知识讲解-微积分基本定理125

微分本理【习标1．理解微积分本定理的含义。2．能够利用微积分基本定理求解定积分相关问题。【点理要一微分本理引我们已学过过用定积分定义计算定积分但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。（1）数定分直关：如下图：一个做变速直线运动的物体的运动规律是（导的概念可知，它在任意时刻的速度v（）这个物体在时间，内的位移为s你能分别用s（（）表示s吗？一方面，这段路程可以通过位置函数S（）在，上增量s（）－（a）表达，即s=s（）－（另一方面，这段路程还可以通过速度函数（）示为

v(t)dt

,即s=

(tt

。所以有：

vt)dt

s（）（）（2）数定分的观系推：上述结论可以利用定积分的方法来推证，过程如下：如右图：用分点a=t＜＜＜＜＜＜t=b，011in将区间a等成个区间：[t，，，]，，，]，[t，，01121i1n每个小区间的长度均为i

i

。

nnnnv(tt当t很时，t，]上v（）变化很小，以认为物体近似地以速度（）ii1做匀速运动，物体所做的位移(t)t)iiii

bn

t)i

。②从几何意义上看，设曲线（）上与t对的点为P是P点处的切线，由数的几何意义知，切线PD的斜率等于是1tant)iii结合图，可得物体总位移

。s

t)iii

st)i

。iiii显然，越，即Δ越，区，的划就越细，

(

i

)t)i

与si

i的近似程度就越好。由定积分的定义有

i

v(t)limi

bni

sti

s'(

。结合①有s

b

st)dt(b)(a)

。a上式表明，如果做变速直线运动的物体的运动规律是（么v（））在区间，上定积分就是物体的位移（）s（

一般地，如果f)是区间，b]的连续函数，并且F'()f()f()dF(b)(a)。

，那么这个结论叫做微积分基本定理。要二微分本理概微分本理一般地，如果F'(x)()

，且fx)

在，上积，则

f()dF(b)(a)

。这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛莱布尼兹公式。其中，F)

叫做f)

的一个原函数。为了方便，我们常把F(b)(a)

记作

F(x)

b

，a即

f()dF()F(b()

。

要诠：1）据定积分定义求定积分，往往比较困难，而利用上述定理求定积分比较方便。

bb（）f)

是定义在区间I的一个函数，如果存在函数F(x)

，在区间I的任何一点处都有'(x)(x)

，那么F()

叫做函数f()

在区间I上的一个原函数。根据定义，求函数f)

的原函数，就是要求一个函数(x)

，使它的导数)等f(x)

。由于[F(x)]'F'(x()

，所以F()

也是f()

的原函数，其中为数。（）利用微积分基本定理求定积分

f(

的关键是找出使Fx)f()

的函数F)

。通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求出F()

。要三定分计1.求积的般骤：（）被积函变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；（）定积分定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；（）别用求公式找到一个相应的原函数；（）用牛顿――莱布尼兹公式求出各个定积分的值；（）算原始积分的值。2.定分运性。①有限个函数代数和（或差）的定积分等于各个函数定积分的代数和（或差

[fx)

x]

(x)dxa

xx

xx

。②常数因子可提到积分符号前面，即

kf(xx)d

。

③当积分上限与下限交换时，积分值一定要反号，即

f(x

f(

。

④定积分的可加性，对任意的，有

x)dx

xx

x)dx

。

3.定分计技：（）被积函，要先化简，再求积分。（）被积函数是分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性分积分再求和。（）于含有对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分。要诠：①求积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.因此，求导运与求原函数运算互为逆运.②把分上、下限代入原函数求差时，要按步骤进行，以免发生符号错误。③由)(),F()也是f()【型题

的原函数，其中c为数

111222222121212222111222222121212222x2类一利微分本理定分【清堂微积分基本定理型例题1例1.计算列定积分（）

1x

（）

【思路点拨】根求导函数与原函数互为逆运算到被积函数的一个原函数利用微积分基本定理求.【解析）因为

(lnx'

1x

，所以

1x

x|ln2ln1ln2

。（）

【总结升华使题步骤清晰常都是把求原函数和计算原函数值的差用一串等式表示出来。解题格式如下：有

(xxF(xF())

举反：【变式】计算下列定积分（）

（）

xdx

（）

x3dx

（）

【答案）

1dx

（）

xx22（）

11x3dx440444（）

11144【清堂微积分基本定理型例题2例2．求列定积分：（）

(x

）

；

（）

1(2)dxx

）

(cosxx

。【解析】（）

1

x2xx11

dxx1311

296

。（）

xx

dx

cosxxx)sin

。（）

1

xxxddxln2ln21x3123611

。

11122222001112222200（）

(cos)d

cosxd

xxsinx

x

1

。【总结升华】（）求函数f)

在某个区间上的定积分，关键是求出函数f(x)

的一个原函数，要正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系。（）求复杂数定积分要依据定积分的性质。举反：【变式】计算下列定积分的值：（）

(3x

，（春银川校级期中）

(xsinx

，

（）

【答案】（）

20

(3

2

dxx

3

x2)

20

（）

(xsinx)dx

13

1x3x)cos1)312cos13（）

(80

x11)903ln【清堂微积分基本定理型例题2【变式】计算1）

120

x

2

dx（）

exdx【答案】（）

x1

1

2

32（）

eex2

【变式3】计算下列定积分（）

xx

；（）

1

(e

2x

1)x

（）

2【答案】（）

x(x

2

且

(

13

x)

1x2

，

203

)dx02

2dx

0

x22|2（）

(ln)

1x

，又

(

2

)

2x

)

2x

，得

e

12

e)

2220022202022200222020所以

1

(e

2

1)x

11

11dxx

2

|2x11111e2lnln1eeln222（）

1(sin2x2x)2x得cossin2x)2

所以

xdx0

1(2dx2

0

1dx2

0

2

111x(sin)(2xsin0)222222类二几特被函求积问例3．求列定积分。（梧州三模）已知函数

(0)f(),(0)

，求

f(x)dx（）

2

12xdx

。012(【答案】（）（）2【思路点拨】对于图形由两部分组成的函数在求积分时，应注意用性质

f(x)

＝

f(x)dx

＋

f(x)

进行化简

【解析】（）函数

(0)f(),(

，∴

2

f(x)

2

dx

，

0

∵

2

2dx

表示以原点为圆心，以

为半径的圆的面积的四分之一，0∴

0

2

12dx42

，∴

f()

0

2

2dxdx

130233（）

x

(sincosx)

i-csx|d

0

sindx

4

sin

xdx＋(1)dx＋21xdx＋(1)dx＋21

0

xxx

4

(sinxcosx)dxic40

(xsi)

2

4【总结升华】（）于分段数的定积分，通常是依据定积分“对区间的可加性先段积分再求和，要注意各段定积分的上、下限。（）算

|f()|

时，需要去掉绝对值符号，这时要讨论f()

的正负，转化为分段函数求定积分问题。举反：【清堂微积分基本定理型例题3【变式1】求定积分）

f()，其中f(

,0（）

x

；【答案】（）

(xx

xdx

xx

（）

x

＝

xdx

1＝

3

＝

(

11x2)32＝

12

；【变式2】计算下列定积分（）

|sin|

）

x

【答案】

（）

，

xxdxx|xdx

0

2

4.（）0x2，于是

2)x|∴

x

|

(1

)

(

dxx

111113

类三函性在积计中应例4.求定分：

(xx)

；【思路点拨】考虑利用被积式函数的奇偶性求积分。【解析】∵yx

是奇函数，∴

cos

，∵

3

2

是偶函数，∴

x2dx

dx∴

(xcosxx20

21x305【总结升华数奇偶性又是决定积分有关问题的重要工具用这两点能简捷地解决定积分的有关问题，结论如下：（）

f)

是偶函数，则

f(x)dx()dx

；

（）

f)

是奇函数，则

f(xdx

.举