初三数学圆知识点复习专题经典

《圆》章节识点复习一圆概集合形式的概念：1、圆以作是到定点的距离等于定长的点的集合；、圆的外部：可以看作是到定的距离大于定长的点的集合；、圆的内部：可以看作是到定的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（充、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线3、角的平分线：到角两边距离等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二点圆位关1、点在圆内

dr

点C在圆内；

d2、点在圆上3、点在圆外

dd

点B在上；A点在圆外；

r

d

OC三直与的置系1、直线与圆相离2、直线与圆相切3、直线与圆相交

ddr

无交点；有一个交点；有两个交点；r

d

d=r

r

d四圆圆位关外离（图1）外切（图2）

无交点有一个交点

；；相交（图3）有个点d

；内切（图4）有个点d

；内含（图5）

无交点

；龙文教育--教育是一项良心工程

dR

r

R

r

R

r

图2

图3

R

r

r4

五垂定垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1）平分弦（不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（）的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（）分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个理称2推3定定中共结论中要知道其中2个可推出其它3个论，即：①AB是径②

③

④弧BCBD

⑤弧中任意2个件出其他3个结。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O中，∵AB∥CD∴弧

A

O

B

C

O

D例1基本念

．下面四个命题中正确的一个是（）A平分一条直径的弦必垂直于这条直径．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C的垂线必过这条弦所在圆的圆心D在一个圆内平分一条弧和它对弦的直线必过这个圆的圆心．下列命题中，正确的是（A过弦的中点的直线平分弦所对的弧

B过弦的中点的直线必过圆心．弦所对的两条弧的中点连线直平分弦，且过圆心D弦的垂线平分弦所对的弧例2垂定理、在径为圆柱形油槽内装入一些油后面如图所示果油的最大深度为，么油面宽度是_龙文教育--教育是一项良心工程

、直径为52cm的柱形油槽内装入一些油后，如果油面宽度是48cm那么油的最大深度、图，已知在⊙O中弦，，足为，于E，OFCD于（1求证：四边形是方（2若

，

，求圆心

到弦

AB

和

的距离、已知：△ABC内于O，AB=AC半径，圆心到BC距离为3cm求的．、图F是O为心为径的半圆上任意一点A是

的中点AD⊥BC于D，求证：AD=A

FE例3度问题

BD

O

C、已知：在⊙

中，弦

，

点到

AB

的距离等于

AB

的一半，求：

AOB

的度数和圆的半、已知：⊙O的径弦ABAC的分别是2、3求的数。例4相问题如图，已知的径和弦相于点，，EB=2cm∠°求长.CEAOD例5平问题在直径为50cm⊙O中弦AB=40cm弦CD=48cm且AB∥，求CD之的距离例6同圆问如图，在两个同心圆中，大圆的弦B交小圆于D点，设大圆和小圆的

B

半径分别为

,

求证：

22

例7平与相已知图是O的径CD是弦CD于于F.

求龙文教育--教育是一项良心工程

证：

EC

六圆角理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此理也称推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可推出其它的3个结论，AOB；AB；即：①

E

F③OCOF；弧BABD

O

D七圆角理1角定理所对的圆周等于它所对的圆心的角的一半。

C

A

C

B即：∵AOB和ACB是弧ABACB∴

所对的圆心角和圆周角

BA2、圆周角定理的推论：

D

C推论1：同弧或等弧所对的圆周相等；同圆或等圆中，相等的

圆周角所对的弧是等弧；

BO即：在⊙

中，∵

、

都是所对的圆周角

A∴推论2：半圆或直径所对的圆周是直角；圆周角是直角所对的弧

C

是半圆，所对的弦是直径。

B

A即：在⊙

中，∵

AB

是直径

或∵

∴

∴

AB

是直径推论3：若三角形一边上的中线于这边的一半，那么这个三角形是即：在△中，∵OC

C

直角三角形。∴△

是直角三角形或

C90

O

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上

的中线等于斜边的一半的逆定理。【例1】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图3-3-19所示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？龙文教育--教育是一项良心工程

【例2】如图，已知O中，AB为直径AB=10cm弦AC=6cm的分线交⊙O于D，求BC、AD和BD的．【例3】如图所示，已知AB为O直径AC为弦OD∥，AC于D，．（）证AC⊥；（）OD的长（）2sinA－，⊙的径．【例4】四边形ABCD中AB∥DCBC=b如图，求BD的．【例】如图1，AB是⊙的径，过、B两作半O的弦，当两弦交点恰好落在半O上C时，则有AC·AC＋·BC=AB．（）图2，若两弦交于点P在O，则APACBPBD=AB是成立？请说明理由．（）图3，若两弦AC、的长线交于点，AB写结论的正确性．

．参照（1）写相应结论，并明你填八圆接边圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在⊙O中，∵四边形

ABCD

是内接四边形

C

D∴

B

B龙文教育--教育是一项良心工程

A

E

DAE例1、如图7-107，⊙中，两∥CD，是AB的点，过M点弦DE．求证E，M，，四共圆．九切的质判定（）线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即MNOA且过径外∴MN⊙的线（）质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论：过圆心垂直于切线的直必过切点。推论：过切点垂直于切线的直必过圆心。

OMAN以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十切长理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵、是的两条切线∴

PBPOBPA平分

利切性计线的度例：图已知AB是⊙的径P为长线上的一点PC切⊙O，⊥于D，又PC=4，O的半径为3．求：的长．龙文教育--教育是一项良心工程

利切性计角度例：图，已知：AB是⊙O的径CD切O于CAECD于，BC的延线与的延线交于F，且AF=BF．：A的数．利切性证角等例：图，已知：为⊙的径，过A作ACAD，延长与过B的切线交于M、．求证：∠MCN=∠MDN．利切性证段等例：图，已知：是⊙直，CO⊥，切⊙ODAD交CO于．求证CD=CE．利切性证直垂例：图，已知：中AB=AC，AB为直径作，交BC于DDE切⊙于D，交AC于E．求证：龙文教育--教育是一项良心工程

DE⊥AC．十、幂理（）相弦理圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积等。即：在⊙中∵AB、CD相于点，PAPC∴

BP

A

（推如弦与直径垂直相么弦的一半是它分直径所成的

C

两条线段的比例中项。即：在⊙中∵径，

B

E

AD2∴（3）切线理：圆外一点引圆的切线和割线，切

线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

D

即：在⊙中∵PA是切，是割线

O∴

PC

C

（割定从外一点引圆的两条割线一点到每条割