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文档简介
1313n1313n《变数》业一判(的T表,的F表示1、如果
f
)0
存在,那么
f(z)
在
z0
解析F)2、
Ln
F)3、当且仅当
为实数时,
e
为实数F)4设
f()
在区域
D
内是解析的如果
是实常数那
f(z)
在整个
D
内是常数如
是实常数,那么
f()
在
D
内也是常数T)二填1、Re
;
=
3
。2、设是1的次,,则1
=0。3、在映射
2
下,扇形区域
0z
4
,
的像区域为
平面的正区域。4、若
,则=4k,∈。三计、计下函值1
n
;)
i
。解:1)
L
i)k
i
ei)
i,2)设
i则
(a)
2
i,a
2
abii2∴2
解得或b∴
i)、下函在平上处导何解?1);z
)
。
或re或re解:1)设则
z11rrf(zeeziii(rr2
这是一个多值函数,其每个分支单独来看,显然在0均为解析函数。2)令
2
y
2
,
v2y
2则
x
2
,
,
vx
,
v
由可导条件:
u
得,
xxy
,解得
y
12
得,
∴此函只在直线
y
12
上可导、函
f(z)x
2
3
x
2
y
2
i
是为析数求其数解:令
x
2
y
3
,
vx
2
y
2则
x,
x
2
∵
∴该数不是解析函数
ivxy
2、已
f(z)
dC:
2
y
2
,
f
。解:令
则
f(z
C
)则
fi7)∴
f
i7)
42sinsindz211311142sinsindz2113111、计积1
z
3z
;
2
z
sinz
2
dz
;e3;4)z2
3
。解:1)
3z
dzf(z)f()z
3z
3zz
2)∵
z
含
但不含
∴
z
z2
z
sf(zsf(z))(zzzz
sinz
3)
ezz4)
z
dzz3
Resf()f()z84四证:积路不过
,
0
1
2
4
。证明:积分路径绕过
,由柯西定理知:
0
11212
4∴
0
14
五证:
是
的轭和数问列对数后是是者共调函数判并出由)
BuAv
(
AB
为数2)
,uv
。解:1)令
BuAv,
Au
则
A,
,
,
∴
,A,,A,,∴
Av
是
Bv
的调和函数,但不是共轭函数。《变数》业一判1、
a(n
n
在z=0收,在z=3发散F)n2、在区域z内解析,且在区间-R,)取实数值的函数f(z)展开成z的级数时,展开式的系数都是实数T
)3、
tan
1z
在圆环区域
z(0
内不能展开成罗朗级数F)4、是
f(
z
的本性奇点T)二填1、
n
(1)
n
z
n
的收敛半径为
22
。2、
esinz
2
展开成z的级数的收敛半径=
1e
。3、是
f(ztan
的3
级零点。4、
f(g)
以z=a为m级n级点则为
f()(z
的m+n
级
极
点。三计、求
1z
在
z0
处泰展式解:令
f(z)
1z
n2n2则
f
,z4
,„„,f
()
(z
(n1)!z∴
f
()
(
(n(n
1)!∴
1((n(nzn!n、求
解:
1z1n∴
z
12
11
dz、求
fz)zz
2
3
在z=1处的泰展式解:
f(z)
3
2
z3
2
z、将
f(
1z2(z)
在
i
为心圆域展为朗数解:以为心的圆环域有两个
z
)
当
11z,z
n
(
(zz1f(z)z()]
z)n当
z
,
1)
(n(n
(1)2(1)2M(r)maxf(1D(1)2(1)2M(r)maxf(1Di1z
,
i(nniznz
nf(z)(()(z)3inz
四若
f(z
为函,
limr
M(r)r
,
f(z
是高n次的项。证明:由
r
M(rrn
f(z)知,,z,z
f()
z
在z平上任取一点z,以z为中心r为半径作圆:
r
,取r足够大,使C:z全于的部,则r,
,z,
znf(∴由柯西不等式,有
n(f(n()
(1)!)nn)rnr
n
n由
的任意性,知
f
(n
(∴
f()
是不高于次多项式。《变数》业一判题对用T表,的“F”表)1、若
f()
在区域
D
内单叶解析,则在内
f
F)2、线性变换将平面上的圆周变圆周或直线T)3、解析函数具有保形性F)4、函数在可去奇点处的留数为0F)二填题1、方程
z42
在单位圆内有4
个根。
iResf(sf()Ref(z)iResf(sf()Ref(z)z2、i关于
z
的对称点为∞。3、
f(z)
(z2(zzi
,:z,f(=C
。4、z点
处的旋转角为
,伸缩率为20。三计题、
z
(zzzz50)解:
z
(zzz48)(z
zf(f(z
(zz2)(48)
z
49
2352、
20
d4sin
解:
sin
z
z2izz2
215i4、
xsinxx
dx解:易得
fz
zez2∴
xeix
Resi
(
iz
i
∴
xsinxx2
dx
e
、求z平面单圆变平的单圆并成为不点使1变为穷点线变
(z)
。
解:设
z1
关于单位圆的对称
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