第01讲集合的概念及基本关系（3大考点10种解题方法）（解析版）

第01讲集合的概念及基本关系（3大考点10种解题方法）考点考点考向1．集合的概念把某些能够确切指定的对象全体看作一个整体，这个整体就称为一个集合，集合中的每个对象称为该集合的元素。任何一个对象对于某一个集合来说，或是属于该集合，或是不属于该集合。2.集合中元素的三个特征：①．确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．②．互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.③．无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。3.元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“”表示）和不属于（用符号“”表示）．4.集合常用的表示方法有三种：列举法、Venn图、描述法．5.常见的数集及其表示符号名称自然数集(非负整数集)正整数集整数集有理数集实数集表示符号N或ZQR6.集合的分类：有限集，无限集，空集；7.子集与真子集子集：若集合中任何一个元素都属于集合，则集合叫做集合的子集，记作或；真子集：对于集合和，若,且中至少有一个元素不属于，则集合叫做集合的真子集，记作8.相等的集合：对于两个集合和，若，且，则叫做集合与集合相等，记作；【要点注意】空集是任何集合的子集，即，空集是任何非空集合的真子集；任何集合是其自身的子集，即；子集的传递性：若，则；若，则或；相等的集合中的所含元素完全相同；连接元素与集合的符号有：和；连接集合与集合的符号有：，，等；含有个元素的集合的子集共有个,真子集有个。子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.方法方法技巧1.与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．2.(1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．3.集合A中含有n个元素，则有(1)A的子集的个数有2n个．(2)A的非空子集的个数有2n－1个．(3)A的真子集的个数有2n－1个．(4)A的非空真子集的个数有2n－2个．4.空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．考点考点精讲考点一：集合的概念及其表示题型一：集合的确定性1.下面给出的四类对象中，能组成集合的是A．高一某班个子较高的同学 B．比较著名的科学家 C．无限接近于4的实数 D．到一个定点的距离等于定长的点的全体【答案】D【解析】选项A，B，C所描述的对象没有一个明确的标准，故不能构成一个集合，选项D的标准唯一，故能组成集合．故选：D．2.（多选题）考察下列每组对象，能构成集合的是()A.中国各地最美的乡村；B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点；C.不小于3的自然数；D.2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．【答案】BCD【解析】A中“最美”标准不明确，不符合确定性，BCD中的元素标准明确，均可构成集合，故选BCD题型二：集合的互异性3.在集合，，中，的值可以是A．0 B．1 C．2 D．1或2【答案】A【解析】当a＝0时，a2﹣a﹣1＝﹣1，a2﹣2a+2＝2，当a＝1时，a2﹣a﹣1＝﹣1，a2﹣2a+2＝1，当a＝2时，a2﹣a﹣1＝1，a2﹣2a+2＝2，由集合中元素的互异性知：选A．4.若，，，则A． B．0 C．1 D．0或1【答案】B【答案】解：①若a2﹣a﹣1＝﹣1，则a2﹣a＝0，解得a＝0或a＝1，a＝1时，{2，a2﹣a﹣1，a2+1}＝{2，﹣1，2}，舍去，∴a＝0；②若a2+1＝﹣1，则a2＝﹣2，a无实数解；由①②知：a＝0．故选：B．题型三：集合常见表示方法5.（2021·全国高一课时练习）下列研究对象能否构成一个集合？如果能，采用适当的方式表示它．（1）小于的自然数；（2）某班所有个子高的同学；（3）不等式的整数解．【答案】（1）能，集合为；（2）不能，理由见解析；（3）能，集合为.【分析】（1）根据集合元素的确定性、互异性进行判断即可，并表示出相应的集合；（2）根据集合元素的确定性进行判断即可；（3）根据集合元素的确定性、互异性进行判断即可，并表示出相应的集合.【详解】（1）小于的自然数为、、、、，元素确定，所以能构成集合，且集合为；（2）个子高的标准不确定，所以集合元素无法确定，所以不能构成集合；（3）由得，因为为整数，集合元素确定，但集合元素个数为无限个，所以用描述法表示为.题型四：数集及其表示符号6．（2021·全国高一专题练习）填空：集合N表示________集合；集合表示________集合；集合表示________集合.【答案】自然数正整数正实数【分析】利用数集的表示直接求解【详解】集合N表示自然数集合；集合表示正整数集合；集合表示正实数集合，故答案为：自然数，正整数，正实数考点二：元素与集合的关系题型五：元素与集合之间的关系1.（多选题）下列关系中，正确的有（）A．∅∪{0} B． C． D．【答案】AB【解析】选项A:由空集是任何非空集合的真子集可知，本选项是正确的；选项B:是有理数，故是正确的；选项C:所有的整数都是有理数，故有，所以本选项是不正确的；选项D;由空集是任何集合的子集可知，本选项是不正确的，故本题选AB.2.下列关系中，正确的个数为①；②；③；④；⑤；⑥．A．6 B．5 C．4 D．3【思路分析】利用元素与集合的关系及实数集、有理数集、自然数集的性质直接求解．【答案】解：由元素与集合的关系，得：在①中，5∈R，故①正确；在②中，13∈Q，故②正确；在③中，0∈{0}，故③错误；在④中，0∈N在⑤中，π∉Q，故⑤错误；在⑥中，﹣3∈Z，故⑥正确．故选：D．题型六：元素个数问题3.集合，的元素个数为A．4 B．5 C．10 D．12【思路分析】根据题意，集合中的元素满足x是整数，且12x+3是整数．由此列出x与y【解析】由题意，集合{x∈Z|y=12x+3∈Z}中的元素满足x是整数，且x＝﹣15，﹣9，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，1，3，9；此时y的值分别为：﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，﹣6，﹣12，12，6，4，3，3，1，符合条件的x共有12个，故选：D．4.已知集合，2，3，4，，，，，，则集合中的元素个数为A．2 B．3 C．4 D．5【思路分析】通过集合B，利用x∈A，y∈A，x＜y，x+y∈A，求出x的不同值，对应y的值的个数，求出集合B中元素的个数．【解析】因为集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x＜y，x+y∈A}，当x＝1时，y＝2或y＝3或y＝4；当x＝2时y＝3；所以集合B中的元素个数为4．故选：C．【点睛】本题考查集合的元素与集合的关系，考查基本知识的应用．题型七：单元素集合5.若集合A＝{x|x2+ax+b＝x}中，仅有一个元素a，求a、b的值．【答案】解：∵集合A＝{x|x2+ax+b＝x}中，仅有一个元素a，∴a2+a2+b＝a且△＝（a﹣1）2﹣4b＝0解得a＝，b＝．故a、b的值分别为，.题型八：二次函数与集合6.设集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，a∈R}（1）当A中元素个数为1时，求：a和A；（2）当A中元素个数至少为1时，求：a的取值范围；（3）求：A中各元素之和．【思路分析】（1）推导出a＝0或，由此能求出a和A．（2）当A中元素个数至少为1时，a＝0或，由此能求出a的取值范围．（3）当a＝0时，A中元素之和为；当a＜1且a≠0时，A中元素之和为；当a＝1时，A中元素之和为﹣1；当a＞1时，A中无元素．【答案】解：（1）∵集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，a∈R}，A中元素个数为1，∴a＝0或，解得a＝0，A＝{}或a＝1，A＝{﹣1}．当A中元素个数至少为1时，a＝0或，解得a≤1，∴a的取值范围是（﹣∞，1]．（3）当a＝0时，A中元素之和为；当a＜1且a≠0时，A中元素之和为；当a＝1时，A中元素之和为﹣1；当a＞1时，A中无元素．考点三：集合间的基本关系题型九：空集1.如果，则实数的取值范围为 B． C． D．【思路分析】由A＝∅得不等式ax2﹣ax+1＜0的解集是空集，然后利用不等式进行求解．【答案】解：因为A＝{x|ax2﹣ax+1＜0}＝∅，所以不等式ax2﹣ax+1＜0的解集是空集，当a＝0，不等式等价为1＜0，无解，所以a＝0成立．当a≠0时，要使ax2﹣ax+1＜0的解集是空集，则a>0?=综上实数a的取值范围0≤a≤4．2.已知集合,,若,则实数m的取值范围是______.【答案】【解析】由可得：当,则，∴，当,则m应满足:,解得，综上得;∴实数m的取值范围是.故答案为:.题型十：子集与真子集1.已知集合，，，，则A． B．M⊊N C．N⊊M D．M∩N=∅【思路分析】将集合M，N中的表达式形式改为一致，由N的元素都是M的元素，即可得出结论．【答案】M＝{x|x=k4+12，k∈Z}＝{x|x=N＝{x|x=k2+14，k∈Z}＝{x|x=∵k+2（k∈Z）为整数，而2k+1（k∈Z）为奇数，∴集合M、N的关系为N⊊M．故选：C．2.若集合，则实数的取值范围是A． B． C． D．，【解析】∵A＝{x|x2﹣2x+m＝0}＝∅，∴方程x2﹣2x+m＝0无解，即△＝4﹣4m＜0，解得：m＞1，则实数m的范围为（1，+∞），故选：C．【点睛】此题考查了空集的定义，性质及运算，熟练掌握空集的意义是解本题的关键．3.已知集合，若，则______；的子集有______个.【答案】0或8【解析】∵集合，，∴或，解得或.的子集有个.故答案为：0或，8.巩固巩固提升一、单选题1．（2022·全国·高一）下列各对象可以组成集合的是（

）A．与非常接近的全体实数B．北大附中云南实验学校学年度第二学期全体高一学生C．高一年级视力比较好的同学D．高一年级很有才华的老师【答案】B【分析】由集合中元素的性质可直接得到结果.【详解】对于ACD，集合中的元素具有确定性，但ACD中的元素不确定，故不能构成集合，ACD错误；B中的元素满足集合中元素的特点，可以构成集合，B正确.故选：B.2．（2022·全国·高一）若以集合的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（

）A．矩形 B．平行四边形C．梯形 D．菱形【答案】C【分析】根据集合中元素的互异性，可得四个元素互不相等，结合选项，即可求解.【详解】由题意，集合的四个元素为边长构成一个四边形，根据集合中元素的互异性，可得四个元素互不相等，以四个元素为边长构成一个四边形，结合选项，只能为梯形.故选：C.3．（2022·贵州·赫章县教育研究室高一期末）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通过解方程进行求解即可.【详解】因为，或，或，所以，故选：D4．（2022·全国·高一）给出下列四个关系：π∈R，0∉Q，0.7∈N，0∈∅，其中正确的关系个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】根据自然数集、有理数集、空集的含义判断数与集合的关系.【详解】∵R表示实数集，Q表示有理数集，N表示自然数集，∅表示空集，∴π∈R，0∈Q，0.7∉N，0∉∅，∴正确的个数为1.故选:D.5．（2021·山东聊城一中高一期中）若，则的可能取值有（

）A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3【答案】C【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的性质，即可判断的可能取值.【详解】，则，符合题设；时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设；时，则，符合题设；∴或均可以.故选：C6．（2022·全国·高一专题练习）下面五个式子中：①；②；③{a}{a，b}；④；⑤a{b，c，a}；正确的有（

）A．②④⑤ B．②③④⑤ C．②④ D．①⑤【答案】A【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系逐个分析即可得出答案.【详解】中，是集合{a}中的一个元素，，所以错误；空集是任一集合的子集，所以正确；是的子集，所以错误；任何集合是其本身的子集，所以正确；a是的元素，所以正确.故选：A.7．（2021·全国·高一课时练习）下列说法中正确的是（

）A．是不大于3的自然数组成的集合B．由1，3，，，，，组成的集合有7个元素C．和表示相同的集合D．表示空集【答案】C【分析】由自然数集可判断A；由集合元素的互异性可判断B；由集合元素的无序性可判断C；由表示以空集为元素的集合可判断D.【详解】对于A，不大于3的自然数组成的集合是，故A错误；对于B，由，结合集合元素的互异性，可知由1，3，，，，，组成的集合有5个元素，故B错误；对于C，由集合元素的无序性可知两个集合相等，故C正确；对于D，表示空集，表示以空集为元素的集合，故D错误；故选：C二、多选题8．（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）下列说法正确的是（

）A．由所有实数组成集合，由立德中学某班会运动的所有学生组成的集合.均不存在.B．，由5个2组成的集合.则C．，FE，则可能有4个.D．，用列举法表示集合E为.【答案】BC【分析】根据集合之间的关系，以及集合的表示方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：由所有实数组成的集合是空集，由立德中学某班会运动的所有学生组成的集合是，都存在，故错误；对：，由5个2组成的集合，根据集合中元素的互异性，故，故正确；对：，因为FE，故为含有且是的子集，共有4个，故正确；对：，故错误.故选：.9．（2021·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高一阶段练习）下列叙述正确的是（

）A．若，则B．C．，，则D．有个非空子集【答案】BD【分析】A选项：集合与集合的关系是包含与否；B选项：直接判断即可；C选项：点集和数集之间没有关系；D选项：一个集合中有n个元素，则它的非空子集的个数为.【详解】是个集合，所以，A错误；是的一个子集，所以，B正确；是点集，是数集，所以集合与集合没有关系，C错误；的非空子集有，与，共3个，D正确.故选：BD三、填空题10．（2020·四川·双流中学高一阶段练习）已知集合与相等，则实数__________．【答案】2【分析】由已知，两集合相等，可借助集合中元素的的互异性列出方程组，解方程即可完成求解.【详解】因为集合与相等，则，解得．故答案为：2.11．（2021·浙江·玉环中学高一阶段练习）设集合，则用列举法表示集合为______．【答案】【分析】根据题意可得，则，对代入检验，注意集合的元素为坐标．【详解】∵，则可得，则又∵，则当成立，当成立，∴故答案为：．12．（2020·甘肃·永昌县第一高级中学高一阶段练习）下列命题中正确的有________(写出全部正确的序号).①{2，4，6}⊆{2，3，4，5，6}；②{菱形}⊆{矩形}；③{x|x2＝0}⊆{0}；④{(0，1)}⊆{0，1}；⑤{1}∈{0，1，2}；⑥.【答案】①③⑥【分析】根据集合间的基本关系中的子集、真子集的定义及元素与集合的关系即可求解.【详解】对于①，2，4，6，则{2，4，6}⊆{2，3，4，5，6}，故①正确；对于②，菱形不属于矩形，则{菱形}{矩形}，故②不正确；对于③，由，解得，则{x|x2＝0}⊆{0}，故③正确；对于④，，则{(0，1)}⊆{0，1}，故④不正确；对于⑤，集合与集合不能用属于与不属于关系表示，所以{1}∈{0，1，2}不正确；对于⑥，，故⑥正确.故答案为：①③⑥.13．（2022·湖南·高一课时练习）用适当的符号填空：（1）______；

（2）______；（3）R______；

（4）______．【答案】

=

【分析】根据集合子集的定义及集合相等的概念求解.【详解】由集合的子集、集合的相等可知（1），（2）=，（3），（4）故答案为：，=，，14．（2021·浙江省青田县中学高一期中）设全集，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大，最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依次类推.若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第位的子集是___________.【答案】【分析】写出包含元素个数从小到大的子集个数，发现含有小于等于2个元素的子集的个数为16个，含有小于等于3个元素的子集的个数为26个，故判断出第位的子集在含有3个元素的子集中，由于第23位离第26位较近，所以从后面往前找，最终求得结果【详解】不含任何元素的子集个数有1个，含有一个元素的子集个数有5个，含有两个元素的子集个数有10个，含有3个元素的子集个数有10个，因为1+5+10+10=26>23，故排在第位的子集在含有3个元素的子集中，第26位的子集为，第25位的子集为，第24位的子集为，第23位的子集为故答案为：15．（2021·江苏·高一课时练习）有下列命题：①空集是任何集合的真子集；②设，若，则；③.其中，正确的有_________.（填序号）【答案】②③【分析】根据空集不是本身的真子集即可判断①，根据子集的概念即可判断②③.【详解】解：空集不是空集的真子集，故①错误；由子集的概念可得，设，若，则，故②正确；由子集的概念可得，故③正确.故答案为：②③.四、解答题16．（2022·湖南·高一课时练习）只有一个元素的集合，例如，它有两个子集：空集和．两个或三个元素组成的集合各有多少个子集？你能找出一般规律吗？【分析】利用子集的定义及集合的表示即得.【详解】对于两个元素组成的集合，它有4个子集：；对于三个元素组成的集合，它有8个子集：；规律：一般地对于有n个元素的集合，共有个子集.17．（2021·安徽·泾县中学高一阶段练习）已知集合.(1)判断是否属于集合A；(2)若正整数能表示为某个整数的平方，，证明：；(3)若集合，证明：.【答案】(1)属于集合A；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【分析】(1)将2，5，25拆成两个整数平方和即可；(2)由题可设，，由此即可证明；(3)根据m与n的奇偶分类讨论即可.(1)由，可知属于集合A；(2)由题可设，又由，设，有，由，有，故有；(3)①当都为偶数时，不妨设，有，此时为4的倍数，而偶数，此时；②当都为奇数时，不妨设，有，此时为2的倍数，而偶数，此时；③当一奇一偶时，不妨设，有，此时被4整除余1，而集合中的元素被4整除余3，此时.由①②③可知，.18．（2021·全国·高一专题练习）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如{4，6，9}的元素和是4+6+9=19；交替和是9-6+4=7；而{5}的元素和与交替和都是5.（1）写出集合{1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和；（2）已知集合，根据提示解决问题.①求集合所有非空子集的元素和的总和；提示：方法1：，先求出在集合的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合所有非空子集的元素和的总和；方法2：如果我们知道了集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集的元素和的总和为，可以用表示出的非空子集的元素和的总和，递推可求出集合所有非空子集的元素和的总和.②求集合所有非空子集的交替和的总和.【答案】（1）12；（2）①672，②192【分析】（1）写出集合{1，2，3}的非空子集，根据交替和的概念，求得各个交替和，综合即可得答案.（2）①求得集合{1，2，3}所有非空子集中，数字1、2、3各出现的次数，集合{1，2，3，4}所有非空子集中，数字1、2、3、4各出现的次数，根据规律，推测出集合M中各数字出现的次数，即可得答案.②分别求得集合的交替和总和，根据规律，总结出n个元素的交替和总和公式，代入数据，即可得答案.【详解】（1）集合{1，2，3}的非空子集为{1}，{2}，{3}，{2，1}，{3，1}，{3，2}，{3，2，1}，集合{1}，{2}，{3}的交替和分别为1，2，3，集合{2，1}的交替和为2-1=1，集合{3，1}的交替和为3-1=2，集合{3，2}的交替和为3-2=1，集