《复变函数论》网络作业

1313n1313n《变数》业一判（的T表，的F表示1、如果

f

)0

存在，那么

f(z)

在

z0

解析F）2、

Ln

F）3、当且仅当

为实数时，

e

为实数F）4设

f()

在区域

D

内是解析的如果

是实常数那

f(z)

在整个

D

内是常数如

是实常数，那么

f()

在

D

内也是常数T）二填1、Re

；

=

3

。2、设是1的次，，则1

=0。3、在映射

2

下，扇形区域

0z

4

,

的像区域为

平面的正区域。4、若

，则=4k，∈。三计、计下函值1

n

；）

i

。解：1）

L

i)k

i

ei)

i，2）设

i则

(a)

2

i，a

2

abii2∴2

解得或b∴

i)、下函在平上处导何解？1）；z

）

。

或re或re解：1）设则

z11rrf(zeeziii(rr2

这是一个多值函数，其每个分支单独来看，显然在0均为解析函数。2）令

2

y

2

，

v2y

2则

x

2

，

，

vx

，

v

由可导条件：

u

得，

xxy

，解得

y

12

得，

∴此函只在直线

y

12

上可导、函

f(z)x

2

3

x

2

y

2

i

是为析数求其数解：令

x

2

y

3

，

vx

2

y

2则

x，

x

2

∵

∴该数不是解析函数

ivxy

2、已

f(z)

dC:

2

y

2

，

f

。解：令

则

f(z

C

)则

fi7)∴

f

i7)

42sinsindz211311142sinsindz2113111、计积1

z

3z

；

2

z

sinz

2

dz

；e3；4）z2

3

。解：1）

3z

dzf(z)f()z

3z

3zz

2）∵

z

含

但不含

∴

z

z2

z

sf(zsf(z))(zzzz

sinz

3）

ezz4）

z

dzz3

Resf()f()z84四证：积路不过

，

0

1

2

4

。证明：积分路径绕过

，由柯西定理知：

0

11212

4∴

0

14

五证：

是

的轭和数问列对数后是是者共调函数判并出由）

BuAv

（

AB

为数2）

,uv

。解：1）令

BuAv，

Au

则

A，

，

，

∴

，A，，A，，∴

Av

是

Bv

的调和函数，但不是共轭函数。《变数》业一判1、

a(n

n

在z=0收，在z=3发散F）n2、在区域z内解析，且在区间-R，）取实数值的函数f(z)展开成z的级数时，展开式的系数都是实数T

）3、

tan

1z

在圆环区域

z(0

内不能展开成罗朗级数F）4、是

f(

z

的本性奇点T）二填1、

n

(1)

n

z

n

的收敛半径为

22

。2、

esinz

2

展开成z的级数的收敛半径=

1e

。3、是

f(ztan

的3

级零点。4、

f(g)

以z=a为m级n级点则为

f()(z

的m＋n

级

极

点。三计、求

1z

在

z0

处泰展式解：令

f(z)

1z

n2n2则

f

，z4

，„„，f

()

(z

(n1)!z∴

f

()

(

(n(n

1)!∴

1((n(nzn!n、求

解：

1z1n∴

z

12

11

dz、求

fz)zz

2

3

在z=1处的泰展式解：

f(z)

3

2

z3

2

z、将

f(

1z2(z)

在

i

为心圆域展为朗数解：以为心的圆环域有两个

z

）

当

11z，z

n

(

(zz1f(z)z()]

z)n当

z

，

1)

(n(n

(1)2(1)2M(r)maxf(1D(1)2(1)2M(r)maxf(1Di1z

，

i(nniznz

nf(z)(()(z)3inz

四若

f(z

为函，

limr

M(r)r

，

f(z

是高n次的项。证明：由

r

M(rrn

f(z)知，，z，z

f()

z

在z平上任取一点z，以z为中心r为半径作圆：

r

，取r足够大，使C：z全于的部，则r，

，z，

znf(∴由柯西不等式，有

n(f(n()

(1)!)nn)rnr

n

n由

的任意性，知

f

(n

(∴

f()

是不高于次多项式。《变数》业一判题对用T表，的“F”表）1、若

f()

在区域

D

内单叶解析，则在内

f

F）2、线性变换将平面上的圆周变圆周或直线T）3、解析函数具有保形性F）4、函数在可去奇点处的留数为0F）二填题1、方程

z42

在单位圆内有4

个根。

iResf(sf()Ref(z)iResf(sf()Ref(z)z2、i关于

z

的对称点为∞。3、

f(z)

(z2(zzi

,:z，f(=C

。4、z点

处的旋转角为

，伸缩率为20。三计题、

z

(zzzz50)解：

z

(zzz48)(z

zf(f(z

(zz2)(48)

z

49

2352、

20

d4sin

解：

sin

z

z2izz2

215i4、

xsinxx

dx解：易得

fz

zez2∴

xeix

Resi

(

iz

i

∴

xsinxx2

dx

e

、求z平面单圆变平的单圆并成为不点使1变为穷点线变

(z)

。

解：设

z1

关于单位圆的对称