【教学】《探究φ对函数y＝sin(x＋φ)的图象的影响》示范教学北师大新课标

探究φ对函数y＝sin(x＋φ)的图象的影响新知探究你知道冲浪运动吗？那汹涌的波涛时而把人们推向高耸的巅峰，时而又将人们卷入无底的深渊，让人们尽情享受冲浪的乐趣．小孩嬉水时，常将小石子扔进平静的水中，形成阵阵涟漪．这些都给我们无限的遐想，猛然间我们会发现它竟然与我们所学的正弦、余弦函数的图象是那么的相似，它们之间是不是有某种联系？相信学过本节之后，你一定会豁然开朗．新知探究问题1函数y＝（x－1）2的图象是函数y＝x2的图象怎样平移得到的，请说明理由．函数y＝（x－1）2是由y＝x2的图象向右平移1个单位得到．新知探究追问：函数y＝

的图象是由函数y＝sinx的图象怎样变换得到？函数y＝

呢？★资源名称：【数学探究】探索φ对y＝sin（x＋φ）图象的影响★使用说明：本资源为“探索φ对y＝sin（x＋φ）图象的影响”知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率．注：此图片为“动画”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．新知探究追问：函数y＝

的图象是由函数y＝sinx的图象怎样变换得到？函数y＝

呢？将y＝sinx的图象向右平移

个单位得到y＝

的图象；向左平移

个单位得到y＝

的图象．新知探究令

可得五个关键点：问题2我们利用“五点（画图）法”画函数y＝

的简图时，所取的五个关键点是什么？新知探究追问1：你能根据上述分析画出y＝

在R上的简图吗？画出该函数一个周期

上的图象，由周期性把图延拓到R上，即得到该函数在R上的图象．新知探究追问2：观察函数y＝

的图象，可以得到哪些性质？新知探究函数y＝sin（x＋φ）与y＝sinx的周期相同，由x＋φ＝0，得x＝－φ，即函数y＝sinx图象上的点（0，0）平移到点（－φ，0）．函数y＝sin（x＋φ）的图象，可以看作将函数y＝sinx图象上的所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平移｜φ｜个单位长度得到．练习练习：P45练习第1题．新知探究问题3函数y＝

的周期与函数y＝sin2x的周期是什么关系？如何找y＝

的五个关键点？由T＝

＝π得函数的周期为π，与函数y＝sin2x的周期相同；令

可得五个关键点．新知探究追问1：如何求函数y＝

的单调增区间？可以观察图象求得，也可令解不等式求解，解得所以单调增区间为新知探究追问2：如何求函数y＝

的最大值？（1）利用图象求解；（2）当即x＝kπ＋

，k∈Z时，ymax＝1．新知探究函数y＝sin（ωx＋φ）与函数y＝sinωx有相同的周期，通常称φ为初象，ωx＋φ为相位．由ωx＋φ＝0，得x＝

，即函数y＝sinωx图象上的点（0，0）平移到点函数y＝sin（ωx＋φ）的图象可以看作函数y＝sinωx图象上的所有点向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平移

个单位得到的．练习练习：P46练习第2，3题．初步应用例1

说明y＝

的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到．解答：把y＝sinx的图象上所有的点向左平移

个单位长度，得到y＝

的图象，再把y＝

的图象上所有点的横坐标缩短到原来的

（纵坐标不变），得到y＝

的图象．新知探究追问1：要得到y＝

的图象，可由y＝

的图象如何变换．由y＝

可向左平移

个单位即得的图象．新知探究追问2：要得到y＝

的图象，可由y＝cosx的图象如何变换．解答：∵y＝cosx＝

，∴先将y＝

的图象的各点横坐标变为原来的

倍，纵坐标不变．得y＝

，再将得到的图象向右平移

个单位即得y＝

的图象．初步应用例2

已知函数f（x）＝

（x∈R），解答：（1）列表：（2）描点画图：x0π2πf（x）010－10（1）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象．（2）讨论函数f（x）的性质xyO–11初步应用例2

已知函数f（x）＝

（x∈R），（2）由图可知该函数是周期为4π的奇函数；（1）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象．（2）讨论函数f（x）的性质xyO–11值域为［－1，1］，单调增区间为减区间为对称轴：对称中心归纳小结问题4通过本节课的学习，你掌握了ω、φ对f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0）的影响了吗？

就可以求出五个关键点，这体现了整体换元的思想；

（1）五点法作图的关键是列表，分别令ωx＋φ＝0，

，π，

，2π，（2）由y＝sinx的图象，如何通过变换得到y＝Asinωx＋φ的图象？（1）五点法作图的关键是什么？如何求f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0）的五个关键点？（3）如何求函数y＝sin（ωx＋φ）的单调区间？归纳小结（2）由y＝sinx的图象，如何通过变换得到y＝Asinωx＋φ的图象？问题4通过本节课的学习，你掌握了ω、φ对f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0）的影响了吗？

（2）可以先相位变换，后周期变换，也可以先周期变换，后相位变换．不论哪一种变换，都是对字母x而言的，即看“变量”变化多少，而不是“角”变化多少．（1）五点法作图的关键是什么？如何求f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0）的五个关键点？（3）如何求函数y＝sin（ωx＋φ）的单调区间？两种变换的顺序不同，变换的量也有所不同，前者平移｜φ｜个单位，而后者则平移

个单位．归纳小结问题4通过本节课的学习，你掌握了ω、φ对f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0）的影响了吗？

（3）求函数y＝sin（ωx＋φ）的单调区间时，常视ωx＋φ为一个整体，当x的系数为负时，可用诱导公式将其化为正，再求单调区间．通过y＝sinx的单调区间，求得函数的单调区间．（2）由y＝sinx的图象，如何通过变换得到y＝Asinωx＋φ的图象？（1）五点法作图的关键是什么？如何求f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0）的五个关键点？（3）如何求函数y＝sin（ωx＋φ）的单调区间？作业布置作业：教科书P21练习2，P49习题A1（1）（3），2（2）（3），3（1）（4）B组第3题．1目标检测C将函数y＝

的图象向右平移

个单位，所得图象所对应的函数是（）A．非奇非偶函数

B．既奇又偶函数C．奇函数D．偶函数解析：将函数y＝

的图象向右平移

个单位后，得函数y＝

，为奇函数．故选C．2目标检测若把函数y＝

的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后，得到y＝sinx的图象，则m的最小值为（）A．B．C．D．解析：依题意，y＝∴m－

＝2kπ（k∈Z），∴m＝

＋2kπ（k∈Z），又m＞0，∴m的最小值为

．C3目标检测将函数f（x）＝sin（ωx＋φ）

的图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移

个单位长度得到y＝sinx的图象，则

＝______．解析：y＝sinx的图象向左平移

个单位长度，得到y＝

的图象，再对每一点的横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝

的图象，即为f（x）＝sin（ωx＋φ）的图象，所以f（x）＝

，故４目标检测已知函数y＝（1）用五点法画出函数的简图；（2）函数图象可由y＝sin

x的图象怎样变换得到