优选高中数学人教A版必修向量的数量积

数乘定义：数乘定义：

一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)|λa|=|λ||a|(2)当λ>0时,λa

的方向与a方向相同；

当λ<0时,λa

的方向与a方向相反；特别地，当λ=0或a=0时,

λa=0复习回顾运算律：运算律：

设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：

①λ(μa)=(λμ)

a

②(λ+μ)a=λa+μa③λ(a+b)=λa+λb复习回顾

前面我们学习了向量的加、减运算．类比数的运算，出现了一个自然的问题：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义呢？一、创设问题情境，引入数量积概念提出疑问向量的加法向量的减法实数与向量的乘法运算结果向量向量向量是否有两个向量的乘法运算呢？一、创设问题情境，引入数量积概念思考：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。

功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；向量的夹角已知两个非零向量

，O是平面上的任意一点，作

，则

叫做向量

与

的夹角。OθOθBBAABOOO与

同向与

垂直与

反向B新课讲授一、平面向量的夹角两个非零向量，.是平面上的任意一点，作，，则叫做向量与的夹角.0A说出下列两个向量和的夹角的大小是多少？(1)(3)┐(5)两个非零向量的夹角应该注意两个向量共起点.巩固新知40O(2)╮40O60O(4)60O60O(6)60O向量的夹角2向量夹角的基本定义两个非零向量和

已知两个非零向量，，如图，O是平面上的任意一点，作OA=，OB=，则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量与的夹角.[0,π]

与同向

与反向

与同向，记作向量的夹角2对两向量，夹角的理解（1）根据向量夹角的定义，两非零向量夹角是将两个向量的

起点移到同一点，这样两向量所成的角才是这两个向量

的夹角（2）例如，在ΔABC中，∠BAC不是CA与AB的夹角，∠BAD才是CA与AB的夹

角.其中AD是CA平移所得.（3）向量与之间的夹角θ的取值范围是[0，π]，这与两直线夹角的范围

是不一样的(向量有方向)，注意从定义上理解.（5）向量与的夹角也可以表示为平面向量数量积的概念3平面向量数量积的定义

已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积(也叫内积)，记作，即【规定】零向量与任一向量的数量积为0（2）向量的线性运算的结果是向量，但两个向量的数量积却是一个数量，而不是向量，其

大小与两个向量的长度以及夹角都有关，符号由夹角的余弦值决定.（1）在书写数量积时，与之间用实心圆点“·”连接，不能写成“×”,更不能不写.（3）设两个非零向量之间的夹角为θ，则当θ=0°时，；当θ为锐

角时，；当θ为直角时，；当θ为钝角

时，;当θ=180°时，平面向量数量积的概念3①两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法运算，它是向量与向量的运算，

其结果是数量(而不是向量)，可以为正，可以为负，也可以为零.②前面学习的向量的加法、减法和数乘，其结果全都是向量，要注意这两种不

同运算的区别.③我们规定了与任意向量的数量积为0，但由=0，不能推出或

一定是零向量，这是因为两个向量垂直时，其夹角为90°，此时，

故也有=0

.④要注意=0，但0巩固新知例9例10知三求一巩固新知练习P20解：

p·q=|p||q|cosθ练习2（口算）巩固新知加深记忆平面向量的数量积：与以往运算法则的区别及注意点:1.一种新的运算

2.“·”不能省略，也不能写成“×”3.数量积是一个数量；而向量的线性运算是向量4.公式可变为，用于求夹角.向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？探究当

时，

为正；当

时，

为零。当

时，

为负；MN新课讲授三、投影向量设，是两个非零向量，，，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.ABCD0探究新知P18如图，设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，那么与,

,之间有怎样的关系？N0M探究新知N0MN0MN0M探究新知P18如图，设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，那么与,

,之间有怎样的关系？平面向量数量积的概念3直观理解正正0负负平面向量数量积的概念3投影补充①为向量在上(在上)的投影的数量.②投影的数量是一个值，不是向量.★当θ为锐角时，投影的数量为正值；★当θ为钝角时，投影的数量为负值；★当θ为直角时，投影的数量为0；★当θ为0°时，向量在上(在上)投影的数量为

；★当θ为180°时，向量在上(在上)投影的数量为

；☆在上的投影的数量可以记为，也可以记为在上的投影和在

上的投影，不一样.巩固新知P20平面向量数量积的性质4设与都是非零向量，θ为向量与的夹角，是与方向相同的单位向量，则有如下性质：既可以证明向量垂直，也可以由垂直进行相关计算可以用来求向量的模，实现实数运算往向量运算的转化可用来求两个向量的夹角，夹角的取值与两个向量有关可以通过向量来证明不等式问题或者求最值问题（非常重要）课堂小结一、平面向量的夹角二、向量的数量积三、投影向量四、向量数量积的性质6.2.4向量的数量积（2）第6章平面向量及其应用

问题1向量a与b的数量积的含义是什么？向量的数量积具有哪些运算性质？a·b=|a||b|cosθ，其中θ为向量a与b的夹角．

与向量的线性运算一样，定义了向量的数量积后，就要研究一下数量积运算是否满足一些运算律．一、复习引入设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则(1)

a·e=e·a=|a|cosθ．(2)a⊥b⟺a·b=0．(3)当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=-|a||b|．

特别地，a·a=|a|2或|a|=．(4)|a·b|≤|a||b|．（由|cosθ|≤1得到）二、创设问题情境，引入数量积运算律

问题2类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：对于向量a，b，c和实数λ，有①a·b=b·a；②(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)；③(a+b)·c=a·c+b·c．|a+b|cosθe=|a|cos1e+|b|cos2e．|a+b||c|cosθ=|a||c|cos1+|b||c|cos2．二、创设问题情境，引入数量积运算律(a+b)·c=a·c+b·c．证明向量的分配律：

证明：如图，任取一点O，作=a，=b，=c，=a+b．设a，b，a+b与c的夹角分别为1，2，，它们在c上的投影分别为

，

，

，与c方向相同的单位向量为e，则=|a|cos1e，=|b|cos2e，=|a+b|cosθe．因为a=，所以

，则

，即(a+b)·c=a·c+b·c．

追问：设a，b，c是向量，(a·b)c=a(b·c)一定成立吗？为什么？

对于实数a，b，c，有(a·b)c=a(b·c)；但对于向量a，b，c，(a·b)c=a(b·c)不一定成立．这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)c=a(b·c)不一定成立．二、创设问题情境，引入数量积运算律向量数量积的运算律5向量数量积的三大运算律和实数的交换律相同和实数的结合律相同和实数的分配律相同

例1我们知道，对任意a，b∈R，恒有

(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)(a-b)=a2-b2．对任意向量a，b，是否也有下面类似的结论？（1）(a+b)2=a2+2a·b+b2；（2）(a+b)·(a-b)=a2-b2．（1）(a+b)2=(a+b)·(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=a2+2a·b+b2；（2）(a+b)·(a-b)=a·a-a·b+b·a-b·b=a2-b2．三、例题分析与知识巩固解：例2解:

例3

已知|a|=3，|b|=4，且a与b不共线．当k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直？三、例题分析与知识巩固解：a+kb与a-kb互相垂直的充要条件是

(a+kb)·(a-kb)=0，

即a2-k2b2=0．

因为a2=32=9，b2=42=16，所以9-16k2=0．

因此k=

．

也就是说，当k=

时，a+kb与a-kb互相垂直．两个向量共线分为同向共线与反向共线两种情况，对应的夹角分别是0°和180°，不要弄错.

未弄清向量的夹角而弄错坑①显然BA=-2BC，所以BA与BC共线，故它们的夹角为0°.显然BA=-2BC，所以BA与BC共线，因为它们是反向共线，故夹角为180°A.150°B.120°C.60°D.30°如图所示就是符合题意的向量，根据题意有ΔACO和ΔBCO都是是等边三角形，所以∠AOB=60°+60°=120°

平面几何性质运用不准确坑②在ΔABC