高二数学选修课件：两个向量的数量积

1．知识与技能掌握空间两个向量的夹角，两个向量互相垂直的概念及表示方法．掌握异面直线，两条异面直线所成的角，两条异面直线互相垂直的概念．掌握两个向量的数量积的概念，性质和计算方法以及运算律．能够初步在几何体中求两个向量的夹角及数量积的运算和有关简单问题的证明．2．过程与方法培养学生推理论证、逻辑思维能力、空间想象和几何直观能力．3．情感态度与价值观让学生感悟推理、运算在探索和发现中的作用，提高学生数学素养和学习兴趣。重点：理解掌握两个向量的夹角，异面直线的概念，两个向量的数量积的概念，理解两个向量的数量积的性质和计算方法运算律以及应用．难点：两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转化为向量问题计算．由于空间任意两个向量都可转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表明符号及向量的模的概念和表示的符号等，都与平面向量相同．要正确理解向量夹角的定义，两向量的夹角指从同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因对向量夹角定义理解不清而造成失误较多．两个向量的夹角的注意问题：①<a，b>＝<b，a>；②<a，b>与表示点的符号(a，b)不同；③<－a，b>＝<a，－b>＝π－<a，b>.空间两个向量的数量积的意义，与平面上两个向量的数量积的意义实际上是一样的，只要能理解任意两个向量共面，就可把空间两个向量的数量积转化为平面内两个向量的数量积．很显然，当<a,b>＝0时，a·b＝|a|·|b|，当<a，b>为锐角时，a·b>0，当<a，b>为钝角时，a·b<0，当<a，b>＝π时，a·b＝－|a|·|b|.空间两个向量的数量积的性质．与平面上两个向量的数量积一样，空间两个向量的数量积也具有如下性质．a．a·e＝|a|cos<a，e>b．a⊥b⇔a·b＝0c．|a|2＝a·ad．|a·b|≤|a||b|

两个向量数量积的性质的作用：性质a.可以帮助我们求两个向量的夹角．性质b.用于判断空间两个向量的垂直．性质c.主要用于对向量模的计算．性质d.主要用于不等式的证明．通常规定0°≤<a，b>≤180°且<a，b>＝<b，a>如果<a，b>＝90°，则称________________，记作________．2．两冠个向吓量一坡定共滩面．先但在自作向抓量a，b时，打它们允的基执线可他能不瓶同在狐任一主平面吨内，枪我们麻把不宋同在良任一嘴平面窝内的疏两条淹直线记叫做__伏__手__蝇__．把堡异面喘直线切平移津到一蛇个平仆面内纠，这添时两华条直仙线的围夹角(锐角米或直景角)叫做__逗__庭__睡__，如月果所钱成的底角是予直角授，则桐称两薯条异衫面直粒线__午__奥__猜__．3．把覆平面骂向量填的数胖量积a·甘b＝|a||b|c片os<a，b>也叫献做两森个空磨间向焰量a，b的__华__疫__锹__爸__模__迟__泽__．4．两鸦个向雹量的夺数量垮积是系一个储实数窗，空貌间两使个向扑量的幅数量丈积也回具有领如下途性质蓬：(1绒)a·摩e＝__胖__刷__片__治__奥__；(2蝴)a⊥b⇔__浸__禽__糖__；(3症)|a|2＝__税__询__为__；(4脱)|a·爽b|≤|a||b|.空间膛两个愤向量众的数潮量积滋同样景满足孕如下炉运算鞠律：(1捏)(λa)·b＝__吐__芬__则__弄__予__识__支__(2歪)a·钳b＝__厉__盏__淘__；(交换轿律)(3底)(a＋b)·c＝__猾__胸__社__瓦__植__草__境__萄(分配位律)．[答案]1.向量a与b的夹浪角<a，b>a与b互相姜垂直a⊥b2．异更面直善线鼠两条鉴异面鸽直线经所成参的角挨互矩相垂达直3．数刘量积(或内咸积)4．(1偿)|a|c屡os鸟<a，e>(2欧)a·举b＝0(3溜)a·衡a(1宪)λ(a·蝇b)(2厉)b·级a(3秒)a·菠c＋b·蜻c[例1]设θ＝〈a，b〉＝12情0°，|a|＝3，|b|＝4，求念：(1泊)a·概b；(2管)(站3a－2b)·逆(a＋2b)．[分析]利用年数量腔积公步式进纳行运宾算．[解析](1摩)∵a·信b＝|a||b|c铲os〈a，b〉，∴a·半b＝3×4×co走s1辟20劫°＝－6.(2疑)∵(3a－2b)·茄(a＋2b)＝3|a|2＋4a·圈b－4|b|2＝3|a|2＋4|a||b|c视os锐12槽0°－4|b|2，向量a、b之间抢的夹婚角为30嚼°，且|a|＝3，|b|＝4，求a·严b，a2，b2，(a＋2b)·砖(a－b)．[例2]如图忠所示寒，已现知空令间四颂边形AB焰CD的每肥条边骨和对星角线吗长都立等于a，点E、F、G分别碌是AB、AD、DC的中后点．皆求下肉列向疲量的影数量拌积：将本南例中骂每条铺边和寻对角跃线长叫都等柜于a改为1，去掀掉中宵点G，计迹算：[例3]如图唱所示熊，在带正方鸦体AB党CD－A1B1C1D1中，开求异仁面直菌线A1B与AC所成水的角造．[说明]求异王面直狠线所淡成的裂角的赔关键汽是求伍异面巡寿直线聪上两红向量票的数享量积休，而粮要求将两向饥量的最数量够积，棕必须春把所僻求向斯量用呜空间无的一盖组基杂向量干来表测示．[例4]已知趋空间圈四边厚形OA威BC中，∠AO员B＝∠BO哈C＝∠AO墙C，且OA＝OB＝OC.M、N分别苹是OA、BC的中绪点，G是MN的中米点，兰求证闭：OG⊥BC.[说明]a⊥b⇔a·扣b＝0，事戒实上膀，用向桃量法寸证线购线垂孩直问住题是女向量品的数盗量积专的应锤用．已知待：在讯空间仪四边汗形OA拌BC中(如图)，OA⊥BC，OB⊥AC，求粒证：OC⊥AB.[分析]可直盲接运理用|a|2＝a·亏a.[解析]|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·功b＋a·搬c＋b·砌c)[说明]公式岩：(a＋b＋c)·幻玉(a＋b＋c)＝(a＋b＋c)2＝|a|2＋|b2|＋|c2|＋2a·c＋2a·b＋2b·妹c，应比牢记赏并能蔬熟练灯的应巴用．已知窗平行重六面奸体AB绿CD－A1B1C1D1中，速以顶闹点A为端镜点的浊三条千棱长化都是1，且聪两两倘夹角肥为60它°，则AC1的长劫是多味少？[例6]如图法，在极平行沉四边脊形AB魄CD中，AB＝AC＝1，∠AC壮D＝90授°，将云它沿芹对角附线AC折起击，使AB与CD成60友°角，咐求B、D间的拔距离丝式．[辨析]把两哭点间仍距离移表示钢出来纯，由a2＝|a|2求距篮离，颠但应踩注意限向量赵的角毁，三燃角形惕内角达的区衔别．一、守选择奸题1．下左列式耍子中想正确如的是()A．|a|·a＝a2B．(a·饼b)2＝a2·b2C．(a·蚕b)c＝a(b·颜c)D．|a·捕b|≤|a滥||素b|[答案]D[解析]∵a·允b＝|a||b|c圾osθ，∴|a·蛋b|＝|a||b||骗co船sθ|≤|a|·昼|b|.故选D.[答案]B[解析]由向寻量夹筑角定争义知帖选B.3．已恳知向翁量a，b，c，两阶两夹口角为60躬°，其很模都那为1，则|a－b＋2c|＝()[答案]A[解析]∵|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60扬°，二、嗽填空挽题4．已努知e1、