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文档简介

1313n1313n《变数》业一判(的T表,的F表示1、如果

f

)0

存在,那么

f(z)

z0

解析F)2、

Ln

F)3、当且仅当

为实数时,

e

为实数F)4设

f()

在区域

D

内是解析的如果

是实常数那

f(z)

在整个

D

内是常数如

是实常数,那么

f()

D

内也是常数T)二填1、Re

=

3

。2、设是1的次,,则1

=0。3、在映射

2

下,扇形区域

0z

4

,

的像区域为

平面的正区域。4、若

,则=4k,∈。三计、计下函值1

n

;)

i

。解:1)

L

i)k

i

ei)

i,2)设

i则

(a)

2

i,a

2

abii2∴2

解得或b∴

i)、下函在平上处导何解?1);z

或re或re解:1)设则

z11rrf(zeeziii(rr2

这是一个多值函数,其每个分支单独来看,显然在0均为解析函数。2)令

2

y

2

v2y

2则

x

2

vx

v

由可导条件:

u

得,

xxy

,解得

y

12

得,

∴此函只在直线

y

12

上可导、函

f(z)x

2

3

x

2

y

2

i

是为析数求其数解:令

x

2

y

3

vx

2

y

2则

x,

x

2

∴该数不是解析函数

ivxy

2、已

f(z)

dC:

2

y

2

f

。解:令

f(z

C

)则

fi7)∴

f

i7)

42sinsindz211311142sinsindz2113111、计积1

z

3z

2

z

sinz

2

dz

;e3;4)z2

3

。解:1)

3z

dzf(z)f()z

3z

3zz

2)∵

z

但不含

z

z2

z

sf(zsf(z))(zzzz

sinz

3)

ezz4)

z

dzz3

Resf()f()z84四证:积路不过

0

1

2

4

。证明:积分路径绕过

,由柯西定理知:

0

11212

4∴

0

14

五证:

的轭和数问列对数后是是者共调函数判并出由)

BuAv

AB

为数2)

,uv

。解:1)令

BuAv,

Au

A,

,A,,A,,∴

Av

Bv

的调和函数,但不是共轭函数。《变数》业一判1、

a(n

n

在z=0收,在z=3发散F)n2、在区域z内解析,且在区间-R,)取实数值的函数f(z)展开成z的级数时,展开式的系数都是实数T

)3、

tan

1z

在圆环区域

z(0

内不能展开成罗朗级数F)4、是

f(

z

的本性奇点T)二填1、

n

(1)

n

z

n

的收敛半径为

22

。2、

esinz

2

展开成z的级数的收敛半径=

1e

。3、是

f(ztan

的3

级零点。4、

f(g)

以z=a为m级n级点则为

f()(z

的m+n

点。三计、求

1z

z0

处泰展式解:令

f(z)

1z

n2n2则

f

,z4

,„„,f

()

(z

(n1)!z∴

f

()

(

(n(n

1)!∴

1((n(nzn!n、求

解:

1z1n∴

z

12

11

dz、求

fz)zz

2

3

在z=1处的泰展式解:

f(z)

3

2

z3

2

z、将

f(

1z2(z)

i

为心圆域展为朗数解:以为心的圆环域有两个

z

11z,z

n

(

(zz1f(z)z()]

z)n当

z

1)

(n(n

(1)2(1)2M(r)maxf(1D(1)2(1)2M(r)maxf(1Di1z

i(nniznz

nf(z)(()(z)3inz

四若

f(z

为函,

limr

M(r)r

f(z

是高n次的项。证明:由

r

M(rrn

f(z)知,,z,z

f()

z

在z平上任取一点z,以z为中心r为半径作圆:

r

,取r足够大,使C:z全于的部,则r,

,z,

znf(∴由柯西不等式,有

n(f(n()

(1)!)nn)rnr

n

n由

的任意性,知

f

(n

(∴

f()

是不高于次多项式。《变数》业一判题对用T表,的“F”表)1、若

f()

在区域

D

内单叶解析,则在内

f

F)2、线性变换将平面上的圆周变圆周或直线T)3、解析函数具有保形性F)4、函数在可去奇点处的留数为0F)二填题1、方程

z42

在单位圆内有4

个根。

iResf(sf()Ref(z)iResf(sf()Ref(z)z2、i关于

z

的对称点为∞。3、

f(z)

(z2(zzi

,:z,f(=C

。4、z点

处的旋转角为

,伸缩率为20。三计题、

z

(zzzz50)解:

z

(zzz48)(z

zf(f(z

(zz2)(48)

z

49

2352、

20

d4sin

解:

sin

z

z2izz2

215i4、

xsinxx

dx解:易得

fz

zez2∴

xeix

Resi

(

iz

i

xsinxx2

dx

e

、求z平面单圆变平的单圆并成为不点使1变为穷点线变

(z)

解:设

z1

关于单位圆的对称

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