【教学】《勾股定理的逆定理》示范教学 省赛获奖

第十八章勾股定理18.2第1课时勾股定理的逆定理18.2勾股定理的逆定理学习目标1.掌握勾股定理的逆定理，并能进行简单应用.2.理解勾股数的定义，探索常用勾股数的规律．情境导入此图片是动画缩略图，本动画资源演示古埃及人画直角的方法，引入勾股定理的逆定理，适用于勾股定理的逆定理的教学.若需使用，请插入【数学探究】古埃及人画直角的方法.情境导入据说几千年前的古埃及人就已经知道，在一根绳子上连续打上等距离的13个结，然后用钉子将第1个与第13个结钉在一起，拉紧绳子，再在第4个和第8个结处各钉上一个钉子，这样围成的三角形中最长边所对的角就是直角，你知道为什么吗？探究新知本图片是微课的首页截图，本微课资源通过讲解实例得出勾股定理的逆定理，并通过练习巩固所学的知识点，有利于启发教师教学或学生预习或复习使用.若需使用，请插入微课【知识点解析】勾股定理的逆定理.探究新知1.用圆规、刻度尺作△ABC，使AB=5cm，AC=4cm,BC=3cm,量一量∠C.再画一个三角形，使它的三边长分别是5cm、12cm、13cm，这个三角形有什么特征？2.为什么用上面的三条线段围成的三角形，就一定是直角三角形呢？它们的三边有怎样的关系？探究新知3.探究：在下图中，△ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2.如果△ABC是直角三角形，它应该与直角边是a、b的直角三角形全等.实际情况是这样吗？我们画一个直角三角形A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们重合吗？探究新知（1）、求证：∠C=90°.证明：作△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a（2）、那么A′B′2=a2+b2（勾股定理）又∵a2+b2=c2（已知）∴A′B′2=c2，A′B′=c(A′B′＞0)在△ABC和△A′B′C′中，BC=a=B′C′，CA=b=C′A′，AB=c=A′B′∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)∴∠C=∠C′=90°，∴△ABC是直角三角形.4.用三角形全等的方法证明这个命题.已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，并且a2+b2=c2.探究新知强调说明：（1）勾股定理及其逆定理的区别.（2）勾股定理是直角三角形的性质定理，逆定理是直角三角形的判定定理.勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.例1判断满足下列条件的三角形是否是直角三角形．(1)在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°；(2)在△ABC中，AC＝7，AB＝24，BC＝25；(3)△ABC的三边长a、b、c满足(a＋b)(a－b)＝c2.新知运用利用勾股定理的逆定理判断直角三角形解析：(1)已知两角可以求出另外一个角；(2)使用勾股定理的逆定理验证；(3)将式子变形即可使用勾股定理的逆定理验证．新知运用解：(1)在△ABC中，∵∠A＝20°，∠B＝70°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°，即△ABC是直角三角形；(2)∵AC2＋AB2＝72＋242＝625，BC2＝252＝625，∴AC2＋AB2＝BC2.根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形；(3)∵(a＋b)(a－b)＝c2，∴a2－b2＝c2，即a2＝b2＋c2.根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形．例2如图，点P为等边△ABC内一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．新知运用利用勾股定理的逆定理求角的度数解析：根据已知条件PA＝3，PB＝4，PC＝5，易知PA2＋PB2＝PC2，但PA、PB、PC不在同一个三角形中，可构造边长分别为3、4、5的直角三角形来解决问题．新知运用解：在△ABC所在的平面内，以A为顶点，AC为边在△ABC外作∠DAC＝∠PAB，且AD＝AP.连接DC，PD，则△ADC≌△APB，所以DC＝PB，∠APB＝∠ADC.因为PA＝AD，∠PAD＝∠BAC＝60°，所以△APD为等边三角形．所以PD＝PA＝AD＝3，∠ADP＝60°.又因为DC＝BP＝4，PC＝5，且PD2＋DC2＝32＋42＝52＝PC2，所以△PDC为直角三角形且∠PDC＝90°.所以∠APB＝∠ADC＝∠ADP＋∠PDC＝60°＋90°＝150°.例3如图所示，已知AD是△ABC边BC上的中线，BC＝10cm，AC＝4cm，AD＝3cm，求S△ABC.新知运用利用勾股定理的逆定理解决面积问题解析：由△DAC的三边长，易判定该三角形是直角三角形，再由面积公式求出DC边上的高，进而可求△ABC的面积，也可根据中线等分三角形面积求解．新知运用解：过点A作AE⊥BC交BC于点E.∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BC＝×10＝5(cm)．∵CD2＝52＝25，AD2＋AC2＝32＋42＝25，∴AD2＋AC2＝CD2，∴△DAC是直角三角形．∵S△ADC＝AD·AC＝DC·AE，∴AE＝

(cm)．∴S△ABC＝BC·AE＝12(cm2)．例4如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC＝5，BD＝12，两底AD、BC的和为13.求证：AC⊥BD.新知运用利用勾股定理的逆定理证垂直解析：由于两底的和已知，且对角线长度已知，应先将对角线平移，再寻找解题途径，由勾股定理的逆定理可以判定DB⊥DE，从而证明AC⊥BD.新知运用证明：过D作DE∥AC交BC的延长线于E点．又∵AD∥BC，∴四边形ACED为平行四边形．∴DE＝AC＝5，CE＝AD.在△BDE中，BD＝12，DE＝5，BE＝BC＋CE＝BC＋AD＝13，且52＋122＝132，DE2＋BD2＝BE2，∴△BDE为直角三角形，即∴∠BDE＝90°，则DE⊥BD.又∵DE∥AC，∴AC⊥BD.随堂检测1.一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为_____，此三角形的