高三数学抽象函数与解题策略课件

抽象函数与解题策略2023/5/2312023/5/232是奇函数2023/5/233那些没有给出函数的具体解析式，只给出一些特殊条件或特征的函数称为抽象函数。抽象函数的定义：2023/5/234；抽象函数往往有它所对应的具体的函数模型。例如，对应的是指数函数对应的是对数函数等等。当然，也有的时候并没有我们比较熟悉的函数模型，而是新定义的一种函数。2023/5/235抽象函数也可以与我们熟悉的函数，如指数函数、对数函数等一样，有自己的性质，如奇偶性、周期性、单调性等。有自己的特殊点，有自己的对称性，能画出大致图像。

2023/5/236面对抽象函数数学题，我们的解题思路一般不外乎①合理赋值，化抽象为具体；②作恒等变形，找出该函数规律性、特征性特点；③利用函数的性质；④分类讨论，归纳出抽象函数的实质问题；⑤构造与联想等。2023/5/237策略一：赋予特殊值例题1、设函数（，且任意实数满足（1）求证：；（2）求证：为偶函数；（3）已知在上为增函数，解不等式），对2023/5/238证明：（1）令令2023/5/239（2）令令，即为偶函数。2023/5/2310（3）又或由（2）知f(x)为偶函数，又在上为增函数2023/5/2311或2023/5/2312例题2、设定义在R上且对任意的有，求证：是周期函数，并找出它的一个周期。策略二：恒等变形2023/5/2313分析：这同样是没有给出函数表达式的（T为非零常数）则为周期函数，抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出且周期为T。2023/5/2314证明：已知

得2023/5/2315由（3）得由（3）和（4）得上式对任意都成立，因此是周期函数，且周期为6。20络23捞/5讯/1炼816例题3、f(x)是定义在R上的函数，且若f(1)=2，求f(2005)的值。，（f(x)≠0，1）。20侵23炸/5部/1器817解：已知20评23餐/5耻/1监818解：∴f(x)是以4为周期的周函数，则20投23里/5户/1候819例题4、设f(x)是定义在实数集R上的函数，；求证：f(x)是奇函数，又是周期函数。且满足下列关系：。20掩23嗓/5驻/1木820证明盆：已知又（1）20浮23霞/5扣/1音821证明喝：（2）即f(增x)是以40为周湿期的远周期嘴函数20衣23圾/5疲/1竿822证明殿：由（1）式由（2）式综上澡所述允，f(涂x)是奇抛函数殖，又捉是周渴期函挤数。即f(x)是奇函数20成23忆/5骂/1税823例题5、已河知函脊数f(绣x)对于x>葵0有意慨义，且满说足条谱件f(稀2)累=1趴,f竟(x宝y)届=f(匪x)愈+f灾(y),f(她x)是非龙减函昌数。漫（1）证甜明f(某1)姨=0；（2）若f(嫌x)肺+f市(x－2)游≥2成立挥，求x的取值扒范围筐。策略锡三：位利用静函数奏的性堪质20首23什/5饿/1自824解：(1阻)令x=卫2,绝y=建1，则f(脏2×戚1)狼=f挥(2比)+纲f(解1)(2百)由已泪知f(百x)蛮+f晨(x－2)茎=f该(x2－2x去)咸≥2，又2=诉1+烂1=泳f(赤2)亭+皇f(仁2)轮=f绿(4徐)

f(1)=0又f(蚁x)为非疤减的改函数f(x2－2x)≥f(4)20锋23胶/5箱/1宪825解：x2－2x≥4即x2－2x－4≥0x≥1+或x≤1－已知f(扫x)对x>溉0有意耽义，凝且x－2>馒0

x>220叉23警/5禽/1童826策略者四：非分类诞讨论例题6、（新）设f(x)是定义在R上的函数，时，，且对任意的实数求证：对于任意，都有。当x、y，均有20史23旷/5垒/1惑827证明沾：令若，令与已知矛盾20妹23策/5额/1洽828当时，综上所述，对于任意，都有。20锻23残/5佣/1什829例题7、若对任意实数x和常数a都有成立，试判断f(x)是不是周期函数？为什么？策略伞五：虾构造落与联班想20样23厅/5门/1恭830看作是的一个原型，而的周期是的四倍，故可猜想4a是的一个周期可以把分析：观察已知的抽象关系式，可以联想到极其相似它与20圆23递/5乒/1丢831证明弃：20络23腔/5拿/1吼832即f(东x)是周利期函臭数，全且4a是它芦的一院个周掌期。20勺23悲/5属/1茫833例题8、对每一实数对x、y，函数f(t)满足。若，试求满足的整数t的个数。20行23锡/5愚/1对834解：令，得令，得，又令，得20柔23杨/5毕/1昏835令，得（※）即当y为正整数时，由，20脏23截/5叶/1辱836，即对于一切大于1的正数t恒有又由（※）式下证明，当整数时，恒有：20讯23脊/5皮/1做837由（※）式即同理可得20催23亚/5立/1绣838相加，即当整数时，恒有综上所述，满足的整数只有20浆23映/5拼/1毙839综合学例题风解析例题9、设函数定义在R上，当时，，且对任意，有，当时。（1）证明20萍23仰/5捆/1怎840（2）证明：在R上是增函数；若，求满足的条件。，（3）设20功23言/5带/1播841解：（1）令得或，当时，有，这与当时，矛盾，。若20小23城/5左/1郑842（2），则，由已知得，由若时，由20于23危/5额/1挑84320喘23繁/5码/1钳844（3）由得由得（2）20消23菠/5钢/1随845从（1）、（2）中消去得因为

即20盯23冤/5与/1期846例题10、已知定义在R上的函数（1）值域为，且当时，；，均满足：试回答下列问题：满足：（2）对于定义域内任意的实数20碗23测/5台/1轮847（1）试求的值；（2）判断并证明函数的单调性；（3）若函数存在反函数，求证：20并23语/5李/1孔848解：（1）在中，令，即20扔23近/5炉/1扇849解：函数的值域为

。也即：20塔23豪/5屑/1叙850解：在中，令，得函数为奇函数（2）由（1）知，20盒23凤/5传/1繁851解：（※）式20盐23蓬/5镰/1概852解：，且，则且函数在R上单调递减。20正23华/5镜/1零853解：（3）由（2）知函数在R上单调递减，则函数必存在反函数，则也为奇函数，且在上单调递减，且当时，20享23到/5穴/1奋854解：由（2）中祖（※）式你得20冈23僻/5背/1犯855解：令，则，则上式可改写为:不难验证：对于任意的上式都成立。（根据一一对应）20响23乏/5俗/1纹856解：20蒸23雨/5掀/1谅857解：20勺23诱/5申/1妈858例题11、设是定义在区间上的函数，且满足条件：(i)(ii)对任意的，都有。20缘瑞23沈/5圾/1喷859（1）证明：对任意的，都有（2）证明：对任意的，都有（3）在区间上是否存在满足题设，且使得；；条件的奇函数20慨23肢/5像/1费860若存蒜在，桑请举只一例才；若惯不存虏在，执请说里明理炕由。20糟23忧/5狠/1资861已知对任意的，有，（1）证骑明：20彼23脏/5括/1离862（2）证着明：时，对任意的，，命题成立；当时，由可知，不妨设当20闪23晃/5膏/1砖863（2）证闷明：都有综上所述，对任意的，都有20喘23夏