中考圆的复习课件

圆的复习2021/5/91圆中的计算与圆有关的位置关系圆的基本性质点与圆的位置关系正多边形的相关计算直线与圆的位置关系扇形面积、弧长垂径定理，勾股定理的应用弧、弦与圆心角圆周角及其与同弧上圆心角圆的对称性切线圆的切线切线长圆知识回顾一、知识结构2021/5/92（五）、切线长定理二、主要定理（一）、相等的圆心角、等弧、等弦之间的关系及垂径定理（二）、圆周角定理（三）、与圆有关的位置关系的判别定理（四）、切线的性质与判别2021/5/93三、基本图形（重要结论）辅助线一关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。OPAB┓2021/5/94

在遇到与直径有关的问题时，应考虑作出直径或直径所对的圆周角。这也是圆中的另一种辅助线添法。辅助线二CAB.O┓2021/5/95

当遇到已知切线和切点时，要注意连接圆心和切点，以便得到直角去帮助解题。辅助线三OA.┓2021/5/96OI特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法：R=—c2r=————a+b-c2ABCabc直角三角形外接圆、内切圆半径的求法等边三角形外接圆、

内切圆半径的求法基本思路：构造直角三角形BOD，BO为外接圆半径，DO为内切圆半径。ABCODRr重要结论2021/5/97典型例题1.已知，如图，AB为⊙O的直径，AB=AC,BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E,∠BAC=45°。给出下面五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤DE=DC。其中正确的是＿＿＿＿＿＿(填序号)

.ABCDEO析：本题主要是应用辅助线二，作出直径所对的圆周角。连接ＡＤ、ＢＥ。则∠ＢＥＡ与∠ＡＤＢ均为９０°，求出各角，得解。①②④⑤2021/5/98２．在同圆中,若AB=2CD，则弦AB与2CD的大小关系是（）

︵

︵

BDCBAOM典型例题A.AB＞2CDB.AB＜2CDC.AB=2CDD.不能确定

分析:我们可取AB的中点M,则AM=BM=CD,弧相等则弦相等,在△AMB中AM+BM＞AB,即2CD＞AB.︵︵︵︵2021/5/99典型例题3.已知,ΔABC内接于⊙O,AD⊥BC于D,AC=4,AB=6,AD=3,求⊙O的直径。

证明:作⊙O的直径AE,连接BE,则∠C=∠E,∠ADC=∠ABE,∴△ABE∽△ADC,∴AD/AB=AC/AE,即AE=AB×AC/AD=8,∴⊙O的直径为8分析:解决此类问题时,我们通常作出直径以及它所对的圆周角,证明ΔABE∽ΔADC.ＥＤBCA

.O┓.┓2021/5/910115°100°典型例题问题一:当点O为△ABC的外心时，∠BOC=＿＿＿＿＿＿＿＿问题二:当点O为△ABC的内心时，∠BOC=＿＿＿＿＿＿＿＿

4.已知,如图,锐角三角形ABC中,点O为形内一定点.∠A=50°O.ABC当点O为外心时，则∠

A与∠

BOC为圆周角与圆心角的关系。如图。所以∠

BOC=100°若点O为内心，则应用公式∠

BOC=90+0.5∠A，可得∠

BOC=115°2021/5/911证明一：连接AC、BC∵AC=CE∴∠CAE=∠CBA，又CD⊥AB∴∠ACB=∠CDB=90°，∴∠ACD=∠CBA=∠CAF，AF=CF︵

︵

5.已知，如图，AB是⊙O的直径，C为AE的中点，CD⊥AB于D，交AE于F。求证：AF=CF⌒典型例题分析:要正线段相等,通常是证明两角相等或三角形全等。该题是证两角相等。AFCEBD证明二：延长CD交⊙O于GG若该点位N，你能证明AF=FN吗？AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴AG=AC=CE，∴∠CAE=∠

GCA，∴CF=AF︵

︵

︵

2021/5/91220°50°或130°问题二:当点O为△ABC的外心时，∠A=＿＿＿＿＿＿＿问题一:当点O为△ABC的内心时，∠A=＿＿＿＿＿＿＿小试牛刀

1.已知,三角形ABC中,点O为一定点.∠BOC=100°.当点O为内心时，则根据公式∠BOC=∠A+90°，可得∠A=20°当点O为外心时，则首先要考虑圆心是在三角形内还是外，因此要分两种情况求解。当外心在三角形内时,∠

BOC=2∠

A，则∠

A=50°，当外心在三角形外时，∠

A=180-∠

BOC=130°你做对了吗？心动不如行动2021/5/913小试牛刀

2.已知，如图，OA、OB为⊙O的两条半径，且OA⊥OB，C是AB的中点，过C作CD∥OA，交AB于D，求AD的度数。⌒BDOAC分析：求弧AD的度数，即求它所对的圆心角的度数。因此连接OD，延长DC交OB与E，可∠EDO=∠DOA=30°，所以弧AD为30°E心动不如行动2021/5/914小试牛刀BCA

.OＤ

.

3、已知,ΔABC内接于⊙O,AD⊥BC于D,AC+AB=12,AD=3,设⊙O的半径为y,AB为x，求y与x的关系式。分析：类似于例题，只要正△ABE与△ADC相似即可。相信你一定能解对！E答案：(3＜x＜9)心动不如行动2021/5/915典型例题6.两个圆的半径的比为2:3,内切时圆心距等于8cm,那么这两圆相交时,圆心距d的取值范围是＿＿＿＿＿解：设大圆半径R=3x,小圆半径r=2x

依题意得：3x-2x=8，解得：x=8∴R=24cm，r=16cm∵两圆相交，∴R-r<d<R+r∴8cm<d<40cm分析:可根据两圆内切时d=R-r,求出半径,当两圆相交时R-r<d<R+r,据此可求得结果.2021/5/916典型例题OBADPEC

7.如图，从⊙O外一点引圆的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若PA=8㎝，C为AB上的一个动点（不与A、B两点重合），过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E，则△PDF的周长为＿＿＿＿＿︵

析：根据切线长定理可知，PA=PB，而DE切⊙O于C，所以又有DA=DC，EC=EB，从而△PDE的周长=PD+DC+CE+PE=PA+PB解：∵PA、PB、DE为的切线，切点为A、B、C，则PA=PB；DA=DC；EC=EB。∴△PDE的周长=PA+PB=16㎝16

㎝2021/5/917典型例题8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°若以C为圆心、r为半径画⊙C.若AC=3，BC=4,试问：⑴当r满足什么条件时，则⊙C与直线AB相切？⑵当r满足什么条件时，则⊙C与直线AB相交？⑶当r满足什么条件时，则⊙C与直线AB相离？HACB┓┓析：当直线与圆相切时，d=r，所以只要算出圆心到AB的距离即可。相离d＞r;相交d＜r.略解：d=CH=2.4

(1).d=2.4=r

(2).r＞2.4

(3).0＜r＜2.42021/5/918典型例题9.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E.求证DE为⊙O的切线。ODEBAC.分析：证明切线常用两种方法；一为d=r;另一为切线的判定定理。该题已知DE与圆有公共点，故用第二种证法证一：连接OD∵OD=OB，AB=AC则∠B=∠C=∠BDO，∴OD∥AC，又∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，所以DE为⊙O的切线证法二：连接OD、AD1324∵AB为直径，∴∠BDA=90°又∵AB=AC，∴点D为BC的中点∴∠1=∠3，而∠2=∠3，DE⊥AC

∴∠1+∠4=90°∴∠2+∠4=90°∴DE为⊙O的切线2021/5/919

4.已知：如图，AB、AC与⊙O相切于点B、C，∠A=50°，P为⊙O上异于B、C的一个动点，则∠BPC的度数为（）A.40°B.65°C.115°D.65°或115°小试牛刀分析：在解决此问题时,应注意点P为一动点,它可能在劣弧BC上,也可能在优弧上,但万变不离其中,应用辅助线三,连接OB、OC得直角,即可求解。POBAC.65°P115°D心动不如行动2021/5/9205.如图Rt△ABC中,AB=10,BC=8,以点为圆心,4.8为半径的圆与线段AB的位置关系是___________;D相切4.8＜r≤6r=4.8

或6＜r≤8小试牛刀当______________时,⊙O与线段AB没交点;当______________时,⊙O与线段AB有两个交点;当______________时,⊙O与线段AB仅有一交点;设⊙O的半径为r,则0＜r＜4.8或r＞8本题应注意的是:圆于线段的公共点的个数,而非与直线的公共点的个数.心动不如行动2021/5/921乙甲典型例题10.如图甲,A是半径为2的⊙O外一点,OA=4,AB是⊙O的切线,B为切点,弦BC∥OA,连接AC,求阴影部分的面积.点拨:图中的阴影是不规则图形,不易直接求出,所以要将其转化为与其面积相等的规则图形,在等积转化中.①可根据平移、旋转或轴对称等图形变换；②可根据同底（等底）同高(等高)的三角形面积相等进行转化.解:如图一:连接OB、OC.∵BC//OA，∴,S阴影=S扇形OBC,∵AB为⊙O的切线，∴OB⊥AB.∵OA=4，OB=2，∴∠AOB=60°.∵BC//OA,∴∠AOB=∠OBC=60°.∵OB=OC,∴△OBC为正三角形,∴∠COB=60°,S阴影=60×4/360=2/3π

π2021/5/922小试牛刀6.如图所示,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相互外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，求图中五个扇形（阴影部分）的面积之和。ππ分析：因为五个圆时等圆，所以根据扇形面积计算公式得：S==×（∠A+∠B+∠C+∠D+∠E）=1.5∠Aπ∠B

＋π

＋·π∠E∠Dπ∠C··

＋π

＋点拨:化整为零、化分散为集中的整体策略是解题的重要方法。心动不如行动2021/5/92311：如图，已知⊙O的弦AB所对的圆心角等于140o，则弦AB所对的圆周角的度数为__________.

70o或110oCC’典型例题错解:70°错因:忽视了弦所对的圆周角有两类。.正解：当圆周角在优弧上时，圆周角为140°的一半70°；当圆周角在劣弧上时，则与70°互补，为110°。误区警示2021/5/92412、如图,以O为圆心的两同心圆的半径分别是11cm和9cm,若⊙P与这两个圆都相切,则这个圆的半径为＿＿＿＿＿＿

错解：1cm错因：忽视了和两圆都是内切关系的情况。正解：先考虑夹在圆环内的小圆半径为1cm，再看和中间小圆内切的圆半径为4.5cm。典型例题1cm或4.5cm误区警示2021/5/92513、已知AB是⊙O的直径,AC是弦,AB=2,AC=,在图中画出弦AD,使得AD=1,求∠CAD的度数.ADCB45°D60°15°典型例题错解：105°错因：以A为顶点且长度为1的弦有两条，其一与AC在直径的同侧，其二与AC在直径的异侧。应分两种情况讨论。正解：当在直径的两侧时；连接BC，BD；则△ABC为等腰直角三角形，∠CBA=45°；在直角△ABD中2AD=AB，∴∠BAD=60°∴∠CAD=60°+45°=105°当AC、AD在直径的同侧时，则∴∠CAD=60°－45°=15°┓┓误区警示2021/5/926典型例题14.已知圆内接△ABC中，AB=AC，圆心O到BC的距离为3，半径为7。求腰长AB.错解：如图，过点A作AD⊥BC于D，连接OB,∵AB=AC,∴BD=DC.即AD垂直平分BC,∴AD过圆心O,∴AD=AO+OD=7+3=10在直角△OBD中，DAC.OB误区警示2021/5/927典型例题错因分析：只考虑圆心△ABC在内部，而忽略了圆心△ABC在外部的情况。正解：除上述第一种情况外，还有另一种情况。B.OACD如图，过点A作AD⊥BC于D，连接OB,由第一种情况可得:AD过圆心O,∴AD=AO-OD=7-3=4综上所述:腰AB长为或误区警示2021/5/928

7、在直径为400mm的圆柱形油槽内，装入一部分油，油面宽320mm，求油的深度.

分析:本题是以垂径定理为考查点的几何应用题，没有给出图形，直径长是已知的，油面宽可理解为截面圆的弦长，也是已知的，但由于圆的对称性，弦的位置有两种不同的情况，如图(1)和(2)图(1)中OC=120∴CD=80(mm)图(2)中OC=120∴CD=OC+OD=320(mm)小试牛刀心动不如行动2021/5/9298.半径分别是20cm和15cm的两圆相交，公共弦长为24cm，求两圆的圆心距？O1O2=O2C-O1C=16-9=7.

O1O2=O2C+O1C

=16+9=25.

分析:解此题时应考虑圆心是在公共弦的同侧还是异侧，因此应分两种情况。小试牛刀心动不如行动2021/5/93015.在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料（如图）现找出其中一种，测得∠C=90°，AC=AB=4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC的边上，且扇形的弧与△ABC的其他边相切，请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径。（只要画出图形，并直接写出扇形半径）CAB分类讨论的思想感悟圆中的数学思想典型例题2021/5/931分析：扇形要求弧线与三角形的边相切，半径都在三角形边上，相切的情况有两种（1）与其中一边相切（直角边相切、斜边相切）（2）与其中两边相切（两直角边相切、一直角边和一斜边相切）并且尽量能使用边角料（即找最大的扇形）（1）与一直角边相切可如图(1)所示（2）与一斜边相切如图(2)所示（3）与两直角边相切如图(3)所示（4）与一直角边和一斜边相切如图(4)所示典型例题2021/5/932解：可以设计如下图四种方案：

r1=4r2=2

r3=2r4=4-4(1)(3)(2)(4)2021/5/933典型例题方程的思想16.如图,残破的轮片上,弓形的弦为480㎜,高为70㎜,求原轮片的直径.(精确到1㎜)解:∵OC⊥AB,OC是半径,∴2BD=AB=480㎜.设OB=R,在直角△OBD中,解得:R≈446∴原轮片的直径为2R≈446×2=892㎜在解决此类问题时,往往在直角三角形的基础上,建立方程,应用勾股定理求解.感悟圆中的数学思想OCADB2021/5/934典型例题转化的思想17.如图①,为一圆锥形粮堆,从正面看是边长为6米的正三角形ABC,粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食,此时,小猫正在B处,它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠,则小猫所经过的最短路线是＿＿＿＿米.(结果保留根号)解析:此类问题是将立体图形问题转化到平面图形问题来解决.该题是将圆锥侧面展开为扇形,如图②.连接BP,则最短距离即为线段BP的长.

解:由已知条件可得圆锥的侧面积为18π㎡,=18π,解得n=180°,则∠BAP=90°,又AB=6m,AP=3m,由勾股定理的BP=mPACB.感悟圆中的数学思想2021/5/935小试牛刀9.已知的⊙O半径为3㎝,点P是直线上a的一点,OP长为5㎝,则直线a与⊙O的位置关系为()A.相交B.相切C.相离D.相交、相切、相离都有可能由于OP与直线a的位置不确定，所以直线a与⊙O的位置关系可能有如下三种情况。aO5㎝PaPO5㎝aOP5㎝D相交相切相离心动不如行动2021/5/93610.已知如图(1)，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，求小虫爬行的最短距离.(1)(2)小试牛刀本题是将圆锥侧面展开，得一扇形，先求一圆心角。得解。你做对了吗？解：侧面展开图如图(2)2π×1=,n=90°SA=4，SC=2∴AC=2.即小虫爬行的最短距离为2.心动不如行动2021/5/93718、一圆弧形桥拱，水面AB宽32米，当水面上升4米后水面CD宽24米，此时上游洪水以每小时0.25米的速度上升，再通过几小时，洪水将会漫过桥面？圆的实际应用典型例题此题实际是应用了转化的思想，把实际问题转化为圆的问题求解2021/5/938解：过圆心O作OE⊥AB于E，延长后交CD于F，交弧CD