高一数学竞赛辅导(七)

高一数学竞赛辅(七)高一数竞赛导（）例1设函数y=f(x)(x∈R，≠对意零x,x,足12f(xx)=f(x).1212(1)求证：f(1)=f(－(2)求证：为偶函数.1(3)已知y=f(x)为0,+∞)上的增函数，解不等式f(x).2例2f(x)为定义在R上的不恒于0的函数，f)=0,且任意x,y∈2R，恒有xyxf(x)+f(y)=2f()f()2证明：)=f(x);(2)f(－x)=f(x);(3)f(2x)=2[f(x)]

2

－1.1/8

高一数学竞赛辅(七)例3设f(n)是定义在自然数集上且取自然数值的严格增函数f(2)=2,当m,n互时f(mn)=f(m)f(n).证明：对一正整数n,f(n)=n.例4设函数f(x)是奇函数，对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),x>0时f(x)<0f(1)=－2.求f(x)在x∈[-3,3]上的最大值和小值。2/8

高一数学竞赛辅(七)例5设f(n)是定义在N上取非负整数的函数，且所有的m，n∈N，有f(m+n)－f(m)－f(n)=0或1以及f(2)=0,f(6000)=2000.f(5961).例6函数f定义在整数有序对的集合上，并满足f(x,x)=x,f(x,y)=f(y,x),(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y)计算f(14,52).3/8

高一数学竞赛辅(七)1例7函数f(x)在x=0处没有意义所有非零实数x有f(x)+2f()=3x，x求方程f(x)=f(－x)的根.例8设F(x)是对除及x=1以外的一切实数有定义的实函数且F(x)+F

x1)=1+xx求F(x).4/8

高一数学竞赛辅(七)例9试求定义在自然数集上的函，使f(x+y)=f(x)+f(y)+xy,f(1)=1.例10设n次多项式函数满足f()

kk

(k0,1,...,n，求f(n+1).5/8

3高一数学竞赛辅(七)3练习：I.选择题1(1)下面列举的四个函数中，满足f()f()的函数f是).xA.

x323B.C.xD.x33x23(2)已知函数f(x)对意正数恒f(x·y)=f(x)+f(y)，下列式子中错误的是)A.f(1)=0B.f(x)=0(x>0)C.f(x)=3f(x)(x>0)D.f(

12

f)(x0)(3)对于每一对实x,y,函数f满足f(x)+f(y)=f(x+y)xy1，若f(1)=1，么使f(n)=n(n≠1)的整数共有()个.A.0II.填空题

B.1C.2D.3(1)若f(a+b)=f(a)f(b),且f(1)=1，于____________.

f(2)f(3)f(1988)的值等f(1)f(2)f(2)对任意正整数k，(k)表示k各位数字和的平方，对≥2，令1f(k)=f(fn1

n－1

(k))，则f

1988

(11)=__________.(3)若f(3x+1)=x

2

+e2x

,则f(x)=_____________.(4)函数f(n)对一切自然数有定义足f(n)=f(n－1)+a

n

,f(1)=1，则f(n)=_____________.(5)设f(x)为次函数，已g(x)=2xf(x),和g(x+1)－g(x)=2·x2,则g(x)=_________.(6)适合条件

2

f(x)+f(1－x)=2x－

4

的多项式f(x)=_________.6/8

高一数学竞赛辅(七)III.解答题(1)设多项式函数f(x),g(x)满f2(x)=xg2(x)，则f(x)与g(x)都是零次多项.(2)设函数满足下列条件：①任意实数x，均有f(x)>2；②对任意实数x,x,均有f(x+x)<f(x)+f(x)证对任意实x,x,12121212均有lgf(x)<lgf(x)+lgf(x1212(3)设函数y=f(x)定义在R上，当时，，且对任，∈R有f(m+n)=f(m)f(n),当m≠n时，f(m)≠f(n).①证明：f(0)=1.②证明：f(x)为R上的增函数③设A={(x,y)|f(x2)f(y2)<f(1)},B={(x,y)|f(ax+by+c)=1,a,b,c∈R且a≠0}，若AB≠φ，求a,b,c足的条件.7/8

高一数学竞赛辅(七)(4)将正整数所有约数之用f(n)表示例如f(4)=1+2+4=(),求证：如果mn互质，