江苏省百校联考2020届高三第五次考试数学试题解析(含附加题)

考届数学试题2020．5一、填空本大题共14小，每小题5分共70分请将答案填写在答题卷相应的位置上1．已知集合＝，，A

B{1，，则集合中B必含有的元素是．2．已知复数

i(ai)

的模为（中是虚数单位实a值为．3．下图是一个算法的流程图，输出k的值是．4．已知一组数据，，，，，该组数据的方差是．5．已知双曲线

a29

的左、右顶点与(，构等腰直角三角形，则该双曲线的渐近线方程是．6．已知函数

ytanysin(3

，它们图象有一个交点的横坐标为

，则的是．

第3题7．斐波那契数列又称黄金分割列，因数学家列昂纳多·斐那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波那契数列被以下递推方法定义：数n

a，a1

n

an

n

现该数列的前12项随机抽取1能被3除的概率是．8．已知等比数列n

项为

，且

a23

，

3

，则

n

．9．已知正方体ACD11

的棱长为，则三棱锥

C11

的体积是．10知角

2tan

若sin(

则

的值是．．函数

f(x)x

在区间，上最小值为，则值为

．12．知A为椭圆

x2a2b2

a＞＞上一点，它关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，且以直径的圆过，当∠＝1

，该椭圆的离心率是．

13．知x，均正数，且

1y，则y

y

的最小值为．14．知当＞，数

x)x

(a＞，

(x)f)

，若g()2

(m＞的图像与

x)

的图像在第二象限有公共点该点处的切线相同m变化时，实数a的值范围是．二、解答（本大题共小，计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15小满分14分在△中角AB，的对边分别是，b，，知＝

r，m(sinA，，

rn＝，，

m

∥

rn

．（）A的值；（）点D为上近的等分点，且AD＝21，ABC的积．16小满分14分在三棱锥A—BCD中分为AD的中点＝面ABD．（）明∥面ABC；（）明⊥．2

17小满分14分一胸针图样由等腰三角形OAB圆心在中轴线上的圆弧AB构知＝＝1，∠＝．了增加胸针的美观程度，设计师准备焊接三条金丝线COCA，，且AC长不于长，设＝（）求出金丝线的总长度

，并求出取值范围；（）

为何值时，金丝线的总长度

最小，并求出

的最小值．18小满分16分已知椭圆C上一点．

2ya2

的右焦点的坐标(0)点P(1，)为圆（）椭圆C方程；（）椭圆的焦点F作斜率为rrONOH，求△的积．

33

的直线l交椭圆C于，两点，且

19小满分16分已知函数

f(x)32R)

，

gx)xx

．（）曲线

g()

在x＝处切线方程；（）任意x

(0，]，

x)g()

恒成立，求实数a的值范围；（），]时，试求方程

x)g)

的根的个数．20小满分16分已知数列

n

，

，nN（若

求数列n

式证

N

，

aaa132annn

n(12(n

．（）

，且对

N

，有

0an

，证明：

．4

0021．知矩阵A=

满足

2=

，求

A

．22．直角坐标系xOy中，直线

l

xt2的参数方程为(t为数，直坐标系xOy3y1+t的点极点，Ox极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲

的极坐标方程为

2cos(

)

．（）直线l的斜角；（）直线l与线C交A，两点，求AB的长度．23．图，在四棱锥PABCD中底面ABCD梯形AB//CD，棱AD两两垂直，长度分别为，，，向量

rPC

与

r夹角的余弦值为

．（）CD的度；（）直线PC与面PBD所角的正弦值．5

24．

(

为

(n二展开式中的3的系数，其中

．（）

，f，f(3)

；（）明：

f(a)

(n

)

．考届数学试题2020．5一、填空本大题共14小，每小题5分共70分请将答案填写在答题卷相应的位置上1．已知集合＝，，AUB{1，，则集合中B必含有的素是．答案：考点：集合并集及其运算解析：∵集合＝，，U＝，，，∴集合中B必含有的元素是3．2．已知复数答案：考点：复数

i(ai)

的模为（中是虚数单位实a值为．解析：

zaa

．3．下图是一个算法的流程图，输出k的值是．6

答案：考点：流程图解析：当k＝时k﹣k＋＞，故输出k的是6．4．已知一组数据，，，，，该组数据的方差是．答案：8考点：方差解析：

x

，

2

2

(35)

2

(5

2

(7

2

2

]

．5．已知双曲线a29

的左、右顶点与(构等腰直角三角形，则该双曲线的渐近线方程是．答案：＝±考点：双曲线的简单性质解析：由题意知a＝，以渐近线方程为y．6知数

ytan

与

sin(3

们象有一个交点的横坐标为

，则的是．答案：

考点：三角函数的图像与性质解析：由题意知：

k

，0

．7．斐波那契数列又称黄金分割列，因数学家列昂纳多·斐那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波那契数列被以下递推方法定义：数

a，a1

n

an

n

现该数列的前12项随机抽取1能被3除的概7

11率是．答案：

考点：随机事件的概率解析：该数列的前12项别为112381321，，，，中能被3整除的数有3项故概率为

．8．已知等比数列

项和

，且

a23

，

3

，则

n

．答案：

(考点：等比数列的通项公式解析：

2243

a3

，Sa323

aqq

，(．9．已知正方体ACD11答案：

的棱长为，则三棱锥

C11

的体积是．考点：三棱锥的体积解析：首先该三棱锥的所有棱长都为

，则VBD

42)2

．10知角

2tan

若sin(

则

的值是．答案：

考点：两角和差的正弦公式解析：

2cos

，sin(

358

，

解得：sin

，sin

，sin(sin

15

．．函数答案：

f(x)x

在区间，上最小值为，则值为

．考点：利用导数研究函数的最值解析：设

x

[1，，原题转化为：函数

f(t)2)

在区间，3]上最小值为，则

ft2

，当a≤时，

(

在区间，3]上调递增，则

f(1)

7，解得a；8当a≥时

(

在区间，上单调递减，则

f(3)

，解得

（舍当3＜＜时

f(

18

，无正数解．综上所述a的为

．12．知A为椭圆

x2a2b2

a＞＞上一点，它关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，且以直径的圆过，当∠＝答案：考点：椭圆的离心率

，该椭圆的离心率是．解析：由题意知＝90°，且AB2，由∠＝

，得＝，BF

c

，9

xx由＋＝a，

c3ca

，解得

3

．13．知x，均正数，且答案：考点：基本不等式

1y，则的最小值为．y解析：∵

x

1y，yy

，yy22(y∴xyyyy

y

，9(

1

，当且仅当＝

时取“＝14．知当＞，数

x)x

(a＞，

(x)f)

，若g()

2

(m＞的图像与

x)

的图像在第二象限有公共点该点处的切线相同m变化时，实数a的值范围是．答案：，考点：利用导数研究函数的切线解析：由题意知：

x)

与

g()

均为偶函数则

x)与)

的图像在第一象限有公共点，设该点的横坐标为

0

，显然

x0

(1，

)lnx2

mlnx0

ae)

．二、解答（本大题共小，计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15小满分14分在△中角AB，的对边分别是，b，，知＝

，m(sinA，，

rn＝，，

rm

∥

rn

．10

（）A的值；（）点D为上近的等分点，且AD＝rrr解）∵m＝，，＝，，且∥n

，eq\o\ac(△,求)的积∴cosB×﹣＝，即sinA＝cosB，∴﹣cosB＝cos(AC)＝cosAcosC，又C

，∴＝﹣＝cosA﹣，23即＝cosA，∴sinA＝cosA，3若cosA，则＝，与sinA＋cosA＝矛，cosA≠，∴＝

，又A为ABC的角，∴＝，∴的为

，（）BD＝，由点为BC上近B点四等分点，得＝，由（）A＝＝

，∴BA＝x，＝，在ABD中根据余弦定理AD＝2

＋2

﹣，得(21)

2(4x)2

，解得x＝，AB＝，∴＝

1BA··＝×××＝2

3

，∴△的积为16小满分14分

．在三棱锥A—BCD中分为AD的中点＝面ABD．（）明∥面ABC；（）明⊥．11

证明）△中E，分为AD，的点，∴EF//AC∵

平面ABC，

平面ABC所以平ABC（）△中BA＝，为AD的点∴⊥，又因为平面ABD⊥平面，BE面ABD平面ABD平面＝，∴⊥面因为DC

平面ADC，以BE⊥．17小满分14分一胸针图样由等腰三角形OAB圆心在中轴线上的圆弧AB构知＝＝1，∠＝

．为了增加胸针的美观程度，设计师准备焊接三条金丝线COCA，，且AC长不于长，设＝（）求出金丝线的总长度

，并求出取值范围；（）

为何值时，金丝线的总长度

最小，并求出

的最小值．12

解）∵圆心C在中轴线上，ACB＝

，∴∠＝，＝3在AOC中，AO＝，∠ACO＝

，＝

，OC根据正弦定理sinsinACOsin

，得AC

2sin，＝sin(33

，∴

23

2sin()3∵度不小于OC的长度，∴

1sin(cossinsin323

，即

，又

，解得

，∴的取值范围是

，．（）

[

，，∴，)，2∴当

，即

时，

sin(

)

，此时金丝线的总长度

)

，∴当

时，金丝线的总长度

最小，

的最小值是

．18小满分16分已知椭圆C上一点．

2ya2

的右焦点的坐标(0)点P(1，)为圆（）椭圆C方程；（）椭圆的焦点F作斜率为rrrONOH，求△的积．

3

的直线l交圆于，两点，且解）设椭圆C的焦距为，∵椭圆C的焦点的标为(，0)，＝，13

MM∴

a2

①∵点P(1，

是椭圆一点，∴

9

②由①、②解得：a，b2，∴椭圆C的程为

x24

，（）直线l过圆的右焦点F且斜率为，的直线l的程为

y3(x

，代入

x24

，消去，整理得

5x

2

x

，解得x或x

，∴xMN

，

yMM

∴MN1

2MN

x15

，∵

rrrONOH0

OHON

点坐标为

3

)，∴点直的距离d

)5

3

，所以△MNH的积

S

333MN5

．19小满分16分已知函数

f(x)32R)

，

gx)xx

．（）曲线

g()

在x＝处切线方程；（）任意x

(0，]，

x)g()

恒成立，求实数a的值范围；14

（）

(0，]时，试求方程

x)g)

的根的个数．解）∵

gx)xx

，∴

gx

，∴

g

，∵

g(1)，曲线g()

在＝处的切线方程是

，（）对任意x

(0，，

x)g(x)

恒成立，∴对任意x，，

2ln恒立，即2

ln

恒成立，令)xln

，

(0，]则

x

(xxx

，①当0a时当x，时

，x)

在0a上调递减，∴)2ln)

1111ln2，∴224

，②当

11时，当，]时，，∴x)在0上调递减，当x

[

1，]时，，x在，]上调递增，2∴

()

1132，ln222

，综上，实数的值范围(，

ln2

)，（）

时，由2）得，方程

x)g)

的根的个数为0，当

时由2）得，当

时，

(x))

，∴方程

x)g(x)

的根的个数为，当

3时)

，

e

34

2

12

，e

0

，15

1a1a根据零点存在性定理，

x

在e，

)上至少存在1个点，又在(，

)上单调递减，∴在

x

(0，上有个点，)aa2

，同理，

x

在

，上有零点，∴方程

x)g(x)

的根的个数为，综上，当

时，方程

x)g()

的根的个数为；当

ln2时方

x)g(x)

的根的个数为1当

时方程f(xg)

的根的个数为2．20小满分16分已知数列

n

，a1

，nN（若求数列n

式证

N

，

aaa132annn

n(12(n

．（）且对N

，有

0a，明：nn

．解）当，an

，∵

，a11

，依此类推，

n∴

11n，an

，∴数列

是首项为2，公差为1的差数列，16

n)n)∴

，即a，（）证明：由i）n

，故对＝，，…aak

111[(kk3)2kk(k2)(k

]

，∴aaa134nn1＝[())224(n2)(2)(n

)]1(n＝[]2(n2)(n

，（）明：当

时，

a

，则

a2

(1)n

2

，∵＜a

n

＜，∴

)

1)n2n＝

n)22(1)1＝4∵n

n

与

不能同时成立，所以上式“＝”不成立，即对

，

．17

01010101001121．知矩阵A=

满足A2=，A．解：∵

=

k2，∴A2

，∴2k

，解得k

，∴

=

，设

A

=

ba0，则AAccd010

，

∴，得cc

，

c

∴

=

．22．直角坐标系xOy中，直线

l

xt2的参数方程为(t为数，直坐标系xOy3y1+t的点极点，Ox极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲C

的极坐标方程为

)

．（）直线l的斜角；（）直线l与线C交A，两点，求AB的长度．，解）设直线l的斜角为1xt∵直线l的数方程为为参数，所以3yt2

，∴

3

，∵

，

，∴直线l的斜为

，18

（）曲线C极坐标方程为

)

，得

sin

，∵

x2y

，

，

sin

y

，∴曲线的通方程为

x2

，3圆心，)直线的离

122

12

，∴AB2r22)23

，AB长度为

3

．23．图，在四棱锥PABCD中底面ABCD梯形AB//CD，棱AD两两r