高中数学讲学案 1.3.2函数的奇偶性精讲精析 必修1

课：函数奇性学目展示1.使学理奇数偶数概，运定判函的偶；2.会由数图研函的调间了数单性3.以能单性定判并明数单性衔性识1.画出列数图（1）f(xkx(0)(2)f(x)

kx

(0)

（3）f()x|（4）

f()x

(5)

f(x)

x2.上的函图有么特？们对轴对中吗基知工具箱要点

定义

符号若定域D

关于点称则f()设函＝()定域D

，如对奇函

于D

内的意个

x

，都

，且

是奇数f))

对任f(()

这个数做函

xD都成若定域D关原对，

f)设函＝()定域

，如对偶函

于D

内的意个

x

，都

D

，且

是偶函数f(f()

对意f(()

这个数做函

D

都成设x)

是奇数则f((x)②f(x(③fx)

图象于点奇函性对称反也立.若有义则f(0)设f(x)

是偶数则

f(f()f

②③fx)

图象于y

轴对，偶函性反之成1

奇偶与调性关

若(x)与

为奇数则与时单性同若f()时单性反

为偶数则

判断数

求定域

化简析计算(

结论偶性步典精剖析例1.判下函的偶(1)

f(x)x

1x

；(2)

f()x2

；(3)f(x)xx；(4)f()2

；(5)

f()

x

（6）x)1

(7)

f()(x（8）f(x)

|x|解1）由知得

，f(x

的定域((0)f()

1(x)

，

f)3

1x

是奇数（2）f()

的定域，f(

(x)，f(x

是偶数（3）f()

的定域

，f())，()x

是偶数（4）f()

的定域，f2

，f(

，f

，且((1)f()

为非非函（5）由

，得，以f(x)

的定域{|1}

，定域关原对称，f(x)

为非非函（6）由

xf()

的定域{x，定义域于点称2

f)0

，f(f((x)

，且f()fx)所以fx)

x

1

既然奇数是函（7）f()

的定域

，

f(xxf(

(x)，xx

x

是偶数（8）由≠0

得－≤≤且≠，1－1定义关原对，－≤≤且x0时，(x＝＝，x＋2－2x∵()＝

1－－)1－＝－＝()∴(x)奇数－例2.已知数y)

的图关原对，当

时，

f)x2.试求f(x)

在

上的达，画它图，据象出的调间解：∵函f()

的图关原对．∴f(x)

为奇数则f，设，则，∵时(x)

x，∴

f()(

3]

x于是：

f()

(x0)(x0)

2

x

(x先画函在y右的象再据称画出y轴左的象如图3

由图可f(x)

的单递区是(、

∞)，单递区是[0)

、,1]

．例3.如果奇数f(x)在间上增数且大为10，最值4，那(x)在[－6－1]上增数是函？

()在[－6－1]上最值最值解：

2

，则

1

，∵f()

在[上是增函且大为10，最值4，∴

(1)f()f()(6)101

，又∵f()

为奇数∴

))10

，∴

(x)()2

，即f()

在[－6，－1]上是函数且小为10，大为4.例4.(1)如①奇数)

的部图，f(2)＝.如图②是函)

的部图比较f(1)

与f

的大的果．解：∵奇函数图关原对，奇数∴必点(－，－1)和(4，2)，＝(－2)×－2.∴f(

f(x)

图象点(2,1)和(4,2)，∵偶函数f(x)

满足f(，∴f．精部类试题（普通用）4

251．列个数，是函又0＋)上增数是)25A．＝

B．＝－x＋C．＝x＋

D．＝

[答]C[解]由偶数排A由(0，＋)为函数排B，D故2.函f)(x＋x＋)偶数则a[答]－1[解]解法1：(x)＋＋＋为偶数∴＋＝，∴＝－解法2：∵()＝＋1)(xa为偶数∴任x∈R，有f－x＝f)成，(－＝(1)，即02(1＋a)，a＝13．断列数奇性(1)()(≤0)

1；(2)(x＝.x＋x(≥[解](1)()＝

，∴(x＝－f(，∴()奇数1(2)f(－)＝≠()f－)－()∴()不奇数又是函．－＋b4．数f)是义(－上奇数且1＋

12f()25

，求数()的解式又

[解]因为fx是函且义为－1,1)，以f(0)＝0即＝0.1122f()，以＝，以a＝，所fx＝511＋5．知f)奇数当≥时f的象经点3，6)，顶为1,2)的物的一分求f的析，画其象[解]设x≥，()ax1)＋，∵过3，－6)点，(3－1)＋＝－，＝－2.即fx＝2(x1)＋2.当x<0时－>0(－)－－－1)＝2(x2∵()奇数∴(－)＝－()∴()2(x1)－，＋(≥即f(x＝2(x<0)

，5

其图如所．类试题（3+3+4（尖班）1．列题错的()①图关原成心称函一为函②函的象定原③函的象与y轴一相④象于y轴称函一为函A．②．④C①[答]D

D．③[解]

1)＝为函，图不原，②y＝

－－x－

≥1≤－

为偶数其图与轴不交故错2．列个数，是函又0＋)上增数是)A．＝

B．＝－x＋C．＝x＋

D．＝

[答]C[解]由偶数排A由(0，＋)为函数排B，D故C.13．知函f(x)在区[0，＋)调增则足f(2x1)<取值范围()12A.

B.

1212，C.3

D.

12，[答]A111412[解]由题得2－1|<－<2x1<⇒<2<<<，∴A.3333334.函f)(x＋x＋)偶数则a[答]－1[解]解法1：(x)＋＋＋为偶数∴＋＝，∴＝－解法2：∵()＝＋1)(xa为偶数∴任x∈R，有f－x＝f)成，6

1＋25(－＝(1)，1＋25即02(1＋a)，a＝15.知f)＋＋－，f－＝，则f(3)[答]－[解析]

解法：f－3)＝(－3)

＋(－3)＋－3)－＝－＋·3＋－5)－10＝(3)105，∴(3)＝15.解法：(＝＋＋bx则()为函，f(－g－3)－＝(3)－5＝，∴(3)＝－10，∴(3)＝(3)－＝－6.知f)偶数()奇数且f)()＋－，()，()＝．[解]－)g－)＝－－，f(x是函，()奇数，()()＝x－又f(＋()＋－，式立：(＝－，()＝.7．断列数奇性(1)()(≤0)

1；(2)(x＝.x＋x(≥[解](1)()＝

，∴(x＝－f(，∴()奇数1(2)f(－)＝≠()f－)－()∴()不奇数又是函．－＋b128．数f)是义(－上奇数且f)，函()的解式25[解]因为fx是函且义为－1,1)，以f(0)＝0即＝0.又

11222f()，以＝，以＝，所(x＝51x1＋9．知＞＞，函y＝f)在间－，]上增数问数y()区[，]是函还减数[解]设≤b，－≤x＜－≤a∵(在－，]是函．∴()()又f()偶数∴(－)fx，f()()于是()(