线性回归换元题型-解析版

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页线性回归换元题型一、例题讲解1．某新能源汽车公司对其产品研发投资额x（单位：百万元）与其月销售量y（单位：千辆）的数据进行统计，得到如下统计表和散点图.x12345y0.691.611.792.082.20(1)通过分析散点图的特征后，计划用作为月销售量y关于产品研发投资额x的回归分析模型，根据统计表和参考数据，求出y关于x的回归方程；(2)公司决策层预测当投资额为11百万元时，决定停止产品研发，转为投资产品促销.根据以往的经验，当投资11百万元进行产品促销后，月销售量的分布列为：345Pp结合回归方程和的分布列，试问公司的决策是否合理.参考公式及参考数据：，，.y0.691.611.792.082.20（保留整数）25689【答案】(1)；(2)公司的决策合理.【分析】（1）令，可得，根据公式求出关于x的回归方程，从而可得y关于x的回归方程；（2）当时，，根据分布列的性质求出，从而可得，与比较即可得结论.【详解】（1）因为，令，所以.由题可得，，则，，所以，所以回归方程为.（2）当时，.因为且，所以，所以,所以公司的决策合理.2．某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表1和散点图．表1：x12345y0.511.535.5(1)该公司科研团队通过分析散点图的特征后，计划分别用①和②两种方案作为年销售量y关于年投资额x的回归分析模型，经计算方案①为，请根据表2的数据，确定方案②的回归模型；表2：x12345-0.700.41.11.7(2)根据下表中数据，用决定系数比较两种模型的拟合效果哪个更好，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测当研发年投资额为7百万元时的年销售量．经验回归方程1.90.1122参考公式及数据：，【答案】(1)；(2)选择方案②，理由见详解，17.5（千件）.【分析】（1）两边取对数，求出，，代入公式求出，，求出回归方程；（2）求出，计算出，得到案②的回归模型精度更高、更可靠，并代入求出预测当研发年投资额为7百万元时的年销售量为17.5（千件）.【详解】（1）对两边取对数得：，令，其中，，则，，所以，即；（2）方案①中，，，方案②中，同理可得：，，显然，故方案②的回归模型精度更高、更可靠，令中得：，所以预测当研发年投资额为7百万元时的年销售量为17.5（千件）.3．某地新能源汽车保有量符合阻沛型增长模型，其中为自统计之日起，经过t年后该地新能源汽车保有量、和r为增长系数、M为饱和量．下表是该地近6年年底的新能源汽车的保有量（万辆）的统计数据：年份20182019202020212022t01234保有量9.612.917.123.231.4假设该地新能源汽车饱和量万辆．(1)若，假设2018年数据满足公式，计算的值（精确到0.01）并估算2023年年底该地新能源汽车保有量（精确到0.1万辆）；(2)设，则与t线性相关．请依据以上表格中相关数据，利用线性回归分析确定和r的值（精确到0.01）．附：线性回归方程中回归系数计算公式如下：.【答案】(1)，万辆(2)，【分析】（1）根据题意代入即可求出，代入利用公式估算即可得解；（2）设设，转化为关于的线性回归问题，利用公式求出即可.【详解】（1）由题意可知，2018年对应，，满足，所以，解得，因为年对应的，所以所以估计2023年底该地新能源汽车保有量为40.3万辆.（2），设，则，t012349.612.917.123.231.43.373.072.772.442.11，，，所以，因为，所以.(该题无参考数据，需要计算器计算)二、实战演练1．某公司对某产品进行市场调研，获得了该产品的定价x（单位：万元/吨）和一天的销售量y(单位：吨）的一组数据，制作了如下的数据统计表，并作出了散点图．0.331030.16410068350表中，，．(1)根据散点图判断，与哪一个更适合作为y关于x的经验回归方程模型：（给出判断即可，不必说明理由）(2)根据（1）的判断结果，试建立y关于x的经验回归方程；(3)若生产1吨该产品的成本为0.20万元，依据（2）的经验回归方程，预计定价为多少时，该产品一天的利润最大，并求此时的月利润．（每月按30天计算，计算结果保留两位小数）参考公式：经验回归方程，其中，．【答案】(1)；(2)；(3)定价为0.45万元/吨时，一天的利润最大，月利润最大为45.00万元．【详解】（1）根据散点图知更适合作为y关于x的回归方程．（2）令，则，则，，，关于x的回归方程为．（3）一天利润为．（当且仅当即时取等号）每月的利润为（万元）预计定价为0.45万元/吨时，该产品一天的利润最大，此时的月利润为45.00万元．2．某公司近年来特别注重创新产品的研发，为了研究年研发经费(单位：万元)对年创新产品销售额(单位：十万元)的影响，对近10年的研发经费与年创新产品销售额（其中）的数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量的值.其中，，，，.现拟定关于的回归方程为.

（1）求，的值(结果精确到)；（2）根据拟定的回归方程,预测当研发经费为万元时,年创新产品销售额是多少？参考公式：求线性回归方程系数公式：，.【答案】（1）（2）155【分析】（1）先求均值，再代入公式求以及，（2）令得销售额.【详解】解：(1)令，则由，，，得，，，；；(2)由(1)知,关于的回归方程为当时，（十万元）（万元）故可预测当研发经费为13万元时,年创新产品销售额是155万元.3．沙漠治理能使沙漠变成一片适宜居住的地方，不让沙漠扩大化.近30年来，我国高度重视防沙治沙工作，相继采取了一系列重大举措加快防沙治沙步伐，推动我国防沙治沙事业.我国某沙漠地区采取防风固沙、植树造林等多措并举的方式，让沙漠变绿洲，通过统计发现，该地区沙漠面积(单位:公顷)与时间(单位:年)近似地符合)回归方程模型(以2016年作为初始年份，的值为1)，计算2016年至2022年近7年来的与的相关数据，得，(其中表示第年，，年份2016201720182019202020212022年数x1234567沙漠面积891888351220200138112(1)求关于的回归方程;(2)从2016年起开始计算，判断第24年该地区所剩的沙漠面积是否会小于75公顷.附:对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为.【答案】(1)(2)第24年该地区所剩的沙漠面积会小于75公顷.【分析】（1）根据题意，由最小二乘法计算公式，代入计算即可得到结果；（2）根据题意，由（1）中的线性回归方程，代入计算即可得到结果.【详解】（1）由表中数据可得，因为，设关于的线性回归方程为，则，则，故关于的回归方程为.（2）由回归方程可知，随着的增大，逐渐减小，当时，，故第24年该地区所剩的沙漠面积会小于75公顷.三、课后练习1．数据显示中国车载音乐已步入快速发展期，随着车载音乐的商业化模式进一步完善，市场将持续扩大，下表为2018—2022年中国车载音乐市场规模（单位：十亿元），其中年份2018—2022对应的代码分别为1—5．年份代码x12345车载音乐市场规模y2.83.97.312.017.0(1)由上表数据知，可用指数函数模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（a，b的值精确到0.1）；(2)综合考虑2023年及2024年的经济环境及疫情等因素，某预测公司根据上述数据求得y关于x的回归方程后，通过修正，把b-1.3作为2023年与2024年这两年的年平均增长率，请根据2022年中国车载音乐市场规模及修正后的年平均增长率预测2024年的中国车载音乐市场规模．参考数据：1.9433.821.71.6其中，．参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为．【答案】(1)；(2)十亿元【详解】（1）解：因为，所以两边同时取常用对数，得，设，所以，设，因为，所以，所以；所以；所以（2）由（1）知2023年与2024年这两年的年平均增长率，2022年中国车载音乐市场规模为17，故预测2024年的中国车载音乐市场规模（十亿元）.2．随着全球新能源汽车市场蓬勃增长，在政策推动下，中国新能源汽车企业在10余年间实现了“弯道超车”，一跃成为新能源汽车产量连续7年居世界第一的全球新能源汽车强国．某新能源汽车企业基于领先技术的支持，改进并生产纯电动车、插电混合式电动车、氢燃料电池车三种车型，生产效益在短期内逐月攀升，该企业在1月份至6月份的生产利润y（单位，百万元）关于月份的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图．月份123456收入（百万元）6.88.616.119.628.140.0(1)根据散点图判断，与（，，，d均为常数）哪一个更适宜作为利润关于月份的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)根据（1）的结果及表中的数据，求出y关于的回归方程；(3)该车企为提高新能源汽车的安全性，近期配合中国汽车技术研究中心进行了包括跌落、追尾、多车碰撞等一系列安全试验项目，其中在实验场进行了一项甲、乙、丙三车同时去碰撞实验车的多车碰撞实验，测得实验车报废的概率为0.188，并且当只有一车碰撞实验车发生，实验车报废的概率为0.1，当有两车碰撞实验车发生，实验车报废的概率为0.2，由于各种因素，实验中甲乙丙三车碰撞实验车发生概率分别为0.7，0.5，0.4，且互不影响，求当三车同时碰撞实验车发生时实验车报废的概率．参考数据：19.872.8017.50113.756.30其中，设，．参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．【详解】（1）散点图中的点的分布不是一条直线，相邻两点在轴上的差距是增大的趋势．故选用作为利润关于月份的回归方程更合适．（2）由，取对数可得，设，所以，，，，，所以，，所以，，即．（3）设事件为“实验车报废”，事件为“只有一车碰撞实验车”，事件为“恰有两车碰撞实验车”，事件为“三车碰撞实验车”，则由已知得，；利用全概率公式得解得；所以当三车同时碰撞实验车发生时实验车报废的概率为0.5．3．随着科技的发展，手机的功能已经非常强大，各类APP让用户的生活质量得到极大的提升的同时，也带来了一些问题，如有不少青少年沉迷于手机游戏，对青少年健康成长带来不小的影响．为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益智游戏，某游戏公司开发了一款益智游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表：关卡x123456平均过关时间y（秒）5179121130237353(1)通过散点图分析，可用模型拟合y与x的关系，试求y关于x的回归方程（系数a，b精确到0.01）；(2)从表中6关过关时间中随机抽取2个，求这两个过关时间均低于6关的过关时间的平均数的概率．参考公式：对于一组数据（，2，3，…，n），其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．参考数据：y51791211302373533.9324.3694.7964.8685.4685.866，，其中．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据最小二乘