设计郑宗汉郑晓明第章近似算法

第15章近似算法0/1背包MMMSTTSP就是货郎担问题第15章近似算法很多问题的输入数据是用测量方法取得的,存在一定的误差,即输入数据是近似的。很多问题的最优解允许有一定程度的近似,只要误差在一个有效范围内即可。采用近似算法可以在很短时间内得到问题的解(与指数时间相比较)。15.1近似算法的性能比1.近似算法的基本要求算法能在问题规模n的多项式时间内完成;算法的近似解满足一定的精度要求。2.近似算法的近似比令表示一最小化问题,I是的一个实例,A是求解的一个近似算法,A(I)是近似解值,OPT是求解的最优算法,OPT(I)是最优解值,则近似算法A的近似比为:

A(I)=A(I)/OPT(I)若是最大化问题,则

A(I)=OPT(I)/A(I)说明:1)对最小化问题,有A(I)OPT(I)

对最大化问题,有A(I)OPT(I)2)近似算法的近似比总大于等于13)近似算法的近似比越小,性能越好A(I)=A(I)/OPT(I)A(I)=OPT(I)/A(I)3.近似算法的相对误差相对误差的定义:相对误差的界(n):近似比与相对误差界的关系:

(n)A(I)-1,即A(I)1+(n)

4.优化问题的近似方案

(approximationscheme)很多难解问题可通过增加近似算法的计算量来改善其性能;优化问题的近似方案把满足A(I,)1+（在误差范围内）的一类近似算法{A|>0}称为优化问题的近似方案,这些算法的性能比率会聚于1。

多项式近似方案

若近似方案中的每个算法A均以输入实例规模的多项式时间运行,则称该近似方案为多项式近似方案(PolynomialApproximationScheme)

多项式近似方案中算法的计算时间不随的减少而增长太快。

完全多项式近似方案若近似方案中每个算法的计算时间是1/和n的多项式,则称该近似方案为完全多项式近似方案(FullyPoly-nomialApproximationScheme){满足三角不等式的旅行商问题}欧几里得旅行商问题:给定赋权无向图G=(V,E),旅行商问题求图中最短Hamilton回路。若图中顶点是平面上的顶点,以任意两顶点之间的欧几里德距离作为它们之间的距离,则为欧几里德旅行商问题。15.2欧几里得旅行商问题算法1.最近邻算法(NN,贪心)kruscal任选一个顶点作为起点,选取最邻近该起点的一个顶点,关联于起点和该顶点的边作为初始旅游通路;令v表示刚加到旅游通路上的新顶点。在不属于该旅游通路上的顶点中选一个最邻近顶点v的顶点v,将关联于v与v的边加到已有旅游通路上;重复执行(2),逐点扩充旅游通路,直到所有顶点都包含在这条旅游通路上;将形成的旅游通路的起点和终点用边联结,形成所求的旅游回路.NN算法:NN=算法2.最小生成树算法(MST)对旅行商问题任意实例对应的赋权图,调用最小生成树算法,求其最小生成树;

primO(n2)或kruscalO(nlogn)复制最小生成树的每条边,即沿每条边来回走两次,形成欧拉图;在这个欧拉图中寻找其欧拉回路;利用“抄近路”方法将欧拉回路变成所求旅游回路(因满足三角不等式,故采用“抄近路”方法不会增加旅游回路的长度)。定理1.对满足三角不等式的旅行商问题的任意实例I,有MST<2证明:因最小生成树长度<OPT(I),

AMST(I)<2*最小生成树长度,

故AMST(I)<2*OPT(I)即MST(I)=AMST(I)/OPT(I)<2MST算法的实现步骤用Prim或Kruskal算法构造给定赋权图的最小生成树;用深度优先搜索算法遍历最小生成树,得到按先序遍历顺序存放的顶点序号（得到序列）,则数组中顺序存放的顶点序号即为欧几里德TSP的近似解。算法3.投MM算法对旅猪行商畏问题衡任意路实例笑对应洒的赋蚀权图,调用障最小天生成搁树算桐法,求其贪最小筝生成恩树T;对最堡小生重成树T中顶霉点的宽度数辉为奇走数的辉顶点鬼集V={设a1,a2,…逢,a2k},调用沿最小猜对集嫂（偶数臭个顶银点的也完全犯图）算豆法,在图G中求复出V的最袄小对看集M;（度数间为奇泽数的点点一忧定是栽偶数核个）。在最晚小生些成树T上添狠加V的最吐小对伟集M,形成菊欧拉位图G;（每个芳点的独度数钻都是箭偶数）在欧擦拉图G中寻钱找其删欧拉挖回路演（找到洒定点催序列）;利用“抄近贼路”方法蚊将欧怠拉回缓路变胃成所铃求的时旅游届回路鸭。定理2.对满业足三游角不溪等式滔的货本郎问题的陷任意谋实例I,有MM<3印/2证明:(1川)最小乓生成虹树T的边对长之举和小于最短穿旅游递回路;护d(磁T)尤<O及PT争(I推)(2猪)因实胖例满冈足三寄角不刘等式,故赋茧权图G中经海过V中顶点的最记短旅愉游回功路长尘度必小睁于经过炎图G中所某有顶易点的蛙最短轧旅游川回路灰长度叫。d(妇ep遍)<玩=1韵/2题op梅t(牢i)在经绿过V中顶项点的严最短猪旅游摸回路草中,每隔洽一条梦边删现除一卧条边,得到V的对起集M,而步中骤(2乐)找出循的是V的最铸小对宁集M。它孕们之阅间的触关系坟为:最小藏对集M中边扛长度防之和对集M中边祥长度已之和V中最眨短回预路长奖度的坚一半实例I中最曲短回冠路长居度的业一半因此,步骤(2崖)中求论出的V中最余小对牧集M的边币长度锣之和不会吩超过实例I中最仁短回园路长藏度之飞和的腿一半;(3肾)欧拉激图G的所纱有边狗长度弄之和小于实例I中最挠短回福路长回度之即和的3/延2倍;(4墓)因满踪蝶足三暂角不裁等式,故采麻用抄含近路喝方法驾在欧该拉图G中找卸出的冤旅游天回路须长度AMM(I晶)小于实例I中最莲短回为路长珠度的3/睛2倍.因此,右AMM(I惧)<鄙3/蚀2O于PT贺(I滔),即MM<3哄/2有些酿问题贱存在野性能竿比会豆聚于1的近惜似算家法,只要搞增加具算法栽的运郑算时银间,可使节算法盯的性探能比幼接近拥于1。15氧.5多项医式近邮似方习案1.壳0/聋1背包伴的多桶项式码近似润方案背包耻问题:输入:捡U=敌{u1,u2,…稀un}（物轿体）,躲V=艺{v1,v2,…乳vn}（质赚量）,杨P=贸{p1,p2,…排pn}（价船值）,C（背污包容矛量）输出:子集SU,使得ui词SviC它,ma璃xui违Spi按pi/vi降序枕排序,并依病次填浑入背识包。分数罩背包普问题:最优佛解0/跌1背包云问题:近似龄解0/犁1背包伟问题辰贪婪累算法演的性筑能比弦可能父无界。例如,候U=各{u1,u2},继v1=1乎,辰p1=2勉,v2=p2=C>犁2算法炮所求兵解为{u1},最优拍解为{u2}C可能船任意级大,故性渐能比休可能越无界.对算匀法做搞简单礼修改筹可使友性能帆比为2.修改叠算法胃的步快骤:对物咸体按pi/vi降序爆排序,并依聚次装宝入背爪包,得到街价值徐为pr的解;挑选一个膏价值败最大的物渴体装绍入背弄包,得到劝价值地为ps;选择pr和ps中较言大者盐作为果输出孝。算法Kn凯ap浙sa泪ck孙-P讽ro忍bl汗em近似兰算法输入:宣U=唤{u1,u2,…君un},守V=眉{v1,v2,…苦,vn},P=站{p1,p2,…年,pn},脂C输出:价值矩最大梨的子推集SU排序聚使p1/v1p2/v2…编pn/vni0;v0;p0;S{}戒;蕉//初始细化wh翁il梯ei<揉nan碑dv<国C旦{if关vi杠C-甜v{SS丹{刮ui};vv访+vi;pp倍+pi};ii辈+1落;}令S={雅us},其中us为价歇值最争大物孤体;Ifp巩psre晃tu今rn当S狐;孔el冈se径r千et滔ur命n卡S子.0/盼1背包唉问题丛的多辜项式乏近似椒方案算法键步骤:n个物蹦体按价值聪体积馆比递减斧排序;k=朴1/;i=界0;fo瓣r(投i=苏0;酱i<槐=k命;i抢++林)fo然r(测j=花1;捡j<番=Cni;j书++步)2)j=罗1;3)从n个物弓体中熄选取i个物交体放进漠背包,这种酬选择克共有Cni组,选择第j组i个物馒体,其余聪物体太的选侵择按骡贪心笨算法以执行;令结蚂果背鞠包中枕物体窄总价纸值为vj,保存美背包纱中物盼体序尝号的仇数组自为kpj;4)若j<迫Cni,j在=j仓+1于,则转3)形,否则乎转5)逗;5)从Cni组结妨果中,选取vj最大镜的一碑组结艳果,令其会价值资为svi,保存逆相应翁背包快中物卵体序名号的怒数组棕为sk缘瑞pi;6)秋i猛=i双+1封;若ik,则转2)典,否则励转7)候;7)从k+扑1组结记果中,选取svi最大娱的一晴组结钞果,令其帐价值兼为v,保存洒相应蚂背包弃中物宁体序富号的广数组显为kp犁,则v及kp为算巷法的统最终扣输出即结果爽。多项应式近暑似方沟案的性能患分析:定理15秒.4对某旧个k1,令=1慌/k,算法留的运视行时糊间为O(knk+手1),性能娱比为1+。证明:1)时间致复杂碎性的杏证明对每失个确贱定的i,共需哗进行Cni组选哨择,执行Cni次kn肌ap停sa昆ck睁_r树ee腊dy算法;秋i由0递增模到k,共需普执行东的循恼环次桂数为:物体蔽排序奸在算弃法第令一步岁完成,执行性时无以需重胆复执驼行;每一壮轮循顿环中,把物款体装隶入背雹包的萌工作都量为O(任n)送;因此,算法珠的总悔运行富时间伐为O(职knk+育1)。2)性能必比的毯证明令I是背奶包问稠题的还一个钢实例,X是相陵应于最优卡解的物尺体集削合。有跃两种娇情况:若|X赤|k,则算法歼第3步Cni组选此择中衡必有屿一组买选择滚是最失优解敞（遍裙历了缓所有水种情棚况）引。此吐时,算法足的性鲜能比振为1。若|X醒|>k,令Y=拥{u1,u2,…证,uk}是X中k个价披值最箱大的结物体缸集合,令Z=揪{uk+盗1,薪uk+魂2,岔…,恢ur}是X中其余防物体匀的集智合。平均翠数：库当i>恩k+痛1时，篮平均乱值一厦直在肤减少假定葡对满猎足k+度1ir-