第一节正弦定理(要点归纳夯实基础练)

第一节正弦定理【要点归纳】一、正弦定理1．正弦定理内容：在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等。即：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)2．正弦定理的常用变形：(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(2)eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB)，eq\f(a,c)＝eq\f(sinA,sinC)，eq\f(b,c)＝eq\f(sinB,sinC)；(3)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)；(4)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(5)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(6)A<B⇔a<b⇔2RsinA<2RsinB⇔sinA<sinB.3．正弦定理的推广：由正弦定理的推导过程可以得到如下面积公式：S△＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA．4．三角形的面积公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha＝eq\f(1,2)b·hb＝eq\f(1,2)c·hc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB；(3)S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r为内切圆半径)．二、解三角形1.解三角形：一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．2．利用正弦定理可以解决以下两类有关解三角形的问题(1)已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角；(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角．3．讨论三角形解的个数在△ABC中，已知a，b，A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，与除去顶点A的射线AB交点的个数即为三角形解的个数，其解的情况如下表：A<90°A≥90°a≥ba<ba>ba≤ba>bsinAa＝bsinAa<bsinA也可以如下判定：由“三角形中大边对大角”可知，若a≥b，则A≥B，从而B为锐角，有一解；若a<b，则A<B，此时，由正弦定理得sinB＝eq\f(bsinA,a)的值．①sinB>1，无解；②sinB＝1，一解；③sinB<1，两解．4．在解三角形时，常用到以下结论：(1)在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB；(即大边对大角)．(2)a＋b>c，b＋c>a，a＋c>b；(即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边)(3)内角和定理：A＋B＋C＝π；A＋B＝π－C，eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2).sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC；sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)，coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).(4)在锐角△ABC中，A＋B>eq\f(π,2)⇔A>eq\f(π,2)－B⇔sinA>cosB⇔cosA<sinB.【夯实基础练】1．(2022•重庆市第八中学高三(下)第一次调研检测)《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积"中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即，现在有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为()A． B． C． D．12【解析】由题意结合正弦定理可得：，周长为，即，，，.所以，故选：A.【答案】A2．(2022•河北省衡水中学高三一模)设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则边()A．2 B． C． D．1【解析】因为且，所以，．又，由正弦定理，得，即，解得．故选：D．【答案】D3．(2022•江西师大附中三模)滕王阁，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．如图，小明同学为测量滕王阁的高度，在滕王阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为，在它们的地面上的点M(B，M，D三点共线)测得楼顶A，滕王阁顶部C的仰角分别为和，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为，则小明估算滕王阁的高度为(

)(精确到)A． B． C． D．【解析】由题意得，在中，，在中，，，所以，由正弦定理，得，又，在中，.故选：D.【答案】D4．(2022•黑龙江省哈九中模拟)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，,，则的值为(

)A． B． C． D．【解析】根据正弦定理得，得，所以.故选：C.【答案】C5．(2022•高考浙江卷)我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．【解析】因为，所以．故答案为：.【答案】.6．(2022•重庆市第八中学高三第六次调研检测)在中，已知，则_________.【解析】因为，所以，因为，故，所以或.因为，故，故.则由正弦定理得，，，故答案为：.【答案】##0.57．(2022•黑龙江省鹤岗市第一中学高三(上)期末)已知函数．在中，角，，的对边分别是，，且满足，则的取值范围是________．【解析】由及正弦定理，得，即，即，所以，即，所以，所以，所以．故答案为：.【答案】8．(2022•河北省衡水中学高三二模)在中，内角，，的对边分别为，，且，则___________.【解析】因为，由正弦定理可得：，即，所以，在中，因为，所以，即，所以，故答案为：【答案】9．(2022•北京市北京大学附属中学高三2月开学考试)在△ABC中，，，则AC的长为___________.【解析】因为，所以，由正弦定理可知：，故答案为：【答案】10．(2022•山西省长治市第二中学高三(上)第三次练考)如图，A是两条平行直线之间的一个定点，且点A到直线的距离分别为．设△ABC的另两个顶点C、B分别在上运动，且满足．(1)试判断△ABC的形状,并证明结论；(2)求的最大值．【解析】(1)由及正弦定理得..因为，所以，.于是.故△ABC为直角三角形，且.(2)设.则.于是,在Rt△AMB中，；在Rt△ANC中，.故.从而，当时，取得最大值为.【答案】(1)；(2)11．(2022•河北省衡水中学高三一模)已知：中，角，，所对的边分别为，，，且．(1)求角的大小及的值；(2)若，求的值．【解析】(1)中，由正弦定理，又由得，，所以，∵，∴．∴．(2)由及得，则，所以．【答案】(1)；(2)12．(2022•安徽省六安一中高三第四次月考)已知在中，角所对的边分别为，且，.(1)求角的大小；(2)若，求的值.【解析】(1)因为，所以，所以，而为三角形内角，所以，所以，∵是三角形内角，∴.(2)∵，∴由正弦定理可得，可得，所以，