【教学】全称量词与存在量词 省赛获奖

全称量词与存在量词第2课时知识引入问题1

前面我们学习了全称量词和存在量词以及全称量词命题和存在量词命题的真假判断，类比它们的学习过程，你认为对于全称量词命题和存在量词命题的否定，我们该如何展开研究呢？命题的否定具体例子（全称量词命题和存在量词命题的否定）发现规律，形成方法巩固练习新知探究问题2

阅读教材，完成下列问题：（1）请举例说明，对于一个命题，什么是它的否定？一个命题和它的否定的真假有什么关系？（2）请分别写出下列命题的否定，并判断它们的真假．①集合A＝｛x｜x＞2｝是集合B＝｛x｜x＞3｝的真子集；②方程x2－x－2＝0有实根．（1）一个命题与它的否定在内容上是完全对立的．两者不可能同时为真命题，也不可能同时为假命题，只能一真一假．新知探究问题2

阅读教材，完成下列问题：（2）请分别写出下列命题的否定，并判断它们的真假．①集合A＝｛x｜x＞2｝是集合B＝｛x｜x＞3｝的真子集；②方程x2－x－2＝0有实根．命题①的的否定：集合A＝｛x｜x＞2｝不是集合B＝｛x｜x＞3｝的真子集；命题②的否定：方程x2－x－2＝0没有实根．命题①为假命题，命题①的否定为真命题．命题②为真命题，命题②的否定为假命题．新知探究问题3

写出命题的否定：（1）所有的素数都是奇数；（2）每一个矩形都是平行四边形；（3）∀x∈R，x＋｜x｜≥0．新知探究追问2：大家给出的命题（1）的否定有如下结果，你认为哪些正确？哪些错误？并结合原命题和它的否定的关系，阐述你的理由．（1）所有的素数都不是奇数；（2）所有的素数不都是奇数；（3）并非所有的素数都是奇数．（1）不正确，（2）（3）正确．新知探究素数按照其中的数是不是奇数分类，可分三类：①都是奇数；②有些不是奇数，有些是奇数；③都不是奇数．命题“所有的素数都是奇数”，包含第①类．因为一个命题与它的否定在内容上是完全对立的，所以该命题的否定应该包括两种情形：第②和③类．（1）只包括第③类，所以不正确；（2）（3）都包括第②和③类，所以正确．新知探究我们也可以从集合的角度理解这个问题．如果用A表示所有素数的集合，B表示所有奇数的集合，那么命题“所有的素数都是奇数”可以表示为“AB”，那么它的否定应该是“AB”．而命题“所有的素数都不是奇数”可以表示为“A∁RB”，它与“AB”不等价，只是“AB”的一种特殊情形．“所有的素数不都是奇数”、“并非所有的素数都是奇数”可以表示为“A∩（∁RB）＝”，它与“AB”等价，所以（2）（3）正确．新知探究另外还可以从原命题和它的否定的真假关系对结果进行初步判断．一个命题与它的否定不可能同时为真命题，也不可能同时为假命题，只能一真一假．命题“所有的素数都是奇数”是假命题．命题“所有的素数都不是奇数”也是假命题，所以它一定不是命题（1）的否定；命题“所有的素数不都是奇数”、“并非所有的素数都是奇数”都是真命题，所以它们有可能是命题（1）的否定．新知探究追问2：命题“所有的素数不都是奇数”“并非所有的素数都是奇数”还能怎么表述？存在一个素数，它不是奇数．新知探究追问3：类比命题（1），你能写出命题（2）和（3）的否定吗？命题（2）的否定：并非每一个矩形都是平行四边形．也就是说，存在一个矩形，不是平行四边形．命题（3）的否定：并非∀x∈R，x＋｜x｜≥0．也就是说，∃x∈R，x＋｜x｜＜0．（2）每一个矩形都是平行四边形；（3）∀x∈R，x＋｜x｜≥0．新知探究追问4：以上全称量词命题的否定与它们的原命题在形式上有什么变化？你能用符号语言表示命题“∀x∈M，P（x）”的否定吗？全称量词命题“∀x∈M，x都具有性质p（x）”的否定为“∃x∈M，x不具有性质p（x）”全称量词命题的否定是存在量词命题．新知探究追问5：你能梳理全称量词命题的否定的探究过程吗？请写出来．对命题直接否定（直接在命题前面添加否定词）→等价转化为存在量词命题→用符号语言表达规律．新知探究例1

写出下列全称量词命题的否定．（1）“对任意的锐角A，有sin2A＋cos2A＝1”的否定是“存在一个锐角A，使sin2A＋cos2A≠1”；（2）“任意一个一元二次函数的图象都与x轴相交”的否定是“存在一个一元二次函数，它的图象与x轴不相交”；

一般地，要否定一个存在量词命题，需要判定给定集合中每一个元素均不能使存在量词命题的结论成立．（1）对任意的锐角A，有sin2A＋cos2A＝1；

新知探究问题4

类比全称量词命题的否定，探究如何用符号语言表示命题“∃x∈M，P（x）”的否定？完成对下列命题的否定，并由此探究存在量词命题的否定的一般规律和形式：（1）存在一个实数的绝对值是正数；（3）∃x∈R，x2－2x＋3＝0．（2）有些平行四边形是菱形；命题（1）的否定：不存在一个实数的绝对值是正数．也就是说：任意一个实数的绝对值都小于或等于0．也就是说：任意一个实数的绝对值都不是正数．也就是说：∀x∈R，｜x｜≤0．新知探究问题4

类比全称量词命题的否定，探究如何用符号语言表示命题“∃x∈M，P（x）”的否定？完成对下列命题的否定，并由此探究存在量词命题的否定的一般规律和形式：（1）存在一个实数的绝对值是正数；（3）∃x∈R，x2－2x＋3＝0．（2）有些平行四边形是菱形；命题（2）的否定：每一个平行四边形都不是菱形．综上，存在量词命题的否定是全称量词命题．命题（3）的否定：∀x∈R，x2－2x＋3≠0．新知探究对于存在量词命题p：“∃x∈M，x具有性质p（x）”的否定为“∀x∈M，x都不具有性质p（x）”新知探究例2

写出下列存在量词命题的否定：（1）某箱产品中至少有一件次品；（2）方程x2－8x＋15＝0有一个根为偶数；（3）∃x∈R，使x2＋x＋1≤0．解答：（1）“某箱产品都是正品”；（2）“方程x2－8x＋15＝0的每一个根都不是偶数”，真命题；（3）“∀x∈R，x2＋x＋1＞0”是真命题．初步应用（1）该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似．因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似．因此这是一个假命题．（2）该命题的否定：∀x∈R，x2＋x＋1≠0．写出下列两个命题的否定，并判断它们的真假：（1）任意两个等边三角形都相似；（2）∃x∈R，x2＋x＋1＝0．因为对∀x∈R，x2－x＋1＝

＞0，所以这是一个真命题．

初步应用追问：如何对全称量词命题和存在量词命题进行否定？判断它们真假的方法是什么？常见词语的否定原词语所有的存在任意的是都是等于大于否定命题∀x∈M，P（x）∃x∈M，P（x）否定∃x∈M，﹁P（x）∀x∈M，﹁P（x）存在有所有的某些个不是不都是不等于不大于初步应用总之，全称量词命题、存在量词命题的否定要注意两个变、一个不变．“∀”与“∃”互变，结论“p”变为“﹁p”，条件中的范围不变．要否定一个全称量词命题，只需要在给定集合中找到一个元素，使命题的结论不正确，即全称量词命题不成立．要否定一个存在量词命题，需要判定在给定集合中每一个元素均不能使命题的结论成立，即存在量词命题不成立．初步应用1已知命题p：∀x∈R，2x2＋1＞0，则﹁P是（）A．∀x∈R，2x2＋1≤0

D2写出命题∃x∈R，x＋1≥0的否定：____________________．∀x∈R，x＋1＜0归纳小结问题5

本节课我们学习了全称量词命题和存在量词命题的否定，它们的符号表示分别是什么？回顾本节学习过程，与你在问题1中设计的研究过程和思路是否一致？命题∀x∈M，P（x）∃x∈M，P（x）否定∃x∈M，﹁P（x）∀x∈M，﹁P（x）总之，全称量词命题、存在量词命题的否定要注意两个变、一个不变．“∀”与“∃”互变，结论“p”变为“﹁p”，条件中的范围不变．研究思路体现了研究一个规律或者方法的基本路径：具体例子→形成规律或者方法→表示→巩固．作业布置作业：教材第22页练习第1题；第23页习题A组第3题．1目标检测C命题“∃x∈R，2x＜x2”的否定为（）A．∃x∈R，2x＞x2B．∃x∈R，2x＜x2C．∀x∈R，2x≥x2D．∀x∈R，2x≤x22目标检测B命题“∀x∈R，x－1≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x－1≤0B．∃x∈R，x－1＜0C．∀x∈R，x－1＜0D．∀x∈R，x－1≤03∃x∈R，x2＋2x＋1≤0“∀x∈R，x2＋2x＋1＞0”的否定是________________________．4目标检测写出下列命题的否定并判断真假：（1）不论m取何实数，方程x2＋x＋m＝0必有实数根；（2）某些梯形的对角线互相平分；（3）被8整除的数能被4整除．解答：（1）存在实数m，方程x2＋x＋m＝0没有实数根；真命题．（2）所有梯形的对角线都不互相平分；真命题．（3）存在能被8整除的数，