2022-2023学年上海市第三女子中学高二下学期期中数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat10页2022-2023学年上海市第三女子中学高二下学期期中数学试题一、填空题1．直线的倾斜角为___________【答案】/【分析】根据直线的方程可得出直线的倾斜角.【详解】直线垂直于轴，故直线的倾斜角为.故答案为：.2．双曲线的虚轴长为________.【答案】【分析】根据双曲线的方程求出，进而求解结论．【详解】双曲线的方程为：，可得，双曲线的虚轴长为：．故答案为：．3．已知经过点的直线的一个法向量为，则的点法式方程为________.【答案】【分析】由直线方程的点法式求解即可.【详解】∵直线过点，一个法向量为，∴直线的点法式方程为.故答案为：.4．圆的圆心坐标是________.【答案】【分析】化圆的一般方程为标准方程，即可求得圆心坐标．【详解】由，得，可得圆心坐标为．故答案为：．5．椭圆的焦点坐标为________.【答案】【分析】通过椭圆的方程可判断焦点在轴上，并由计算即可得出结论.【详解】椭圆，则，则椭圆的焦点在轴上，，所以焦点坐标为.故答案为：.6．直线与夹角的余弦值是___________.【答案】【分析】分别设的倾斜角为，再根据斜率与倾斜角的关系，结合两角差的正切公式与正切和余弦的关系求解即可【详解】设的倾斜角为，的夹角为，则，，故，故夹角的余弦值故答案为：7．一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的离心率为________.【答案】【解析】根据已知可知：，再代入离心率公式即可.【详解】由题知：，即..故答案为：【点睛】本题主要考查离心率的求法，根据题意找到关系式为解题的关键，属于简单题.8．直线（）必过点________.【答案】【分析】将直线方程化为形式求解即可.【详解】直线方程（）可化为，（），∴由，解得，∴直线（）必过定点.故答案为：.9．若圆被直线所截得的弦长为，则________【答案】【解析】求出圆心到直线的距离，由圆的半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形可得答案.【详解】圆心，半径为1，圆心到直线的距离为，解得，，因为，所以，解得，符合题意.故答案为：.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，关键点是利用由圆的半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形解题，判断直线和圆的位置关系有①几何法，就是利用圆心到直线的距离和半径大小；②代数法，就是利用圆的方程和直线方程联立后的判别式求解.10．P为椭圆上一点，为左右焦点，若，则的面积为_______.【答案】【分析】由椭圆定义得到，结合余弦定理得到，利用三角形面积公式求出答案.【详解】由椭圆方程可知，，∵P点在椭圆上，为椭圆的左右焦点，∴，设，在中，由余弦定理得：，则，解得：，所以的面积为．故答案为：．11．已知焦点在轴上的椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，则正数________.【答案】【分析】将直线的方程与椭圆的方程组成方程组，消去得到关于的方程，再根据根与系数的关系求得的中点的横坐标的表达式，最后根据联立的方程求出即可．【详解】由题意焦点在轴上的椭圆，把直线方程代入椭圆方程整理得．设弦的两个端点为,，,，则由根与系数的关系可得，，椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，由中点坐标公式可得，，，可得，．故答案为：．12．已知点满足方程，则使得恒成立的实数的取值范围是________.【答案】【分析】对，的取值范围分类讨论，去绝对值后，得到方程所表示的曲线，再通过的几何意义求解即可.【详解】当，时，，，原方程可化为：，当，时，，，原方程可化为：，当，时，，，原方程可化为：，当，时，，，原方程可化为，显然不成立，∴如图，点轨迹，是由椭圆的，部分，双曲线的，部分，和双曲线的，部分所组成的曲线.如图，取直线：，双曲线与的渐近线均为，其中，渐近线即直线到直线的距离，如图，∵在曲线上，∴到直线的距离为，∴，∴若不等式恒成立，则，∴使得恒成立的实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题解题的两个关键步骤：一是通过分类讨论，将曲线方程去绝对值；二是通过几何意义（点到直线距离），求出使不等式成立的实数的取值范围.二、单选题13．“两条直线的斜率乘积为”是“两条直线互相垂直”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】根据两直线垂直与斜率的关系判断即可得到结果.【详解】当两条直线斜率乘积为时，两条直线互相垂直，充分性成立；当两条直线互相垂直时，其中一条直线可能斜率不存在，必要性不成立；“两条直线的斜率乘积为”是“两条直线互相垂直”的充分不必要条件.故选：A.14．椭圆和（

）A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．顶点相同【答案】C【分析】由椭圆的简单几何性质求解即可.【详解】对于椭圆，，，，∴，，，∴长轴长，短轴长，焦距，对于椭圆，，，，∴，，，∴长轴长，短轴长，焦距，∴椭圆和的长轴长和短轴长均不相等，故顶点不相同，焦距相等.故选：C.15．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y＋b＝0和曲线bx2＋ay2＝ab的图形是A． B．C． D．【答案】B【详解】对于A:由直线知：表示双曲线；所以A错误；对于B:由直线知：即表示焦点在x轴上的双曲线．B正确；对于C:由直线知：表示焦点在x轴或y轴上的椭圆；C错误；对于D:由直线知：即表示焦点在x轴上的双曲线．D错误.故选B16．已知双曲线的左焦点为，左、右顶点为、，为双曲线上任意一点，则分别以线段，为直径的两个圆的位置关系为（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．以上情况都有可能【答案】B【详解】如图所示，若在双曲线左支，则，即圆心距为半径之和，两圆外切；若在双曲线右支，则，两圆内切，所以两圆相切，故选．三、解答题17．已知直线与直线平行，并且直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的一般式方程.【答案】或【解析】设所求直线方程为，求出直线与两坐标轴的交点坐标，结合已知条件可得出关于的方程，进而可求得直线的方程.【详解】由于直线与直线平行，设直线的方程为，在直线的方程中，令，可得；令，可得.所以，直线交轴于点，交轴于点.由于直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则，解得.因此，直线的方程为或.18．若圆C经过点和，且圆心C在直线上，求圆C的方程.【答案】【详解】因为,AB中点为(0，－4)，所以AB中垂线方程为y+4=－2x，即2x+y+4=0，解方程组得所以圆心C为(－1，－2).根据两点间的距离公式，得半径r=,因此，所求的圆C的方程为.19．已知圆，动直线过点.(1)当直线与圆相切时，求直线的方程(2)若直线与圆相交于两点，求中点的轨迹方程.【答案】(1)或(2)且【分析】（1）讨论直线l斜率不存在易得直线l为，再根据两条切线关于CP对称，结合倾斜角的关系､二倍角正切公式求得另一条切线的斜率为，即可写出切线方程.（2）设，根据，应用两点距离公式化简得到M的轨迹方程，注意x､y的范围.【详解】（1）当直线l斜率不存在时，显然直线l与圆C相切且切点为，所以，对于另一条切线，若切点为D，则，又所以，由图知，直线DP的倾斜角的补角与互余，所以直线DP的斜率为，故另一条切线方程为，即，综上，直线l的方程为或.（2）由（1）知直线与圆相交于､两点，则斜率必存在，设，则，所以，整理得，当直线与圆相切于点时，直线的斜率为，其方程为：，由，得，即切点，对于的轨迹方程，当时，，所以，且，综上，的轨迹方程为且，20．已知双曲线：的离心率为；(1)求此双曲线的渐近线方程；(2)若经过点的直线与双曲线的右支交于不同两点，，求线段的中垂线在轴上的截距的取值范围；【答案】(1)(2)【分析】（1）求出右焦点到渐近线的距离，得出圆的方程；（2）设直线的方