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文档简介

A

1X1X2X3

故3重特征值有3A对

2

(2I

0X4令

11111000000P[

X3 X4] 则P1AP

2 2

2nI4

nAn

PBnP12n1

n§5.3定理实对称矩阵的属于不同特征值的特征向证明设A为实对称矩阵； 为A的两个X

Y为A

,AXX

AY

Y(AX

(X

XT

XTXTA

XT

(XT

(XTXTY

XTY

)XTY又

0，所以

XTY

0，即(X

Y)

XTY由此得XY设nAp、qpqnAn阶正Q，使得

diag(1,2,,n12,nAA 2 m1X11,,1

，X21,,X2q

，…，Xm1,,2m 2m 111,,1q1

21,,

，…，m1,,2m 2m111,,1q1

，…m2m21X11,,1

，X21,,X

m2，…，Xm1,,Xmqm2111,,1

，21,,

，…，m1,,mqm2m211

，…m2m21Q=1

m2，… m2Q

diag(1,,1,2,,2,,m,,m)中

Q1AQ A

1∵|I

A|

2)3

A2(三重)对2

(2I

A)X

X1

1

112

X2

(X2,1)(1,

(

1,2

03

X3

(X3,(1,

1

(X3,2(2,2

2

(13

1,1

1)T221

166|166

(1

1,

02

(1

1

2

02|223

3

(1

1

1,36|36

3333对23333

(2I

A)X

X4令

1)T141

X4

1,1

1|X4

取Q 则Q1

A31二重A2A。

(

2,4)T设

(

x2

x3)TA1

X(1,

4Tx12x24x3X1(2,

X2(

0,1可证X1,X2A1

X3

2,4T

X2

X3

P[

X3]

4 4则

1 P1AP 2 2 1

4A

P

1

24 24

X2

X35521( 552

1,02

(

)T3

(1

2

4令 Q

] 5353

0 0 Q Q1AQ 2 2 A

Q22

QT22 41

37设n阶方阵A

2,

6,

2nAI求|AI|解

设是A

1

AA

I

AI

|A

|1352n1)An阶实对称矩阵且nQ，使

A2

A Q1AQ 0设AX

XA(X)

A(AX2

A2

)

因1

X，故

2

0。由此得

0 Q1AQ 0

A

5 5已知A32是A的二重特征值。试求可逆矩阵P，使P1AP向量，故A可对角化。这就要求A22，亦即要求齐次方程组(2I

A)

0的基础解系包含两个解向量。于是，只需使秩

1

2I

A

y行

x

xy

33x

000 000 y2因|

A|

6)，故A对

2

(2I

A)X

X1

X2

对6，解

(6I

A)X

X3(1,2,令 1 P[X1,X2,X3] 013 013 则 6 6 例16

时有5

n工与非熟练工所占百分比分别为xnyn求矩阵xn1和xn yn1

ynx当

1

时，求

n1y 1

92（1）92

513 13

2(1 5

yn)

xn5

3(1 5

yn)

xn5 2

5nx5ny

3 n 5

A

55，则

n1 n

Ay

y

n

1

下面求An：112

|

A|

1A2对1

(I

A)X

X1(4,对

12

(1I2

A)X

X2令

P[ X] 1 1则1 P1AP 1 2

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