也叫Dempster－Shafter，D-S方法），确定性方法（CF法）以及模糊逻辑方法。新概率法新概率法试图在传统的概率论框架内，采用新的计算方法以适应不确定性描述。非形式化方法：是指启发性方法，对不确定性没有给出明确的概念。

第十八页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五

不确定推理方法：工程方法、控制方法和并行确定性法。工程法将问题简化为忽略哪些不确定性因素。控制法利用控制策略来消除不确定性的影响，如启发式的搜索方法。通过识别领域中引起不确定性的某些特征及相应的控制策略来限制或减少不确定性对系统产生的影响，这类方法没有处理不确定性的统一模型，其效果极大地依赖于控制策略。概述-分类第十九页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五并行确定性法把不确定性的推理分解为两个相对独立的过程：

1）不计不确定性采用标准逻辑进行推理；

2）对第一个过程的结论加以不确定性的度量。前一过程决定信任什么，后一过程决定对它的信任程度。概述-分类第二十页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五第五章不确定性推理概述概率论基础Bayes网络主观Bayes方法确定性方法证据理论第二十一页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五第五章不确定性推理概述概率论基础Bayes网络主观Bayes方法确定性方法证据理论第二十二页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五概率论基础概率论是研究随机现象中数量规律的科学。所谓随机现象是指在相同的条件下重复进行某种实验时，所得实验结果不一定完全相同且不可预知的现象。众所周知的是掷硬币的实验。人工智能所讨论的不确定性现象，虽然不完全是随机的过程，但是实践证明，采用概率论的思想方法考虑能够得到较好的结果。在这节中我们简单给出概率论的基本概念和贝叶斯定理。

第二十三页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五概率论基础（随机事件）随机实验：随机实验是一个可观察结果的人工或自然的过程，其产生的结果可能不止一个，且不能事先确定会产生什么结果。

样本空间：样本空间是一个随机实验的全部可能出现的结果的集合，通常记作Ω，Ω中的点（即一个可能出现的实验结果）成为样本点，通常记作ω。随机事件：随机事件是一个随机实验的一些可能结果的集合，是样本空间的一个子集。常用大写字母A,B,C,…表示。

第二十四页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五概率论基础（事件间的关系与运算）两个事件A与B可能有以下几种特殊关系：包含：若事件B发生则事件A也发生，称“A包含B”，或“B含于A”，记作AB或BA。等价：若AB且BA，即A与B同时发生或同时不发生，则称A与B等价，记作A=B。互斥：若A与B不能同时发生，则称A与B互斥，记作：对立：若A与B互斥，且必有一个发生，则称A与B对立，记作A=~B或B=~A，又称A为B的余事件，或B为A的余事件。任意两个事件不一定会是上述几种关系中的一种。

第二十五页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五概率论基础（事件间的关系与运算）设A，B，A1，A2，…An为一些事件，它们有下述的运算：交：记C=“A与B同时发生”，称为事件A与B的交，C={ω|ω∈A且ω∈B}，记作或C=AB。类似地用表示事件“n个事件A1,A2,…An同时发生”。并：记C=“A与B中至少有一个发生”，称为事件A与B的并，C={ω|ω∈A或ω∈B}，记作。第二十六页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五概率论基础（事件间的关系与运算）

类似地用表示事件“n个事件A1,A2,…An中至少有一个发生”。差：记C=“A发生而B不发生”，称为事件A与B的差，C={ω|ω∈A但ω∈B}，记作C=A\B或C=A-B。求余：第二十七页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五概率论基础（运算的性质）事件的运算有以下几种性质：交换率：结合律：分配律：摩根率：事件计算的优先顺序为：求余、交、差和并。

第二十八页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五概率论基础（概率定义）定义：设Ω为一个随机实验的样本空间，对Ω上的任意事件A，规定一个实数与之对应，记为P(A)，满足以下三条基本性质，称为事件A发生的概率：

若二事件AB互斥，即AB=φ，则

以上三条基本规定是符合常识的。

第二十九页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五概率论基础（概率性质）定义：设{An,n=1,2,…}为一组有限或可列无穷多个事件，两两不相交，且，则称事件族{An,n=1,2,…}为样本空间Ω的一个完备事件族，又若对任意事件B有BAn=An或φ,n=1,2,…，则称{An,n=1,2,…}为基本事件族。完备事件族与基本事件族有如下的性质：定理：若{An,n=1,2,…}为一完备事件族，则，且对于一事件B有有若{An,n=1,2,…}为一基本事件族，则第三十页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五概率论基础（统计概率性质）对任意事件A，有。必然事件Ω的概率P(Ω)=1，不可能事件φ的概率P(φ)=0。对任意事件A，有。设事件A1，A2，…An（k≤n）是两两互不相容的事件，即有，则设A，B是两事件，则，

第三十一页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五概率论基础（条件概率）定义：设A，B为事件且P(A)>0，称

为事件A已发生的条件下，事件B的条件概率，P(A)在概率推理中称为边缘概率。简称P(B|A)为给定A时B发生的概率。P(AB)称为A与B的联合概率。有联合概率公式：第三十二页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五概率论基础（条件概率性质）

，若，则乘法公式：

全概率公式：设A1，A2，…An互不相交，，且，则对于任意事件A有第三十三页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五概率论基础（贝叶斯定理）设A，B1，B2，…，Bn为一些事件，P(A)>0，B1，B2，…，Bn互不相交，P(Bi)>0,i=1,2,…,n，且，则对于k=1,2,…,n，有:

贝叶斯公式容易由条件概率的定义、乘法公式和全概率公式得到。在贝叶斯公式中，P(Bi),i=1,2,…,n称为先验概率，而P(Bi|A)i=1,2,…,n称为后验概率也是条件概率。

第三十四页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五概率论基础（几率函数

）几率函数

几率函数定义为：它表示x的出现概率与不出现概率之比，显然随P(x)的加大O(x)也加大，而且当P(x)=0时，有O(x)＝0当P(x)=0.5时，有O(x)＝1当P(x)=1时，有O(x)＝∞于是，取值于[0,1]的P(x)被放大为取值于[0,∞]的O(x)。

第三十五页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五第五章不确定性推理概述概率论基础Bayes网络主观Bayes方法确定性方法证据理论第三十六页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五第五章不确定性推理概述概率论基础Bayes网络主观Bayes方法确定性方法证据理论第三十七页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五贝叶斯网络二十世纪八十年代贝叶斯网络（BayesNetwork）成功地应用于专家系统，成为表示不确定性专家知识和推理的一种流行的方法。基于贝叶斯方法的贝叶斯网络是一种适应性很广的手段和工具，具有坚实的数学理论基础。在综合先验信息（领域知识）和数据样本信息的前提下，还可避免只使用先验信息可能带来的主观偏见。虽然很多贝叶斯网络涉及的学习问题是NP难解的。但是，由于已经有了一些成熟的近似解法，加上一些限制后计算可大为简化，很多问题可以利用近似解法求解。第三十八页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五贝叶斯网络贝叶斯网络方法的不确定性表示基本上是保持了概率的表示方式，可信度计算也是概率计算方法，只是在实现时，各具体系统根据应用背景的需要采用各种各样的近似计算方法。推理过程称为概率推理。因此，贝叶斯网络没有其它确定性推理方法拥有的确定性表示、计算、语义解释等问题。本节只介绍贝叶斯网络的基本概念和简单的推理方法。第三十九页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五贝叶斯网络（事件的独立性）独立：如果X与Y相互独立，则

P(X,Y)=P(X)P(Y)P(X|Y)=P(X)条件独立：如果在给定Z的条件下，X与Y相互独立，则

P(X|Y,Z)=P(X|Z)

实际中，条件独立比完全独立更重要。第四十页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五贝叶斯网络（联合概率）联合概率：P(X1,X2,…,XN)二值，则有2N可能的值，其中2N-1个独立。不是二值哪？如果相互独立：

P(X1,X2,…,XN)=P(X1)P(X2)…P(XN)条件概率：

P(X1,X2,…,XN)=P(X1|X2,…,XN)P(X2,…,XN)

迭代表示：

P(X1,X2,…,XN)=P(X1)P(X2|X1)P(X3|X2X1)…P(XN|XN-1,…,X1)=P(XN)P(XN-1|XN)P(XN-2|XN-1XN)…P(X1|X2,…,XN)

实际应用中就是利用条件独立性的性质简化网络复杂性的。第四十一页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五贝叶斯网络（基本概念）贝叶斯网络：一系列变量的联合概率分布的图形表示。一个表示变量之间的相互依赖关系的数据结构；图论与概率论的结合。第四十二页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五贝叶斯网络（因果关系网络）假设：命题S(smoker)：该患者是一个吸烟者命题C(coalMiner)：该患者是一个煤矿矿井工人命题L(lungCancer)：他患了肺癌命题E(emphysema)：他患了肺气肿由专家给定的假设可知，命题S对命题L和命题E有因果影响，而C对E也有因果影响。命题之间的关系可以描绘成因果关系网。每一个结点代表一个证据，每一条弧代表一条规则（假设），连接结点的弧表达了有规则给出的，结点间的直接因果关系。第四十三页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五贝叶斯网络（因果关系图例）其中，结点S、C是结点L和E的父结点或称双亲结点，同时，L、E也称为是S和C的子结点或称后代结点。SCEL因果关系图例

第四十四页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五贝叶斯网络（贝叶斯网络）贝叶斯网就是一个在弧的连接关系上加入连接强度的因果关系网络。第四十五页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五贝叶斯网络（图例）

贝叶斯网络图例无环图和指定概率值P(A),P(B),P(B|AC),

P(E|C),P(D|C),P(F|E),P(G|DEF)BADEFCG第四十六页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五贝叶斯网络（图例）非贝叶斯网络图例

BADCEGF第四十七页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五贝叶斯网络（定义）两个部分贝叶斯网络结构图，这是一个有向无环图（DAG:DirectedAcyclicGraph），其中图中的每个结点代表相应的变量。当有向弧由结点A指向结点B时，则称：A是B的父结点；B是A的子结点。结点和结点之间的条件概率表（ConditionalProbabilityTable,CPT），也就是一系列的概率值，表示了局部条件概率分布。P(node|parents)。目的：由证据得出原因发生的概率。即观察到P(Y)，求P(X|Y)。第四十八页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五贝叶斯网络（如何构造）贝叶斯网络的构造过程如下：确定为建立网络模型有关的变量及其解释。建立一个表示条件独立断言的有向无环图。指派局部概率分布p(xi|pai)。其中，pai表示变量xi的父结点集。第四十九页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五贝叶斯网络（如何构造）贝叶斯网络的构造过程如下：选择变量，生成结点从左至右（从上到下），排列结点填充网络连接弧，表示结点之间的关系得到条件概率关系表条件概率表示的概率网络有时叫“BeliefNets”第五十页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五贝叶斯网络（计算）有向非循环图是各个结点变量关系传递的合理表达形式。条件概率的引入使得计算较之全连接网络有了大大的简化。CPT表相对比较容易得到。有时可以用某种概率分布表示，需要做的只是计算表示的参数。第五十一页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五贝叶斯网络（计算续）简单的联合概率可以直接从网络关系上得到。如：

P(X,Y)=P(X)P(Y|X)

又如：

P(X,Y,Z)=P(X)P(Y)P(Z|X,Y)XYP(X)P(Y|X)XZYP(X)P(Z|Y,X)P(Y)第五十二页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五贝叶斯网络（例）CPT表为：P(S)=0.4P(C)=0.3P(E|S,C)=0.9P(E|S,~C)=0.3P(E|~S,C)=0.5贝叶斯网络实例图P(E|~S,~C)=0.1。

SCELP(S)=0.4P(C)=0.3P(E|S,C)=0.9第五十三页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五贝叶斯网络（例续）上图例中的联合概率密度为由图可知：

E与L在S条件下独立，所以

P(E|S,C,L)＝

P(E|S,C)L与C在S,E条件下独立，所以

P(L|S,C)=P(L|S)第五十四页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五贝叶斯网络（例续）C与S在E条件下独立，所以

P(C|S)=P(C)以上三条等式的正确性，可以从贝叶斯网的条件独立属性：每个变量与它在图中的非继承结点在概率上是独立的推出。同样，从后面给出的D分离的定义的特性中也可以得到相同的结论。简化后的联合概率密度为，

显然，简化后的公式比原始的数学公式更加简单明了，计算复杂度低很多。如果原贝叶斯网中的条件独立语义数量较多，这种减少更加明显。第五十五页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五贝叶斯网络（独立）独立P(X,Y)=P(X)P(Y)P(X|Y)=P(X)P(Y|X)=P(Y)独立时求解可以直接在网络图上求第五十六页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五贝叶斯网络（条件独立）对于X,Y,E:X与Y在给定E的条件下独立P(X|Y,E)=P(X|E)P(Y|X,E)=P(Y|E)多个变量组：d分离（d-separate）P(X1,X2,…,Xn|Y1,Y2,…,Ym,E1,E2,…,Ep)=P(X1,X2,…,Xn|E1,E2,…,Ep)如果一组结点X在给定E的条件下，从Xi到Yj的每一条通路都被即Ekd分离，则称X独立于另一组结点Y(结点组Ed分离X与Y)。第五十七页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五贝叶斯网络（D分离）图中有三个结点S，L，E。L（结果）影响S（起因），S影响E（另一个结果）。如果给定原因S后，L并不能告诉我们有关E的更多事情。即对于S，L和E是相对独立的，那么在计算S和L的关系时就不用过多地考虑E，将会大大减少计算复杂度。称S能D分离L和E。D分离是一种寻找条件独立的有效方法。

SCELP(S)=0.4P(C)=0.3P(E|S,C)=0.9第五十八页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五贝叶斯网络（D分离-串行）网络连接中结点间关系Linear

串行连接中，事件X通过事件Z影响事件Y，反之事件Y也是通过事件Z影响事件X。但是，如果原因证据Z是给定的，X并不能给Y更多的东西，或者说，从X那里得到更多的信息。此时称，如果Z是已知的，那么通道就被阻塞，X和Y就是独立的了。则称X和Y是被Z结点D分离的。

XZY第五十九页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五贝叶斯网络（D分离(分叉连接)）Diverging如果，父结点Z是已知的，没有更多的信息能够通过Z影响到所有子结点。同理，父结点Z是已知时，子结点X,…,N是相互独立的。称子结点X,…,N是被Z结点D分离的。

NYXZ。。。第六十页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五贝叶斯网络（D分离(汇集连接)）汇集(Converging)如果不从父结点得到推断，子结点Z就一无所知，那么，父结点是相互独立的，它们之间没有相互影响。如果，某事件影响了Z，那么，各个父结点就不是相互独立的了。该事件可以直接影响Z，也可以通过它的后代结点影响Z。这种现象称作条件依存。总之，如果子结点有了变化，或子结点的后代结点发生变化，信息是可以通过汇集连接传播的。

ZNYX。。。第六十一页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五贝叶斯网络（D分离(条件依存)）

事件e直接影响结点Z事件e影响结点Z的后代结点

ZNYX。。。eZNYX。。。LMe第六十二页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五贝叶斯网络（D分离(定义)）对于给定的结点集ε，如果对贝叶斯网中的结点Vi和Vj之间的每个无向路径（即不考虑DAG图中弧的方向性的路径），在路径上都有某个结点Vb，如果有属性：Vb在ε中，且路径上的两条弧都以Vb为尾（即弧在Vb处开始（出发），分叉连接）Vb在ε中，路径上的一条弧以Vb为头，一条以Vb为尾（串行连接）Vb和它的任何后继都不在ε中，路径上的两条弧都以Vb为头（即弧在Vb处结束，汇集连接，但没有后代结点），则称Vi和Vj被Vb结点阻塞。第六十三页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五贝叶斯网络（D分离(定义)）如果Vi和Vj被证据集合ε中的任意结点阻塞，则称Vi和Vj是被ε集合D分离，结点Vi和Vj条件独立于给定的证据集合ε，可形式化表示为：，

或

,第六十四页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五贝叶斯网络（D分离(图示)）

第六十五页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五贝叶斯网络（定义）条件独立：如具有以上三个属性之一，就说结点Vi和Vj条件独立于给定的结点集ε。阻塞：给定证据集合ε，当上述条件中的任何一个满足时，就说Vb阻塞相应的那条路径。D分离：如果Vi和Vj之间所有的路径被阻塞，就叫证据集合ε可以D分离Vi和Vj第六十六页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五贝叶斯网络（D分离(例1)）ZXYZX、Y独立X、Y条件独立YesYesXYZX、Y独立X、Y条件独立YesNoXYZX、Y独立X、Y条件独立YesNoXYZX、Y独立X、Y条件独立NoYesXYX、Y独立X、Y条件独立NoNo第六十七页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五贝叶斯网络（D分离(例2)）ZXYX—草湿Y—彩虹Z—下雨P(X,Y)≠P(X)P(Y)P(X|Y,Z)=P(X,Z)ZXYX—下雨Y—洒水Z—草湿P(X,Y）=P(X)P(Y)P(X|Y,Z))=P(X,Z)第六十八页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五贝叶斯网络（D分离(例3)）X—草湿Y—洒水者Z—彩虹W—长虫P(X,Y)=P(X)P(Y)P(X|Y,Z)=P(X|Z)XZWYX—草湿Y—洒水者Z—彩虹W—长虫P(X,Y)≠P(X)P(Y)P(X|Y,Z)≠P(X|Z)XZWY第六十九页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五贝叶斯网络（推理）建立贝叶斯网络的目的有了网络。可以提出问题：P(问题|证据)，如：P(吸烟|肺癌）进行概率推理与谓词逻辑有相似之处。如：患病（吸烟，肺癌）在某些场合下有有效的推理方法。有一些工具包。一般情况下是很困难的，原因：不是所有的CPT表都能够得到网络结构大且复杂NP-hard推理我们要做的是，将问题正确的表示为合理的网络形式，选用适合的算法。第七十页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五贝叶斯网络（推理续）在贝叶斯网中有三种重要的推理模式，因果推理（由上向下推理），诊断推理（自底向上推理）和辩解。因果规则：XCauseYwithsomeprobability诊断规则：YisevidenceofXwithsomeprobability因果推理：GivencauseC,determineP(Query|C)诊断推理：GivenevidenceE,determineP(Query|E)第七十一页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五贝叶斯网络（推理续）推理需求：P(X|Y)诊断推理是从效果到起因证据是一些征兆：X是起因，Y是征兆因果推理是从起因到效果证据是一些起因：X是征兆，Y是起因解释历史

X和Y是起因，Z是两个起因的征兆。这时可以用一个起因Y解释另一个起因X。第七十二页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五贝叶斯网络（推理例）下雨、草湿、洒水P(X)P(Y)下雨草湿Query:P(X|Y)P(X)P(Y)草湿下雨Query:P(X|Y)P(X)P(Z|X,Y)下雨草湿Query:P(X|Y,Z)andP(X|Z)P(Y)洒水第七十三页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五贝叶斯网络（因果推理例）让我们通过实例来说明因果推理得过程。给定患者是一个吸烟者（S），计算他患肺气肿（E）的概率P(E|S)。S称作推理的证据，E叫询问结点。首先，我们寻找E的另一个父结点（C），并进行概率扩展

P(E|S)=P(E,C|S)+P(E,~C|S);

即，吸烟的人得肺气肿的概率为吸烟得肺气肿又是矿工的人的概率与吸烟得肺气肿不是矿工的人的概率之和，也就是全概率公式。需要寻找该表达式的双亲结点的条件概率，重新表达联合概率（指P(E,C|S)，P(E,~C|S)）。第七十四页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五

P(E,C|S)＝P(E,C,S)/P(S)

＝P(E|C,S)*P(C,S)/P(S)(贝叶斯定理)

＝P(E|C,S)*P(C|S)(反向利用贝叶斯定理)

同理可以得出P(E,~C|S)＝P(E|~C,S)*P(~C|S)。得：P(E|S)=P(E|C,S)*P(C|S)+P(E|~C,S)*P(~C|S);在图中，C和S并没有双亲关系，符合条件独立条件：

P(C|S)=P(C),

P(~C|S)=P(~C),

由此可得：

P(E|S)=P(E|S,C)*P(C)+P(E|~C,S)*P(~C)

如果采用概述中的例题数据，则有

P(E|S)＝0.9*0.3+0.3*(1-0.3)=0.48

贝叶斯网络（因果推理例）第七十五页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五贝叶斯网络（因果推理例）从这个例子中，不难得出这种推理的主要操作：

1）按照给定证据的V和它的所有双亲的联合概率，重新表达给定证据的询问结点的所求条件概率。

2）回到以所有双亲为条件的概率，重新表达这个联合概率。

3）直到所有的概率值可从CPT表中得到，推理完成。第七十六页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五贝叶斯网络（诊断推理例）同样以概述中的例题为例，我们计算“不得肺气肿的不是矿工”的概率P(~C|~E),即在贝叶斯网中，从一个子结点计算父结点的条件概率。也即从结果推测一个起因，这类推理叫做诊断推理。使用Bayes公式就可以把这种推理转换成因果推理。

P(~C|~E)＝P(~E|~C)*P(~C)/P(~E)，

从因果推理可知

P(~E|~C)=P(~E,S|~C)+P(~E,~S|~C)

=P(~E|S,~C)*P(S)+P(~E|~S,~C)*P(~S)

=(1-0.3)*0.4+(1-0.10)*(1-0.4)=0.82;

由此得：

P(~C|~E)＝P(~E|~C)*P(~C)/P(~E)(贝叶斯公式)

＝0.82*(1-0.3)/P(~E)

＝0.574/P(~E)第七十七页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五贝叶斯网络（诊断推理例）同样的，

P(C|~E)＝P(~E|C)*P(C)/P(~E)

＝0.34*0.3/P(~E)

＝0.102/P(~E)

由于全概率公式：

P(~C|~E)+P(C|~E)＝1

代入可得

P(~E)=0.676

所以，P(~C|~E)＝0.849

这种推理方式主要利用Bayes规则转换成因果推理。第七十八页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五贝叶斯网络（辩解

）如果我们的证据仅仅是～E（不是肺气肿），象上述那样，我们可以计算～C患者不是煤矿工人的概率。但是如果也给定～S（患者不是吸烟者），那么～C也应该变得不确定。这种情况下，我们说～S解释～E，使～C变得不确定。这类推理使用嵌入在一个诊断推理中的因果推理。

沿着这个思路计算上式。第七十九页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五贝叶斯网络（推理自学）《ArtificialIntelligence:ANewSynthesis》Nils.J.Nilsson,机械工业出版社，1999

ProbabilisticInferenceinPolytrees(p.332)第八十页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五第五章不确定性推理概述概率论基础Bayes网络主观Bayes方法确定性方法证据理论第八十一页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五第五章不确定性推理概述概率论基础Bayes网络主观Bayes方法确定性方法证据理论第八十二页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五主观贝叶斯方法(概述）R.O.Duda等人于1976年提出了一种不确定性推理模型。在这个模型中，他们称推理方法为主观Bayes方法，并成功的将这种方法应用于地矿勘探系统PROSPECTOR中。在这种方法中，引入了两个数值（LS，LN），前者体现规则成立的充分性，后者则表现了规则成立的必要性，这种表示既考虑了事件A的出现对其结果B的支持，又考虑了A的不出现对B的影响。第八十三页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五主观贝叶斯方法(概述）在Prospector的探矿系统的研究过程中提出的。 原有贝叶斯公式只考虑A出现对B的影响，没有考虑A不出现的影响。贝叶斯规则：当B为n个互不相容事件的集合时，贝叶斯公式可写为：第八十四页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五主观贝叶斯方法(概述）Bayes定理给出了一种用先验概率P(A|B)，求后验概率P(B|A)的方法。例如用A代表发烧，B代表感冒，显然，求发烧的人中有多少人是感冒了的概率P(B|A)要比求因感冒而发烧的概率P(A|B)困难得多。第八十五页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五主观贝叶斯方法(概述）规则的不确定性对规则A→B的不确定性度量f（B，A）以因子（LS，LN）来描述：

表示A为真时，对B的影响。（规则成立的充分性）表示A为假时，对B的影响。（规则成立的必要性）（确定性理论中没有考虑这点）第八十六页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五主观贝叶斯方法(概述）实际应用中概率值不可能求出，所以采用的都是专家给定的LS,LN值。从LS，LN的数学公式不难看出，LS表征的是A的发生对B发生的影响程度，而LN表征的是A的不发生对B发生的影响程度。第八十七页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五主观贝叶斯方法（规则的不确定性）几率函数O(X)O(X)称为先验几率。表示证据X的出现概率和不出现的概率之比，显然O(X)是P(X)的增函数，且有：当 P(X)＝0，有O(X)＝0当 P(X)＝0.5，有O(X)＝1当 P(X)＝1，有O(X)＝∞由此可见，几率函数实际上表示了证据X的不确定性。相应有， 称为后验几率。

第八十八页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五主观贝叶斯方法（规则的不确定性）O(X)的性质P(X)=0时,O(X)=0 假P(X)=0.5时,O(X)=1P(X)=1时,O(X)=∞ 真O(X)与LN，LS的关系O(B|A)=LS•O(B)O(B|~A)=LN•O(B)第八十九页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五主观贝叶斯方法（规则的不确定性），且必须满足：第九十页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五主观贝叶斯方法（规则的不确定性）且必须满足：LS、LN≥０，不独立。LS、LN不能同时＞１或＜１LS、LN可同时＝1第九十一页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五主观贝叶斯方法（证据A的不确定性）P(A)或O(A)表示证据A的不确定性第九十二页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五主观贝叶斯方法（推理计算1）由于是不确定性推理，所以必须讨论证据发生的各种可能性。A必出现时：O(B|A)=LS•O(B)O(B|~A)=LN•O(B)

若需要概率时：第九十三页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五主观贝叶斯方法（推理计算2）A不确定时：即P(A)1（1976年的算法）向前看一步A’，A’

为与A有关的所有观察

P(B|A’)=P(B|A)P(A|A’)+P(B|～A)P(～A|A’)P(A|A’)=1时，证据A必然出现

P(A|A’)=0时，证据A必然不出现LN代替上式的LS，P(A|A’)=P(A)时，(A’对A无影响)，由上式

P(B|A’)=P(B)(3)第九十四页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五主观贝叶斯方法（推理计算2）P(A|A’)与P(B|A’)坐标系上的三点：

总之是找一些P(A|A’)与P(B|A’)的相关值，两点也可以做曲线（或折线、直线）。由差值法从线上得到其它点的结果，具体过程可参考教科书。第九十五页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五主观贝叶斯方法（推理计算2）插值计算公式：第九十六页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五线性插值图

第九十七页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五主观贝叶斯方法（推理计算3）两个证据时：

第九十八页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五主观贝叶斯方法（推理计算2）互相独立证据导出同一假设：第九十九页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五例题（1）已知：P(A)=1,P(B1)=0.04,P(B2)=0.02 R1:A→B1LS=20LN=1 R2:B1→B2LS=300LN=0.001计算：P(B2|A)。分析：当使用规则R2时，证据B1并不是确定的发生了，即P(B1)≠1，因此要采用插值方法。解：先依照A必然发生，由定义和R1得：

O(B1)=P(B1)/(1-P(B1)=0.04/(1-0.04)=0.0417第一百页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五例题（1） O(B1|A)=LS*O(B1)=0.83 P(B1|A)=O(B1|A)/(1+O(B1|A)=0.83/(1+0.83)=0.454然后假设P(B1|A)=1,计算：

O(B2)=P(B2)/(1-P(B2)=0.02P(B2|B1)=LS*O(B2)/(1+LS*O(B2))=300*0.02/(300*0.02+1)=0.857最后进行插值：P(B1|A)>P(B1),P(B2)=0.02，P(B1)=0.04（已知）, P(B2|A)=0.02+(0.857-0.02)(0.454-0.04)/(1-0.04)=0.38第一百零一页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五例题（2）已知：证据A1，A2必然发生，且P（B1）＝0.03

规则如下：R1：A1→B1LS=20LN=1;R2：A2→B1LS=300 LN=1求B1的更新值。解： 依R1，P1（B）＝0.03 O（B1）＝0.03/(1-0.03)=0.030927第一百零二页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五例题（2） O(B1|A1)=LS×O(B1)=20×0.030927=0.61855 P(B1|A1)=0.61855/(1+0.61855)=0.382

使用规则R1后，B1的概率从0.03上升到0.382

依R2：O(B1|A1A2)=300×O(B1|A1)=185.565 P(B1|A1A2)=185.565/(1+185.565)=0.99464

使用规则R2后，B1的概率从0.382上升到0.99464第一百零三页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五主观贝叶斯方法主观Bayes方法的评价优点：计算方法直观、明了。缺点：要求Bj相互无关（实际不可能）。P(A|B’)与P(Bi)很难计算。应用困难。第一百零四页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五第五章不确定性推理概述概率论基础Bayes网络主观Bayes方法确定性方法证据理论第一百零五页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五第五章不确定性推理概述概率论基础Bayes网络主观Bayes方法确定性方法证据理论第一百零六页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五确定性方法（可信度方法）MYCIN系统研制过程中产生的不确定推理方法,第一个采用了不确定推理逻辑，70年代很有名。提出该方法时应遵循的原则不采用严格的统计理论。使用的是一种接近统计理论的近似方法。用专家的经验估计代替统计数据尽量减少需要专家提供的经验数据，尽量使少量数据包含多种信息。新方法应适用于证据为增量式地增加的情况。专家数据的轻微扰动不影响最终的推理结论。第一百零七页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五理论基础以定量法为工具，比较法为原则的相对确认理论。采用此方法的MYCIN系统的诊断结果不是只给出一个最可信结论及其可信度，而是给出可信度较高的前几位，供人们比较选用。规则规则的不确定性度量证据（前提）的不确定性度量。推理计算。确定性方法第一百零八页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五规则(规则的不确定性度量）在逻辑推理过程中，常常以A→B表示规则。其中：A表示前提，可以是一些命题的析取或和取；B表示结论或推论，是在前提A下的直接逻辑结果。在精确逻辑推理中，通常只有真假的描述：若A真，则B也必为真。但在不确定推理过程中，通常要考虑的是A为真时对B为真的支持程度，甚至还考虑A为假（不发生）时对B为真的支持程度。为此，引入规则的不确定性度量。第一百零九页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五规则(规则的不确定性度量）规则

A→B，可信度表示为CF(B,A)。第一百一十页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五

规则(规则的不确定性度量）CF(B,A)表示的意义证据为真时相对于P(～B)=1-P(B)来说，A对B为真的支持程度。即A发生便支持B发生。此时CF(B,A)≥0。或，相对于P(B)来说，A对B为真的不支持程度。即A发生不支持B发生。此时CF(B,A)<0。结论-1≤CF(B,A)≤1第一百一十一页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五规则(规则的不确定性度量）CF(B,A)的特殊值：CF(B,A)=1，前提真，结论必真CF(B,A)=-1，前提真，结论必假CF(B,A)=0，前提真假与结论无关实际应用中CF(B,A)的值由专家确定，并不是由P(B|A),P(B)计算得到的。第一百一十二页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五规则(证据的不确定性度量）证据A的可信度表示为CF(A)

同样有：-1≤CF(A)≤1特殊值：CF(A)=1， 前提肯定真

CF(A)=-1， 前提肯定假

CF(A)=0， 对前提一无所知CF(A)＞0，表示A以CF(A)程度为真

CF(A)＜0，表示A以CF(A)程度为假第一百一十三页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五规则(推理计算

1）“与”的计算：

A1

∧A2

→B CF(A1

∧A2)=min{CF(A1),CF(A2)}“或”的计算： A1

∨A2

→B CF(A1

∨A2)=max{CF(A1),CF(A2)}“非”的计算：

CF(～A

)=-CF(A

)由A，

A→B，求

B：

CF(B)=CF(A

)·CF(B,A

) (CF(A

)＜0时可以不算即为“0”)第一百一十四页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五规则(推理计算

2）合成，由两条规则求出再合并（A2

→B；A2

→B

）：

由CF１(B)、CF２(B)，求CF(B)

第一百一十五页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五规则(推理计算3）更新，由CF(A)、A→B、CF(B,A

)、CF(B)，求

B：当A必然发生，CF(A)=1时：第一百一十六页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五规则(推理计算4）当A不必然发生，CF(A)<1时：0<CF(A)<1，用CF(A)CF(B,A)代替CF(A)=1时的CF(B,A)即可。CF(A)<0，规则AB不可使用，即此计算不必进行。（如MYCIN系统CF(A)0.2就认为是不可使用的。其目的是使专家数据经轻微扰动不影响最终结果。）第一百一十七页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五规则(推理计算－改进）注意：以上公式不满足组合交换性，即，N证据A1…AN通过规则R1…RN作用于B。在使用上式逐一计算时，计算结果与各条规则采用的顺序有关。解决方法：异号时从定义上改进第一百一十八页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五例题已知：R1：A1→B1 CF（B1，A1）＝0.8 R2：A2→B1 CF（B1，A2）＝0.5 R3：B1∧A3→B2 CF（B2，B1∧A3）＝0.8 CF（A1）＝CF（A2）＝CF（A3）＝1；

CF（B1）=CF（B2）=0；计算CF（B1）、CF（B2）本题可图示为第一百一十九页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五解：依规则R1，CF（B1|A1）＝CF（B1）＋CF（B1，A1）（1－CF（B1））＝0.8，即更新后CF（B1）＝0.8依规则R2：CF（B1|A2）＝CF（B1）＋CF（B1，A2）（1－CF（B1））＝0.9

更新后CF（B1）＝0.9第一百二十页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五依R3，先计算

CF（B1∧A3）＝min（CF（A3），CF（B1））＝0.9

由于CF（B1∧A3）<1，CF（B2|B1∧A3）=CF（B2）+CF（B1∧A3）×CF(B2，B1∧A3)×（1-CF（B2））=0+0.9×0.8(1-0)=0.72答：更新后的可信度分别是：CF（B1）＝0.9，CF（B2）＝0.72第一百二十一页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五规则(推理计算）评论可信度方法的宗旨不是理论上的严密性，而是处理实际问题的可用性。不可一成不变地用于任何领域，甚至也不能适用于所有科学领域。推广至一个新领域时必须根据情况修改。第一百二十二页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五第五章不确定性推理概述概率论基础Bayes网络主观Bayes方法确定性方法证据理论第一百二十三页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五第五章不确定性推理概述概率论基础Bayes网络主观Bayes方法确定性方法证据理论第一百二十四页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五证据理论(EvidentTheory)概述证据的不确定性规则的不确定性推理计算第一百二十五页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五证据理论(EvidentTheory)概述由Dempster首先提出，并由他的学生Shafer发展起来，也称D-S理论。在专家系统的不精确推理中已得到广泛的应用。（也用在模式识别中）证据理论中引入了信任函数，它满足概率论弱公理。在概率论中，当先验概率很难获得，但又要被迫给出时，用证据理论能区分不确定性和不知道的差别。所以它比概率论更合适于专家系统推理方法。当概率值已知时，证据理论就成了概率论。因此，概率论是证据理论的一个特例，有时也称证据论为广义概率论。第一百二十六页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五证据理论(预备知识)集合论 朴素集合论体系 公理集合论体系表示：

A,B,C集合；a,b,c集合中的元素

aA:a为A中元素，a属于A aA:a不是A中元素，a不属于A

列举法：A={a,b,c};

描述法：C={x|P(x)}，具有性质P的集合第一百二十七页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五证据理论(预备知识（性质）)集合中的元素是各不相同的集合中的元素不规定顺序集合的两种表示方法有时可以相互转换 如：A={2,4,6,…} A={x|x>0且x为偶数}第一百二十八页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五证据理论(预备知识（定义）)子集定义：若B中的每个元素都是A中的元素，则称B是A的子集。也称A包含B或B含于A，记作BA，其符号化形式为

BAx(xBxA)

若B不是A的子集，则记作BA，其符号化形式为

BAx(xBxA)相等定义：若A包含B且B包含A，则称A与B相等,记作A=B，即

A=Bx(xBxA)真命题：AA若AB且AB，则BA若AB且BC，则AC第一百二十九页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五证据理论(预备知识（定义）)真子集定义：若A为B的子集，且AB，则称A为B的真子集，或B真包含A，记作AB。即

ABABAB全集定义：如果限定所讨论的集合都是某一集合的子集，则称该集合为全集。常记作E。第一百三十页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五证据理论(预备知识（定义）)空集定义：不拥有任何元素的集合称为空集合，简称空集，记作。定理：空集是一切集合的子集。推论：空集是唯一的。第一百三十一页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五证据理论(预备知识（定义）)幂集定义：称由A的所有子集组成的集合为A的幂集。记作：2A求幂集：设A={a,b,c} 0元子集为：

1元子集为：{a},{b},{c} 2元子集为：{a,b},{a,c,},{b,c} 3元子集为：{a,b,c}=A A的幂集={,{a},{b},{c},{a,b},{a,c,},{b,c},{a,b,c}}定理：A的元素个数|A|=n（n为自然数），则|2A|=2n。第一百三十二页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五证据理论(预备知识（运算）)并记定义：称A与B的所有元素组成的集合为A与B的并集。记作AB，称为并运算符。AB的描述表示

AB={x|xA

∨

xB} A1,A2,…An为n个集合，

A1

A2

…

An={x|i(1inxAi},

简记为：第一百三十三页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五证据理论(预备知识（运算）)交集定义：称A与B的公共元素组成的集合为A与B的交集。记作AB，称为交运算符。AB的描述表示

AB={x|xAxB} A1,A2,…An为n个集合，

A1

A2…

An={x|i(1inxAi},

简记为： 第一百三十四页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五证据理论(预备知识（运算）)互不相交定义：若AB=，称A，B是不交的，设

A1,A2,…可数个集合，若对任意ij，均有Ai

Aj=，则称A1,A2,…

是互不相交的。 第一百三十五页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五证据理论(预备知识（恒等式）)等幂率：AA=A;AA=A交换率：AB=BA;AB=BA结合率：(AB)C=A(BC); (AB)C=A(BC)分配率：A(BC)=(AB)(BC) A(BC)=(AB)(BC)摩根率：～(AB)=～A～

B

～(AB)=～A～B

第一百三十六页，共一百五十五页，编辑于2023年，星期五证据理论(预