【教学】《 圆周角和圆心角的关系》示范教学

第三章圆3.4圆周角和圆心角的关系第1课时

学习目标1．经历探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系的过程.2．理解圆周角的概念，了解并证明圆周角定理及其推论.3．体会分类、归纳等数学思想方法.情境导入在射门游戏中（如图），球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关．当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC．这三个角的大小有什么关系呢？探究新知此图片是微课首页图，本微课资源针对《圆周角》进行讲解，并结合具体例题，提高知识的应用能力，适用于圆周角的教学.若需使用，请插入微课【知识点解析】圆周角.探究新知想一想

观察图中的∠ABC，∠ADC，∠AEC，你能发现它们有什么共同特征吗？答：发现：（1）它们的顶点都在圆上；（2）两边分别与圆有另一个交点．归纳

我们把顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．探究新知做一做

如图，∠AOB=80°．（1）请你画出几个所对的圆周角，这几个圆周角有什么关系？与同伴进行交流．（2）这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系？你是怎样发现的？与同伴进行交流．探究新知答：（1）能画出无数个，如下图所示．通过度量可以发现：∠ADB，∠ACB，∠AEB这几个圆周角相等．探究新知（2）通过度量可以发现：这些圆周角都等于圆心角∠AOB的一半．证明：如下图所示，在以点A，B为端点的优弧上任取一点C，连接AC，OC，BC，延长CO交于点M．∵OB=OC，∴∠1=∠2．又∵OA=OC，∴∠4=∠5．探究新知又∵∠3+∠6=∠1+∠2+∠4+∠5，∴∠3+∠6=2(∠1+∠5)，∠AOB=2∠ACB．∴∠ACB=∠AOB=×80°=40°．结论：这样的圆周角有许多个，只要在上任取一点且与点A，B分别相连即可得到，这些角都相等，且等于∠AOB的一半．探究新知议一议

在下图中，改变∠AOB的度数，你得到的结论还成立吗？怎样证明你的猜想？答：改变∠AOB的度数，上面的结论仍然成立．证明过程如下：探究新知已知：如图，∠C是所对的圆周角，∠AOB是所对的圆心角．求证：∠C=∠AOB．分析：根据圆周角和圆心的位置关系，分三种情况讨论：探究新知（1）圆心O在∠C的一条边上，如下图（1）；（2）圆心O在∠C的内部，如下图（2）；（3）圆心O在∠C的外部，如下图（3）．探究新知证明：（1）圆心O在∠C的一条边上，如图（1）．∵∠AOB是△AOC的外角，∴∠AOB=∠A+∠C．∵OA=OC，∴∠A=∠C．∴∠AOB=2∠C，即∠C=∠AOB．圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半探究新知证明：（2）如下图所示，在以点A，B为端点的优弧上任取一点C，连接AC，OC，BC，延长CO交于点M．∵OB=OC，∴∠1=∠2．又∵OA=OC，∴∠4=∠5．探究新知又∵∠3+∠6=∠1+∠2+∠4+∠5，∴∠3+∠6=2(∠1+∠5)，即∠AOB=2∠ACB．∴∠ACB=∠AOB．圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半探究新知证明：(3)过点C做直径CD,由（1）可得：∠AOD=2∠ACD，∠BOD=2∠BCD,

∴∠AOB=2∠ACB．∴∠ACB=∠AOB圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半D探究新知想一想

在本节课开始提出的射门游戏中，当球员在B，D，E处射门时，所形成的三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？探究新知答：∠ABC=∠ADC=∠AEC；能，因为∠ABC，∠ADC和∠AEC都是同弧（）所对的圆周角，根据圆周角定理，它们都等于所对圆心角度数的一半，所以这几个圆周角相等．推论同弧或等弧所对的圆周角相等典例精析例如图，⊙O的直径AB=8cm，∠CBD=30°，求弦DC的长解：如图，连接OC，OD，则OC=OD=4cm，

∠COD=2∠CBD=60°．故△COD是等边三角形．所以CD=4cm．课堂练习1．如图，在⊙O中，OD⊥BC，∠BOD=60°，则∠CAD的度数为（

）．A．15°B．20°C．25°D．30°2．如图，正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，点P在劣弧CD上，是不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（

）．A．45°B．60°C．75°D．90°DA课堂练习3．如图，在⊙O中，∠AOB的度数为m，C是优弧AB上一点，D，E是上不同的两点（不与A，B两点重合），则∠D+∠E的度数为（

）．A．mB．180°-C．90°+D．4．如图，已知A，B，C三点在⊙O上，AC⊥BD于点D，若∠B=55°，则∠BOC的度数是__________．B70°课堂练习5．如图，在⊙O中，∠O=50°，∠A=

．6．如图，哪个角与∠BAC相等？你还能找到哪些相等的角？25°答：∠BDC=∠BAC；还能找到∠ABD=∠ACD，∠CAD=∠CBD，∠ADB=∠ACB．课堂练习7．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且∠C=100°，求∠BOD和∠A的度数．解：∵∠C=100°，∴所对的圆心角=2∠C=200°．∴∠B