高考数学理科

第8课时立体几何中的向量方法(Ⅱ) ——空间角与距离(理科)(一)考纲点击 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．(二)命题趋势1．从考查内容看，本节是高考的必考内容，主要考查利用空间向量的坐标运算解决求空间角(异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角)及距离等问题．2．从考查形式看，主要以解答题的形式出现，侧重于考查空间向量的应用，属中档题．1．空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cosθ＝|cos〈m1，m2〉|.对点演练(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成角θ满足sinθ＝|cos〈m，n〉|.如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，那么，这条斜线与平面所成的角是 ()A．90° B．30°C．45° D．60°对点演练2°如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．对点演练对点演练1．利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α、β的向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补．2．求点到平面距离的方法：(1)垂面法：借助面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键；(2)等体积法，转化为求三棱锥的高；(3)等价转移法；(4)法向量法．(2秀01坟2·上海)如图，票在四眨棱锥P－AB孝CD中，带底面AB搁CD是矩渗形，PA⊥底面AB狗CD，E是PC的中帝点．剂已知AB＝2，AD＝2，PA＝2.求：(1乎)三角桥形PC忽D的面讨积；(2食)异面偷直线BC与AE所成腊的角贼的大购小．题型丛一挡求异膏面直丑线所冠成的旧角图(1孝)【归纳播提升】异面钱直线浆所成座角范协围是(0赶°，90蜓°]，若劝异面芝直线a，b的方场向向归量为m，n，异攀面直栗线a，b所成虽角为θ，则co雄sθ＝|co乏s〈m，n〉|.解题痕过程骄是：(1对)建系亦；(2口)求点挡坐标庸；(3右)表示硬向量浪；(4魄)计算愿．证明桨垂直比，只婶须验役数量别积是恋否为0.1．如钩图所膀示，引在长疮方体AB糟CD－A1B1C1D1中，沙已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2.E、F分别亮是线屈段AB、BC上的绿点，薄且EB＝BF＝1.求直晃线EC1与FD1所成炊的角嗽的余情弦值挡．针对派训练(2焰01浪3·全国景新课朋标Ⅰ)如图水，三财棱柱AB伤C－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BA挡A1＝60秤°.(1煌)证明串：AB⊥A1C；(2骡)若平合面AB浓C⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求抓直线A1C与平纤面BB1C1C所成际角的耗正弦北值．题型煌二课求直擦线与梨平面街所成建的角【解】(1脚)证明睁：如努图，拒取AB的中执点O，连滨接OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所练以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BA导A1＝60鉴°，故△AA1B为等芦边三逗角形扰，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所况以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.【归纳技提升】(1龙)分别求锹出斜蜡线和症它所督在平怎面内拳的射学影直形线的梨方向晒向量脖，转并化为考求两忧个方背向向种量的掩夹角(或其匹补角)．(2胳)通过曾平面倚的法艇向量原来求闯，即汪求出之斜线菜的方矿向向丛量与逮平面旬的法刮向量泊所夹表的锐庄角，步取其着余角前就是处斜线冷和平右面所吼成的那角．针对脆训练题型绝三肉求二陡面角【解】(1冠)证明朱：连误结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点千．又D是AB中点征，连服结DF，则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所冈以BC1∥平面A1CD.【归纳匹提升】二面角土的两持种常生用求感解方朵法：1．分撞别求锈出二堡面角好的两胞个面朱所在塘平面索的法胞向量打，然太后通忽过两净个平栋面的因法向罢量的谁夹角脂得到而二面芦角的茎大小李，但葬要注掠意结足合实拒际图董形判糕断所看求角胃为锐编角还暗是钝研角；2．分蜘别在缺二面役角的愈两个早平面区内找锣到与铲棱垂杰直且欢以垂直足为恭起点晌的两趴个向棉量，节则这精两个衫向量宣的夹煮角的态大小春就是狼二面膀角的眼大小坟．3．如运图，PA⊥平面AB昆C，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝，亩则二胳面角A—PB—C的余乞弦值关大小告为__浸__聚__做__．针对奴训练题型织四鼠求空杯间距尝离针对头训练【典例】(满分12分)如图，赛已知猪在长鞠方体AB肚CD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝1，直拥线BD与平票面AA1B1B所成书的角呢为30绣°，AE垂直BD于点E，F为A1B1的中坛点．满分太指导吗：利仔用空往间向孩量求邻角【失分龙警示】(1额)本题易坝错点绿是在饶建立探坐标块系时