Fourier变换练习题(全,有答案)

积分变换练习题第一章Fourier变换________系_______专业班级姓名__________学号_______§1Fourier积分§2Fourier变换一、选择题1．设f(t)(tt)，则F[f(t)][]0（B）2（A）1（C）ejt0（D）ejt0F[f(t)](tt)edteiteitit00tt0二、填空题eat,t01．设a0，f(t)eat,t0，则函数f(t)的Fourier积分表达式为costdt2a2a200F()F[f(t)]f(t)eitdt=eitdteateitdtate00(ai)tR=lime(ai)tdtlimedtRR0R(ai)t0112ae(ai)tRlime=limRaiaia2;(ai)ai2R0R121F()ed=it22a1[F()](costisint)dFa22costd2a=a220122．设F[f(t)]()，则f(t)212121F[()]()ed=e1itit03．设f(t)sin2t，则F[f(t)]()[(2)(2)]211cos2tF[f(t)]f(t)edt=sin2tedtedtititit2dt1(e2ite12dt()e[(2)(2)]it2it)eit42)dt1(t)cos2(t(t)4．设为单位脉冲函数，则34(t)cos2(t)dtcos2()1334三、解答题1．求下列定积分：(可用《高等数学》的方法做)(1)1eazsinbzdz(2)1eazcosbzdz001(aib)z1aib1eaibeaz(cosbzisinbz)dz1eazeibzdz1e(aib)zdzeaib0000(ea(cosbisinb)1)(aib)aeacosbbeasinb1iaeasinbbeacosbbababab222222在原积分中，由于被积函数解析，则1eaz(cosbzisinbz)dz1eax(cosbxisinbx)dx1eaxeibxdx,I000eazcosbzdzReI;1eazsinbzdzImI从而100A,0t0,其他的Fourier变换。f(t)2．求矩形脉冲函数A(1e)iAiF[f(t)]f(t)edt=Aedtitit03．求下列函数的Fourier积分：(1)f(t)t,||1t0,||1t，解法一：21F()f(t)eitdt=teitdt11i22sin1ite1i1ee2i(cos)；itii2112isinf(t)1F()e(cos)editdit2212i2sin(cos)(costisint)dsinsintcossint2d20解法二：由于f(t)为奇函数，故由课本P12页的(1.12)式可知，f()sindsintdsindsintd212f(t)0000212111cosdcossintd1cosdsintd00000sin12121sincossintdcossintd000sincossintd22030,t1,1,1t0,(2)f(t)1,0t1,0,1t.解法一：f(t)为奇函数，从而F()f(t)eitdt=f(t)(costisint)dt2if(t)sintdt02icost12i(cos1)12isintdt00f(t)1F()edt=122i(cos1)eitdtit2(1cos)sintdt(cos1)(costisint)2idt0解法二：同上题，根据余弦逆变换公式可得：221f(t)f()sindsintdtsindsintdt0000cos11cos22sintdtsintdt000sint,|t|4．求函数f(t)0,|t|的Fourier积分,并计算下列积分：sinsintsint,|t|d20,12|t|0解：同上题，22f(t)f()sindsintdtsinsindsintdt0000sin(1)sin(1)11[cos(1)cos(1)]dsintdtsintdt110000011dt1sin(1)sin(1)2sinsint2sinsint12sintdt21dt0004f(0)f(0)0.从而当t时，2sint,||tsinsintd20,12||t0e1jaa为实数，求积分d的值5．设。(分别讨论a为正实数和负实数的情形)2当a0时，11z2R(z)在上半平面只有一个奇点zi，从而eiaeiaze;azid2iRes[R(z)eiaz,i]2ilimzi12当a0时，eia1eiaeiazd22iRes[R(z)eiaz,i]2ilimziea.d12zi解法二：参考课本146页Fourier变换表中的21，即[ect]2c2c2，Re(c)0取c=-1，从而[e-t]221，则积分12eja1etead1[12]2212tataejadea125积分变换练习题第一章Fourier变换_______专业班级姓名__________学号_______§4卷积与相关函数________系§3Fourier变换的性质一、选择题1．设F[f(t)]F()，则F[(t2)f(t)][]（A）F()2F()（B）F()2F()（C）iF()2F()（D）iF()2F()（利用Fourier变换的线性性质和象函数的导数公式）2．设F[f(t)]F()，则F[f(1t)][]（A）F()ej（B）F()ej（C）F()ej（D）F()ej[f(1t)]1tsf(1t)edtf(s)ei(1s)(ds)iteif(s)ei()sdseiF()二、填空题33e-t1．设F[f(t)]12，则f(t)22由1-三-5解法二中的分析可知：[e-t]21，323f(t)3e-t从而[e-t]2122．设f(t)etu(t)，则F[f(t)]。6及Fourier变换的微分性质：[f'(t)]i[f(t)]已知单位阶跃函数u(t)t()d，t()d，则令g(t)etu(t)etdg(t)etdttt()de(t)g(t)et(t)，即[dg(t)][g(t)et(t)][g(t)][et(t)]，dt又由[dg(t)]i[g(t)]，从而dt(t)eetdt1i[et(t)]it1(t)e1i[g(t)]=dt(1i)t1i11i11ie(1i)tt0三、解答题aa11．若F()F[f(t)]，且a0，证明：F[f(at)]F()1f(s)eisds1F()dsas[f(at)]f(at)edts=atf(s)eitiaaaaad2．若F()F[f(t)]，证明：F()F[jtf(t)]d即证：1[dF()]itf(t)d12dd1121[dF()]F()edF()eF()ddedititit2d12F()iteitd(it)1F()ed(it)f(t)it27sinF()3．已知某函数的Fourier变换为f(t)。，求该函数sinF()F()sin1[F()]1[sin]一方面，[f'(t)]i[f(t)]iF()1[F()]if'(t)；12sined12eiei[sin]另一方面，1itedit2i14i1ei(1t)ei(1t)d(t1)(t1)；2i从而if'(t)112(1t)(t1)(t1)(t1)f'(t)2if(t)1(1)d(1)du(t1)u(t1)1tt22F()F[f(t)]，证明：F()F[f(t)]4．若证：F[f(t)]f(t)edttsf(s)e(ds)f(s)ei()sdsF()itisf(t)etu(t),f(t)sintu(t)，求f(t)*f(t)125．若12f(t)*f(t)etu(t)sintu(t)u()sin(t)u(t)de121tsin(t)dttttes(ts)sinsdsetessinsdsetsinscossese201000sintcostet28积分变换练习题第一章Fourier变换________系_______专业班级姓名__________学号_______§5Fourier变换的应用综合练习题一、选择题：1．设F[f(t)]F()且当t时,g(t)0F[2tf()d][,则fd()t]F()211i12i1iF()（B）F(2)（D）F()（A）2i（C）1iFourier变换的积分性质：[f()d]=[f(t)]t[1i[f(2t)]12iF()2tf()d]=2最后一个等号由2（§3§4）-三-1得到.2．设F[f(t)]F()，则下列公式中，不正确的是[]（B）F[(f(t))2]1（A）F[f(t)f(t)](F())2F()F()2（D）tf(t)jF1[F()]（C）F[f(t)ej0t]F()0F[f(t)e]F()jt00二、填空题0,t00,1et,t0t01．设f(t)，则utft()(),t0etf()d参照课本51页(10)，u(t)f(t)f(t)u(t)t)sin2tdt(t2．计算积分1。21(t2)sin2tdtsin2tt21,t02i3．设sgnttt0，则F[sgnt]|t|1,9F[sgnt]1edt0(1)edtedtitedtititit000dtu(t)eitu(t)edtF[u(t)]F[u(t)]it(上一份练习最后一题)1()12()ii()i三、解答题1．求微分方程x(t)x(t)(t)的解，且t。解：假设F[x(t)]X()，对方程两边取Fourier变换，可得F[x(t)]F[x(t)][(t)]，即F(i1)X()1，1i1从而X().由于指数衰减函数f(t)0，t0t0(0)的Fou