等差数列典型例题及分析

nn第四章

数列[例已数列1，4，，，3n+7,中后一项比前一项大3.（）指出这个数列的通项公式）出1+4+…+（3n）是该数列的前几项之.正解）=3n－(2)1+4+…+（3n－）该数列前n－1项的和[例2]已数列

n

项和为①

S2n

2

②

Snn

2

n求数列

。n正：①

n

时，

1当n时an

2

2

n4经检验

时

a

也适合a4②当

n

时，

1当n时an(∴(n2)n

2

n

2

n2[例已知差数列

项和记为S，=10，=70，则S等于。10ad10正：由题意：3070

得

2a,d515代入得＝

40

392

。[例5]已知一个等差数列

=25－5n，求数列n

项和(45)2正：)(2

50,n[例6]已知一个等差数列的前10的和是310，前20项和是1220，由此可以确定求其前

项和的公式吗？[例已：

an

1

（

lg0.3010

）

（1）问前多少项之和为8

nn最

大？（）多少项之和的绝对值最小？解（1）

a1024)20a1024lg20

10241024nn2lg2∴

3402（）

n

nn2

(0当

或

近于时和绝对值最小令：

即1024+

n2

(得：

n

2048

∵

∴

n6805[例8]项数是

2

的等差数列中间两项为

a和n

n

是方程

xq

的两根求此数列的和

2n

是方程

2(lgnlg2)n)

0

的根。（

）证：题意

an

n

∵

a1

2

aan

n

p

∴

2n

2n()1n2

np∵

lgxn22nlg)2∴

xnp)

2

∴

x

2

（获证四典习导1．已知

aa1n

n

2

n

，求

及

n

。2．设

a

n(

，求证：

n((a2

2

。3.求和:4.求：

11111(100222(225.已

a,b,c

依次成等差数列，求证：

a

2

bcb

2

acc

2

依次成等差数列6.在差数列

a40513

，则

aaa8

（A．72B．60C．D368

3得3得7.已

列且满足

an,(mn)mn

，则

等于________。8.已数列a

成等差数列，且

1113a,a6

，求

的值。§等数的项求三经例导例1]知数列

项和=aq（n

aq

为非零常数

n

A.等数列B.等数列C.既是等差数列，也不是等比列D.既等差数列，又是等比数列正：当n＝时，a=S＝当n>1时，ann

n

(qaan

q

（常数）但

a2a1

q列，也不是等比数列，选C。n例2]知等比数列

n

项记为S，

=10，S=70，则S等.错：=S·.q＝7，＝

，

S=·=7错因：是将等比数列中S,SSSS成等比数列误解为SS,S成比数列正：由题意：

(110)(1)

a17010或q

去)

，

S=

a11

.例3]和：a+a+a++a.错：a+a+a+…+a＝

11

.错因：是（）数列a｝不一定等比数列，不能直接套用等比数列前n项公式（2）用8

adadqadadq等比数列前n项公式应讨论q是等于1.正：当a＝时，a+a+a+…＝0;当a＝1时a+a+a

+…+a

＝当a

1时a+a

+a

+…＝

11

.例4]设

a,c,

均为非零实数，

2

2

2

2

2

0

，求证：

a,b,c

成等比数列且公比为

d

。证：证一关于

的二次方程

2

有实根，∴

4

，∴

b

2

则必有：

b

2

0

，即

b

2

，∴非零实数

a,b,c

成等比数列设公比为

，则

b

，

c

代入

2

2

q

2

2

aaq

2

da

2

q

2

2

q

4

0∵

2

a

2

0，d

2

q

2

，即d

。证二∵

20∴

aabd2b2∴

0，∴b，∵

a,c,

非零，∴

ba

。例5]在等数列

n

b

，求该数列前7项积。解：

bbbbb11

26

35

4∵

b4

2

bb15

，∴前七项之积

3

7

例6]求数

1{}2

前n

项和解：

112

12n

①12

1114816n

2

1

②8

两式相减：

11S2n

(1)

2(1

1n1)2n2nn例7]从盛质量分数为20%的盐水2kg容器中倒出1kg盐，然后加入1kg水，以每次都倒出1kg盐水，然后再加入水，问：(1)第5次出的的1kg盐中含盐多kg？(2)经6次出后，一共倒出多少kg盐此时加水容器内盐水的盐的质量分数为多少？解：(1)每次倒出的盐的质量所的数列{a，则：1a0.2（）,a=×（）a=()×0.2（）211由此可见：=)0.2kg,=()22

10.2=()×0.2=0.0125（2(2)由1)得a}是等比数列

a=0.2,

=

126

(11

6

)

0.2(16

)

0.39375(kg)0.40.393750.00625(kg)0.006250.003125(kg)答：第5次出的的1kg盐中含盐0.0125kg；次出后，一共倒出盐，此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为0.003125。四典习导1.求列各等比数列的通项公式1)=a=2)=5,且=n3)=5,且

anan2.在比数列

a

，

aa9

100

，求

.013.已无穷数列5,10

n5

,

，求证）个数列成等比数列（）个数列中的任一项是它后面第五项的

110

，（）个数列的任意两项的积仍在这个数列中。4.设列

,2x,3xnxn

项的和。8

5.已数{}，=且a，求an,n6.是存在数列{a，其前项和组成的数{S}也是等比数列，且公比相同？nn7.在比数列

aaS400124

，求

的范围。§数的合用三经例导例1]设

n

是由正数组成的等比数列

是其前n项和.证明：logSlogSn12

＞logS

。错：证

logSlogSn12

＞logS

只需证

SlogS1n1

n

＞

S1

n222即证：

1

n

＞

log1

2n2

2由对数函数的单调性，只需证

Sn

n

＜

2nn

n

－

＝

n)n))(1)＝

2q

＜

S

2n

原不等式成.错因：在利用等比数列前n项和公式时，忽视了＝情况正：欲证

logSlogSn12

＞logS

只需证

SlogS1n1

n

＞

S1

n222即证：

1

n

＞

log1

2n2

2由对数函数的单调性，只需证

Sn

n

＜

S

2n由已知数列

成的等比数列，n

>0,

.若q,8

nn则

n

n

－

S

2n

＝

na(an]11

2

＝－2＜；1若

q

,n

n

－

＝

)

)21

(1(1)

)

＝

＜

S

2n

原不等式成.例4]求数

11,a

11,aan

(3n的n项。解：设数列的通项为a，前n项为S，则

a

a

1

2)

1aa

a

1

)

(3n当

a

时，

S

n

n2)3n22当

时，

S

n

(1nn(3nn2例5]求列

66,13

6n(

前项解：设数列的通项为b，则

bn

n(

11n

)Sn1

111)))]223n6(1

16n)n例6]设差数{}的前n项和，且n

n

an2

)2(n)

，求数列}的前n项解：取n=1则

a1

a12

)

2

18

**又由

n

n)a)a1n可：1nn2

)

2a(nN)n

ann(2nnn

2例7]大共n层每层指定一人n人中到设在第k层临时会议室开会k如何定能使n位参加人员上、下楼梯所走的程总和最短相邻两层楼梯长相等）解：设相邻两层楼梯长为a，则an)][k

2

nk]当为数时，取

n2

S达最小值当为数时，取四典习导

n或S达最大值223．已知数列

是它的前项和，并且n

4，