10证明含“lnx”的不等式的一小技巧-分离出“lnx”

证明含“lnx”的不等式的个小技巧—分离出“lnx”题12010年考全国卷I理科第20(2)题已知函数(f()1x证1可x(f.x2

f(xln

，证明：进而可得

，所以f(x)是函数当时，得f(xf(1)，所以(f()；x时得fx)(1)所以

(f()

总之，欲证结论成立.x证法得f()x

，设g(x)ln

xx

，得

xx，以g(x)是函.x当时，得(0,f)，所以(f(x)；当x时，得(g(1)fx)，以

(f()

总之，欲证结论成立.注本是涉及“一个多项式”与的积的函对于这类函数，一般来说每求一次导数，多项式的次数就降低一次，但最终的导数须化成不含“x”式在证法涉及“(ln以两次求导，才能化成不含“ln的式子；在证法2中涉及“x以须一次求导，即可化成不含“x”式.显然证法要简捷些，所以我们在解决这类问题时，要尽可能把lnx(是零常数)分离出来.题(年高考全国新课标卷文科第21(2)题)已知且x，求证ln1lnxxxx证

即证

x

lnx

x且x设f)ln

x

(且x)，fx)，得f()在(0,1),(1,均减函当时，得f(xf，所以

x

lnx

；当时，得f(x)f(1)，所以

1xx总之，欲证结论成立.注本若是用分析法先去分母，则须多次求在解答后面的四例题时也是这样.

22222222ln题(年考北京卷理科第18题设L为线C＝在点(1，处的切线．x(1)求L的程；(2)证明：除切点，0)之外，曲线C在线的方．解(1)(过程略)L的程为＝－(2)即证

lnx

(当且仅当时取等号)也即证

x

当且仅当

时取等号)设

)xx

，可得

g

2x

(

进而可得

)

min

，所以欲证结论成立.注

对于第2)问，官方所给的参考案是：即证

ln

(且仅当时等号设

(x)

ln

，得x＝

x

－1lnx

(x

当0<x<1时，x－，<0所以x，gx单调递减；当>1时，x－，ln>0所以g，得(x单调递增．所以

)

min

，得欲证结论成立.显然这种证法难度要大不题4已函数f(x)

ln(x

.(1)讨论(x)的调性；(2)求证：当x(2,，f(x.解(1)可得

ln((x

x

.1设()得(2)所以函数f(x在x(1,2),分是减函数、增函(2)即证当(1,2)，

xx

ln(xx设(x)ln(x

4x

x(1,2)得g

(，以g(x是函(x数又0，所以当(1,2)时g)进而可得欲证成立；当x时，)0，而可得欲证成立所以欲证成.注在答本题的两问时，均注意了把“ln(是零常数”分离出来，所以只须一次求导即可.

11题5求：

xln(xxx

证

这里只证右.

f)

xx(xx

，可得f

(xx所以

f)(

是增函数，得

f(x)f0(x

，得欲证成题已函数f(x)ax(和(x)图象有公共P，且在P的切线相同，求切的标解

得f

ax，g

x

.设切点坐标为t)，中.题意，得

lns

①as

②由②，得再由①，得

1

由a，s2设函数F()

2

lnx

ln2s，,，得

③F

x1)(x令，解得x或()当x变时，

F

(x)与F()

的变化情况如下表所示，1(2↗

,↘所以当时()

取到最大值

F(1)

，且当

1,1)2

时

F()

因此，当且仅当时

F)

所以方程③有且仅有一解于是s

，因此切点P坐标为(1,0)

题7年考宁卷文第题)设f(x)lnxx，明：当时fx)

(x；(ii)当

时，f(x)

9(x

(2)(2012

年高考辽宁卷理科第

题)证明：当

02

时，l

91x

证

(1)(i)设(t，可得即证lntt0(t设t)4ttt，得

tt

)0(，以(t)是函数，得()(1)0(t，欲证结论成(ii)可

(13)

，得即证102tt设g()lnt

tt

(13)因为欲证即g(t)(1)(13)，以只需证明g(t)是函数，即证

3).因为

(tttt(t

，以须证(t

2

2

t

2

3)此式左边是四次多项式，所以证明上式有难度，但只需证明(t2t2t23)

④设

t

+5=

，得即证(2108(0(6

⑤注意到④式左边在

t2=1

时的值为，所以⑤式的左边在

s

时的值也为0说明⑤式的左边有因式，此可分解⑤式的左边：(

2

s5)s

2

2

108(s6)(

2

xx1xxx1x1x由

6，得

s

，即⑤式成立.所以欲证成立.(2)显然此结论与1)(ii)等价，以欲证结论成立题8设

x

Re表自然对数的底，求证函数y,

分别单调递增、递减，且

x

(2)求证：①

lnx

x

(x

；11②函数fx)(x

是减函(3)①若

1

1x

x

0)

恒成立，求常数的取值范围；②若

1

1x

x

0)

恒成立，求常数取范围；③若

n

N*)成立，求常数的取值范围；④若

1

1n

n

N*)成立，求常数取值范围；⑤若

1

e(a;

是已知的正数)恒成立，求常数

的取值范围；⑥若

ax;ab

是已知的正数)恒成立，求常数取范(4)①若函数

yx

x

(0)

是增函数，求常数

的取值范围；②若

y

1

1x

x

(

是减函数，求常数取范解(1)①先证

x0)x

即证

t)

t

e,1tt,ettt)

设

f()t0)

得

f

t

因为

t

以

f(t)

在

上是增函

数，得

f()f(0)e

t

，所以欲证结论成立②再证函数

1

1

(x0)

单调递设

x

，得t.复合函数的单调性“同增异减”知，即证函数ft)

t

t

x

单调递减，只需证

g(t)ln(1)

1t

tt

(t

单调递减.只需证

g

ln(t2

即

tt

tt0)

(

)设

ht)ln(t

tt

t0)

h

10t(

以

()

在

上是增函数，得

h)h(0)

，式

)成立，即欲证结论成立.③又证

e

1

1

(x即(x

1

1

，在式(中令t立.④最后证函数

(x

单调递减.只需证

f(x)ln

(0)

单调递减，有f

1x由

1

1

1，可得,fx

0,fx)在(0,

上单调递减.(2)①设

f()xx(x

，可得f

(xx

lnxlnx所以

fx)

是增函数，得

f(x)f0(x

，即欲证成立.②由①的结论，可得f

(x2x(x22xx2lnx

xxx即欲证成立.(3)设f(t)

1tt

，由第2)②题的结论知

f(t)

是减函①设

1t

t1)

后，得题设即“

t

即(t

恒成立”.又

limf(t)

，所以所求常数的取值范围

(

②设

1t

t1)

后，得题设即“

t

lnt

也即

f(t)

恒成立”.再由洛必达法则，得limf(tt1t1

tln(tt

t1

t

1tt2tt1ttt所以所求常数的取值范围是③设

t

1n

n

N*)得题设即“

t

t

也即

f(t)

恒成立”.又

limf(t)

，所以所求常数

的取值范围是

(

t④设

t

1n

n

N*)得题设即“

t

也f(t)

恒成立”.又

f(t

f(2)

，所以所求常数

的取值范围是

ln2

⑤设

x

1tt

后，可得题设即“

f(t)

恒成立”也即“

f

”.

ln1ln1tln1ln1t所以所求常数的值范围是

1

⑥设

x

1tt

后，得题设即“

f(t)

恒成立”.所以所求常数的值范围是

1

①设

t

x

(t

后，得

ln

ln(1)(t

，所以题设即f(t)