平面向量数乘运算的坐标表示【核心知识精研精讲】高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

平面向量数乘运算的坐标表示学习目标1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示.2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.数乘运算的坐标表示1向量的加法可以用坐标表示减法也可以用坐标来表示那数乘可不可以用坐标来表示呢？已知a＝(x，y)，你能得出λa的坐标吗？向量坐标的定义问题一提示λa＝λ(xi＋yj)＝λxi＋λyj，即λa＝(λx，λy).已知a＝(x，y)，则λa＝

，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数

.(λx，λy)乘原来向量的相应坐标知识梳理例1(1)设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d的坐标为A.(2，6) B.(－2，6) C.(2，－6) D.(－2，－6)解析

由已知条件可得4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＋d＝6a＋4b－4c＋d＝0，所以d＝4c－6a－4b＝4(－1，－2)－6(1，－3)－4(－2，4)＝(－2，－6).故选D.首尾相连的向量的和为零向量√例1(2)已知平行四边形ABCD中，A(0，0)，B(5，0)，D(2，4)，对角线AC，BD交于点M，则

的坐标是解析

在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点M，则M为DB的中点，故选A.√反思感悟平面向量坐标运算的技巧若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算进行运算.若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.跟踪训练1已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求：(1)2a＋3b；解2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1)＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7).跟踪训练1(2)a－3b；解a－3b＝(－1，2)－3(2，1)＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1).跟踪训练1向量共线的判定2已知a，b两向量，则两个向量共线的条件是什么？如何用坐标表示两个向量共线？问题二提示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，由a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb，得x1y2－x2y1＝0.知识梳理设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.向量a，b共线的充要条件是

.x1y2－x2y1＝0在下列各组向量中，可以作为基底的是A.e1＝(0，0)，e2＝(1，1)B.e1＝(－1，2)，e2＝(5，－10)C.e1＝(3，5)，e2＝(－3，－5)例2判断两个向量是否共线解析

选项A，因为0×1－0×1＝0，所以e1，e2共线，不能作为基底；选项B，因为－1×(－10)－2×5＝0，所以e1，e2共线，不能作为基底；选项C，因为3×(－5)－(－3)×5＝0，所以e1，e2不共线，可以作为基底.故选D.所以e1，e2共线，不能作为基底；√反思感悟向量共线充要条件的使用技巧向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配.跟踪训练2因为2×6－3×4＝0，利用向量共线的坐标表示求参数3(1)设向量a＝(1，0)，b＝(1，1)，c＝(6，2)，若(λa＋b)∥c，则实数λ＝____.解析

由题意，向量a＝(1，0)，b＝(1，1)，可得λa＋b＝λ(1，0)＋(1，1)＝(λ＋1，1)，因为(λa＋b)∥c，且c＝(6，2)，所以2(λ＋1)－6＝0，解得λ＝2.例32利用向量共线的坐标表示例3则－3×(1－k)－(2k－2)(1－2k)＝0，转化为向量共线反思感悟利用向量平行的条件处理求值问题的思路直接法利用向量共线的坐标表示直接求解.方程法利用向量共线定理a＝λb(b≠0)列方程组求解.跟踪训练3(1)已知向量m＝(2，λ)，n＝(－1，3)，若(2m＋n)∥(m－n)，则实数λ的值为A.6B.3C.－3D.－6解析根据题意，向量m＝(2，λ)，n＝(－1，3)，则2m＋n＝(3，2λ＋3)，m－n＝(3，λ－3).若(2m＋n)∥(m－n)，则λ－3＝2λ＋3，解得λ＝－6.故选D.√跟踪训练3有向线段定比分点坐标公式及应用4问题三知识梳理注意设点P是线段P1P2上的一点，P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).(1)λ的值可正、可负.(2)分有向线段的比与线段长度比不同.有何不同？如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D是边AB的中点，G是CD上的一点，且

＝2，求点G的坐标.例4解

∵D是AB的中点，设G点坐标为(x，y)，由定比分点坐标公式可得反思感悟有向线段定比分点公式的使