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文档简介
绝密★启用前
2020年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学I
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共4页,均为非选择题(第1题~第20题,共20题)。本卷满分为160分,考试时间
为120分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.
2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题
卡的规定位置.
3.请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.
4.作答试题,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作
答一律无效.
5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.
参考公式:
柱体的体积v=s〃,其中s是柱体的底面积,力是柱体的高.
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.已知集合4={-1,0,1,2},3={0,2,3},则AB=.
2.已知i是虚数单位,则复数z=(I+i)(2-i)的实部是.
3.已知一组数据4,2a,3-。,5,6平均数为4,则a的值是.
4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是.
5.如图是一个算法流程图,若输出)'的值为-2,则输入X的值是.
6.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线工-2:=l(a>0)的一条渐近线方程为y=@x,则该双曲线的离心
a-52
率是—.
7.己知内㈤是奇函数,当后0时,=j,则尺8)的值是.
8.已知sin“工+a)=—,贝Usin2a的值是.
43
9.如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2cm,
高为2cm,内孔半轻为0.5cm,则此六角螺帽毛坯的体积是一cm.
10.将函数尸3sin(2廿巴)的图象向右平移三个单位长度,则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是
46
11.设{。“}是公差为d的等差数列,{〃“}是公比为q的等比数列.已知数列{。"+为}的前"项和
S“="一〃+2"-1(〃6N+),则d+q的值是.
12.已知5X2/+/-1(X,ywR),贝Ux2+y1的最小值是.
13.在△ABC中,AB=4,AC=3,/84。=90。,。在边8(7上,延长4。到尸,使得AP=9,若
14.在平面直角坐标系xOy中,己知尸(?,0),A,8是圆C:x?+(y-g>=36上的两个动点,满足PA=PB,
则△以B面积的最大值是.
二、解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤.
15.在三棱柱ABC-ABiG中,AB1AC,SC,平面ABC,E,尸分别是AC,BC的中点.
(1)求证:EF〃平面ABiG;
(2)求证:平面ABCJ_平面AB®.
16.在AABC中,角A,B,C的对边分别为小b,c,已知a=3,c=0,3=45。.
(1)求sinC的值;
4
(2)在边8C上取一点£>,使得cosNAOC=-《,求tan/D4c的值.
17.某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底。在水平线MN上,桥AB与MN
平行,。0'为铅垂线(0'在AB上).经测量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离%侏)与D到。。'的距
离。(米)之间满足关系式%=4/;右侧曲线5。上任一点F到MN的距离"(米)与尸到。0'的距离仇米)
之间满足关系式%=-工〃3+6瓦已知点B到00'的距离为40米.
MD1ON
(1)求桥AB的长度;
(2)计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CO和E凡且CE为80米,其中C,E在AB上(不包括端点).
3
桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CQ每米造价(万元)(Q0).问O'E为多少米时,桥墩与EF的总造价
最低?
18.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E:土+二=1的左、右焦点分别为Q,尸2,点A在椭圆E上且在
43
第一象限内,AF2VFyF2,直线AQ与椭圆E相交于另一点B.
(1)求JAF1F2的周长;
(2)在x轴上任取一点P,直线AP与椭圆E的右准线相交于点。,求OP.QP的最小值;
(3)设点M在椭圆E上,记AOAB与AMAB的面积分别为5rS2,若52=3S”求点M的坐标.
19.己知关于X的函数y=f(x),y=g(x)与h(x)=kx+b(k,b&R)在区间D上恒有f(x)>h(x)>g(x).
(1)/(x)=x2+2x,g(x)=-x2+2x,0=(-8),求〃(x)的表达式;
(2)若/(x)=f-x+Lg(x)=Zlnx,h(x)=kx-k,D=(0,+oo),求人取值范围;
(3)若/(x)=X4-2X2,g(x)=4X2-8,h{x}=4(产-f)x-3尸+2/(0<|f[W应),D=[m,"]仁卜3,应],求
证:n—m<币.
20.已知数列{q,}(〃e")的首项。尸1,前〃项和为S,,.设入与人是常数,若对一切正整数”,均有
1I1
CI_CI_;/,%成立,则称此数列为"~犬'数列•
(1)若等差数列{4}是"7"数列,求入值;
(2)若数列{q}是“弓-2”数列,且为>0,求数列{为}的通项公式;
(3)对于给定的入,是否存在三个不同的数列{。,,}为"〜3”数列,且如K)?若存在,求人的取值范围;若不
存在,说明理由,
数学n(附加题)
【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若
多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修4-2:矩阵与变换]
21.平面上点42,-1)在矩阵;1对应的变换作用下得到点砥3,T).
-1b
(1)求实数。,b的值;
(2)求矩阵M的逆矩阵A/T.
B.[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.在极坐标系中,已知点Ag,《)在直线I:pcos。=2上,点在圆C:Q=4sin6上(其中。20,
36
04。<27).
(1)求月,p2值
(2)求出直线/与圆C的公共点的极坐标.
C.[选修4-5:不等式选讲]
23.设xeR,解不等式2|x+l|+|x|<4.
【必做题】第24题、第25题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时
应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
24.在三棱锥A—BC。中,已知CB=CD=下,BD=2,O为BD中点,AOIWBCD,A0=2,E为AC的
中点.
(1)求直线AB与。E所成角的余弦值;
(2)若点F在BC上,满足设二面角F—QE—C的大小为仇求sin。的值.
4
25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球,乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放
入另一口袋,重复〃次这样的操作,记甲口袋中黑球个数为X”,恰有2个黑球的概率为p“,恰有1个黑球
的概率为qn.
(1)求piq和P2@;
(2)求2p“+q”与2p“.|+如.|的递推关系式和X”的数学期望E(X”)(用〃表示).
绝密★启用前
2020年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学I
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共4页,均为非选择题(第1题~第20题,共20题)。本卷满分为160分,考试时间
为120分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.
2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题
卡的规定位置.
3.请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.
4.作答试题,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作
答一律无效.
5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.
参考公式:
柱体的体积v=s〃,其中s是柱体的底面积,力是柱体的高.
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.已知集合人={-1,0,1,2},3={0,2,3},则AB=.
【答案】{0,2}
【解析】
【分析】
根据集合的交集即可计算.
【详解】VA={-1,0,={0,2,3}
AI8={0,2}
故答案为:{0,2}.
【点睛】本题考查了交集及其运算,是基础题型.
2.已知i是虚数单位,则复数z=(l+i)(2—i)的实部是.
【答案】3
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则,化简即可求得实部的值.
【详解】•.•复数z=(l+i)(2-i)
z=2-i+2i-i2=3+i
.••复数的实部为3.
故答案为:3.
【点睛】本题考查复数的基本概念,是基础题.
3.已知一组数据4,2a,3-5,6的平均数为4,则。的值是___.
【答案】2
【解析】
【分析】
根据平均数的公式进行求解即可.
【详解】•.•数据4,2a,3-a,5,6的平均数为4
4+2a+3—a+5+6=20,即a=2.
故答案为:2.
【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用,比较基础.
4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是.
【答案】:
【解析】
【分析】
分别求出基本事件总数,点数和为5的种数,再根据概率公式解答即可.
[详解】根据题意可得基本事件数总为6x6=36个.
点数和为5的基本事件有(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)共4个.
41
・・・出现向上的点数和为5的概率为P=-=-.
故答案为:—.
【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、列举法等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
5.如图是一个算法流程图,若输出了的值为-2,则输入x的值是_____.
【答案】-3
【解析】
【分析】
根据指数函数的性质,判断出y=x+i,由此求得x的值.
【详解】由于2、>0,所以y=x+l=-2,解得%=-3.
故答案为:-3
【点睛】本小题主要考查根据程序框图输出结果求输入值,考查指数函数的性质,属于基础题.
6.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线£-?二=l(a>0)的一条渐近线方程为y=@x,则该双曲线的离心
a252
率是•
【答案】:3
2
【解析】
【分析】
根据渐近线方程求得。,由此求得c,进而求得双曲线的离心率.
【详解】双曲线《一上=1,故人=石.由于双曲线的一条渐近线方程为),=遮%,即2=好=>-2,
a25'2a2
.________c3
所以=、4+5=3,所以双曲线的离心率为一二大.
a2
3
故答案为:-
2
【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线,考查双曲线离心率的求法,属于基础题.
2
7.已知产/a)是奇函数,当於0时,=,则1-8)的值是.
【答案】-4
【解析】
【分析】
先求/(8),再根据奇函数求/(一8)
【详解】八8)=8:=4,因为A©为奇函数,所以/(-8)=-/(8)=-4
故答案为:-4
【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值,考查基本分析求解能力,属基础题.
8.已知sin2(工+a)=—,则sin2a的值是____.
43
【答案】
3
【解析】
【分析】
直接按照两角和正弦公式展开,再平方即得结果.
【详解】Qsin2(^+a)=(^^cosa+-^-sintz)2=g(l+sin2a)
1八.c、2.c1
—(l+sin2«)=—sin2a=-
233
故答案为:~
【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式,考查基本分析求解能力,属基础题.
9.如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2cm,
高为2cm,内孔半轻为0.5cm,则此六角螺帽毛坯的体积是—cm.
【答案】126—£
2
【解析】
【分析】
先求正六棱柱体积,再求圆柱体积,相减得结果.
(详解】正六棱柱体积为6x且x22x2=12道
4
圆柱体积为档)2-2=5
所求几何体体积为126-1
故答案为:12-$/3——
2
【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积,考查基本分析求解能力,属基础题.
10.将函数)=3sin(2x+;)的图象向右平移百个单位长度,则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是
46
_,,,_5TT
【答案】%=--
24
【解析】
【分析】
先根据图象变换得解析式,再求对称轴方程,最后确定结果.
兀TT兀
【详解】y=3sin[2(x)+—]=3sin(2x---)
6412
2x一三二三十(&GZ)/.x=—+—(Z:GZ)
122242
57r
当%=—1时/=——
24
故答案为:-X=-T-
24
【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴,考查基本分析求解能力,属基础题.
11.设{&}是公差为d的等差数列,{为}是公比为q的等比数列.已知数歹!]{的+勿}的前〃项和
S,,=-〃+2"-1(〃wN'),则d+q的值是.
【答案】4
【解析】
【分析】
结合等差数列和等比数列前〃项和公式的特点,分别求得{«,},{〃}的公差和公比,由此求得d+私
【详解】设等差数列{4}公差为d,等比数列{2}的公比为9,根据题意
2
等差数列{为}的前〃项和公式为Pn=na}+“5川J=-rt+P,--L,
等比数列也}的前n项和公式为Q=伪(1_:)=一W-q"+4-,
\-q\-q\-q
即“2―“+2"-]=@“2+jqn—^—q"+"-,
依题意5,,=与+Q„,
2\2y\—qi-q
-=1
故d+〃=4.
i-q
故答案为:4
【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前〃项和公式,属于中档题.
12.已知5x2/+/=l(x,ye/?),贝ijj2+y2的最小值是
4
【答案】y
【解析】
【分析】
根据题设条件可得心丁,可得Y+八察+"#+孚,利用基本不等式即可求解.
【详解】v5x2/+/=i
"0且八空
•」+力空+/=5+m2己百十当且仅当9=9即-QW时取等号.
.•.^+了的最小值为:.
4
故答案为:—■
【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,
二定,三相等”的内涵:一正是,首先要判断参数是否为正;二定是,其次要看和或积是否为定值(和定积
最大,积定和最小);三相等是,最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数否在定义
域内,二是多次用2或4时等号能否同时成立).
13.在△ABC中,A8=4,AC=3,N8AC=90。,。在边BC上,延长AO到P,使得AP=9,若
3
PA=mPB+(--m)PC(机为常数),则C£>的长度是.
]Q
【答案】—
【解析】
【分析】
根据题设条件可设=结合R4=,〃?B+与民O,C三点共线,可求得几,再根据
勾股定理求出BC,然后根据余弦定理即可求解.
【详解】•.•ARP三点共线,
,可设PA=/lP£>(/l>0),
3
若加#0且二,则8,2C三点共线,
2
•;AP—9)AD=3,
•.1A8=4,AC=3,N5AC=90。,
,BC=5,
设CO=x,NCDA=6,则BO=5-x,ZBDA=^-0.
AD2+CD2-AC2xAD2+BD2-AB2(5r)J7
•••根据余弦定理可得cos6=——cos(4一e)=
2ADCD62ADBD6(5r)
cosO+cos(万一,)=0,
XJ5T)、7解得x=£,
66(5-x)
CD的长度为匚.
当m=°时'叫如'CD重合'此时CD的长度为。,
33
当〃?=一时,PA=-PB,8,0重合,此时PA=12,不合题意,舍去.
22
1Q
故答案为:0或
【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力,解答本题的关键是设出
E4=/lPD(2>0).
14.在平面直角坐标系xOy中,已知P(乎,0),A,B是圆C:x2+(y-^)2=36上的两个动点,满足PA=PB,
则△出8面积的最大值是.
【答案】106
【解析】
【分析】
根据条件得PC±A3,再用圆心到直线距离表示三角形PAB面积,最后利用导数求最大值.
【详解】QPA=PB;.PC上AB
设圆心C到直线AB距离为d,则|AB|=2,36-屋,|PC|=+;=1
所以SvPAR4g•2,36-13+1)='(36_/)("1)2
令y=(36—/)(d+l)2(0<J<6)/=2(d+1)(—2d?-d+36)=0..d=4(负值舍去)
当o〈d<4时,y>o;当4<〃<6时、y<o,因此当d=4时,)'取最大值,即sPAB取最大值为IOJG,
故答案为:106
【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值,考查综合分析求解能力,属中档题.
二、解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤.
15.在三棱柱ABC-AiBCi中,AB1AC,8CJ_平面ABC,E,P分别是AC,BC的中点.
(1)求证:EF〃平面ASG;
(2)求证:平面平面AB8.
【答案】(1)证明详见解析;(2)证明详见解析.
【解析】
【分析】
(1)通过证明瓦V/A4,来证得E/〃平面
(2)通过证明45,平面世。,来证得平面平面
【详解】(1)由于民厂分别是ACgC的中点,所以EF//AB」
由于EF仁平面AB£,的u平面AB©,所以EFH平面AB©.
(2)由于4。,平面ABC,AB\平面ABC,所以
由于AB,AC,ACc4C=C,所以48,平面做C,
由于ABi平面ABg,所以平面AgC,平面ABB1.
【点睛】本小题主要考查线面平行的证明,考查面面垂直的证明,属于中档题.
16.在aABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,c=后,3=45。.
A
(1)求sinC的值;
4
(2)在边5C上取一点。,使得cosNAOC=—《,求tan/DAC的值.
【答案】(1)sinC=—;(2)tanZDAC=—.
511
【解析】
【分析】
(1)利用余弦定理求得b,利用正弦定理求得sinC.
(2)根据馍$乙4。。的值,求得sin/AOC的值,由(1)求得cosC的值,从而求得sinZDAC,cosNDAC
的值,进而求得tanNDAC的值.
【详解】(1)由余弦定理得〃=a2+c2-2accos8=9+2-2x3xJ^x也=5,所以人=6.
2
由正弦定理得荒=熹=.0=竿=李.
(2)由于cosNADC=-±,ZADC—,7i,所以sinNA£>C=—cos?N4DC=°.
5U)5
由于Z4OCE1],乃,所以Cw(。,],所以cosC=Jl—sin2C=
所以sinZZMC=sin(乃一ZZMC)=sin(ZADC+ZC)
=sinZADC-cosC+cosZADC-sinC=—x^^-
55
2
由于/DACe(0,—j,所以cosND4c=Vl-SinZZMC=^-^
25
sinNDAC2
所以tanZDAC
cosZ.DACn
【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形,考查三角恒等变换,属于中档题.
17.某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底。在水平线MN上,桥AB与MN
平行,OO'为铅垂线(。'在AB上).经测量,左侧曲线A0上任一点D到的距离九(米)与D到OO'的距
离。(米)之间满足关系式々;右侧曲线80上任一点尸到的距离4(米)与尸到的距离以米)
6+66.已知点B到0。的距离为40米.
(1)求桥AB的长度;
(2)计划在谷底两侧建造平行于0。'的桥墩8和所,且CE为80米,其中C,E在AB上(不包括端点).
3
桥墩EF每米造价M万元)、桥墩CD每米造价2k(万元)(&>0).问O'E为多少米时,桥墩CO与所的总造价
最低?
【答案】(1)120米(2)O'E=20米
【解析】
【分析】
(1)根据A,B高度一致列方程求得结果;
(2)根据题意列总造价函数关系式,利用导数求最值,即得结果.
【详解】(1)由题意得」-|O'A|2=一一Lx40'+6x40:.|O'A|=80
40800
\AB|=|O'A|+1O'B|=80+40=120米
⑵设总造价为/⑺万元’|。,。£*8。76。,设|。为一,
i31
/(x)=Zr(160+—X3-6X)+^[160--(80-X)2],(0<X<40)
f(x)=k(l60+工x3--^-x2),f'(x)=V_*%)=0x=20(0舍去)
o(X)oOoOOoO
当0<x<20时,/'(x)<0;当20<x<40时,/'(x)>(),因此当x=20时,八幻取最小值,
答:当O'E=20米时,桥墩CD与EF总造价最低.
【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值,考查基本分析求解能力,属中档题.
18.在平面直角坐标系*0),中,已知椭圆七:宁+q=1的左、右焦点分别为Q,B,点4在椭圆E上且在
第一象限内,AF2LFlF2,直线AQ与椭圆E相交于另一点8.
(1)求的周长;
(2)在x轴上任取一点P,直线AP与椭圆E的右准线相交于点。,求OPQP的最小值;
(3)设点M在椭圆E上,记△OAB与AMAB的面积分别为52,若a=351,求点M的坐标.
【答案】⑴6;(2)-4;(3)M(2,0)或(一右一£
【解析】
【分析】
(1)根据椭圆定义可得A[+A6=4,从而可求出△Af;g的周长;
(2)设尸(不,()),根据点A在椭圆E上,且在第一象限,AF2±F}F2,求出根据准线方程得Q
点坐标,再根据向量坐标公式,结合二次函数性质即可出最小值;
9
(3)设出设“(鼻弘),点M到直线AB的距离为d,由点。到直线AB的距离与52=3号,可推出d=1,
根据点到直线的距离公式,以及〃(x,y)满足椭圆方程,解方程组即可求得坐标.
22
【详解】(l);椭圆E的方程为三+匕=1
43
.♦.4(-1,0),6(1,0)
由椭圆定义可得:+A5=4.
△人耳工的周长为4+2=6
(2)设夕(天,0),根据题意可得与Hl.
•.•点A在椭圆E上,且在第一象限,AF21F,F2
•••准线方程为x=4
••.。(4,为)
/.OPQP=(x0,Oy(x0-4,-yQ)=(%-4)%=(%-2)2-42T,当且仅当面=2时取等号.
OP-QP的最小值为-4.
⑶设M&,X),点M到直线AB的距离为
耳(一1,0)
3
...直线AK的方程为y=;(x+l)
3
・・,点。到直线A3的距离为:,S2=35,
131
.・.S2=3S,=3x-x\AB\x-=-\AB[d
5
.•.函-4y+3|=9①
22
•••士+里=1②
43
2
fr-2xi=-7
联立①②解得《।八,<二.
12
j=°v_
.•.M(2,0)或(一,募)
【点睛】本题考查了椭圆的定义,直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用,熟悉运用公式以及根
9
据S2=3号推出d=g是解答本题的关键.
19.己知关于x的函数y=/(x),y=g(x)与h(x)=kx+b(k,beR)在区间D上恒有/(x)>h(x)>g(x).
(1)若〃X)=X2+2X,g(x)=-x2+2x,D=(-oo,+oo),求〃(x)的表达式;
(2)若f(x)=f-x+Lg(x)=k\nx,h(x)=kx-k,D=(0,+oo),求/的取值范围;
(3)若/(x)=X4-2X2,g(x)=4x2-8,〃(x)=4(/2-f)x-3〃+23(0<|r|W应),D=[m,[应,及],求
证:n—m<币.
【答案】⑴h(x)=2Xi(2)Are[0,3];(3)证明详见解析
【解析】
【分析】
(1)求得/(X)与g(x)的公共点,并求得过该点的公切线方程,由此求得/l(x)的表达式.
(2)先由〃(x)—g(x)“,求得出的一个取值范围,再由/(力一/i(x)20,求得我的另一个取值范围,
从而求得女的取值范围.
(3)先由〃力之〃(力,求得||的取值范围,由方程g(x)-〃(x)=0的两个根,求得〃一机的表达式,利
用导数证得不等式成立.
【详解】(1)由题设有一丁+2%<乙+》</+2》对任意的xeR恒成立.
令x=0,则0K6K0,所以8=0.
因此依《%2+2X即f+(2—Z)x20对任意的xeR恒成立,
所以A=(2-左『《(),因此k=2.
故〃(x)=2x.
(2)令—g(x)=Z(x—1—lnx)(x>0),F(l)=0.
又~-.
若k<0,则尸(x)在(0,1)上递增,在(L+?)上递减,则广(%)/尸(1)=0,即〃(x)—g(x)W(),不符
合题意.
当左=0时,尸(x)=〃(x)-g(x)=0,〃(x)=g(x),符合题意.
当k>0时,尸(x)在(0,1)上递减,在(1,+?)上递增,则尸(力2/(1)=0,
即〃(x)—g(x)»0,符合题意.
综上所述,k>0.
由/(x)-/z(x)=x2-x+l-(^r-Z:)=x2_(k+l)x+(Z+l)20
当%=幺?<0,即左<一1时,y=f-(%+i)x+Z+i在(0,+?)为增函数,
因为/(。)一〃(。)=k+1<。,
故存在为€(0,+8),使/(»-//(力<0,不符合题意.
当x="=0,即女=一1时,/(x)-/z(x)=x2>0,符合题意.
当了=可>0,即女>一1时,则需△=(左+1)—4(2+1)40,解得一1<ZW3.
综上所述,k的取值范围是攵£[0,3].
(3)因为/-2工2>4^/3—zjx-3/4+2厂之4V-8对任意x£[〃2,〃]u[—0,0]恒成立,
x4-2炉之4(--rjx-3r4+2产对任意工£[〃?,〃]u[—血,8]恒成立,
等价于(x-,)2(必+2tx+3--2)20对任意不£[加,川u[-O,夜]恒成立.
故M+2比+3/-2>0对任意xe[m,n]cz[-V2,应]恒成立.
令M(x)=d+2tx+3r-2,
当0</<1,A=-8/24-8>0,-1<—t<19
此时〃—m+w<+1<,
当1〈产<2,A=-8r+8<0,
但4/-8>4d-。x—3〃+2厂对任意的》6[/?7,川(=|—行,夜]恒成立.
等价于41一4(尸一。x+(3产+4乂产-2)<0对任意的xe[加,川u[—后,夜]恒成立.
4/一4(/_/卜+(3/+4)(产-2)=0的两根为孙马,
4
„„33t-2r-8
则x1+x2=t-t,x1*x2=-------------,
所以"一根=|九]一*21=+龙2『-4%%2=〃_5/+3/+8-
令*=4;141,2],则|〃一时=〃3一5%+3/1+8.
构造函数。(4)=万一5万+32+8(46[1,2]),户(4)=342-l(M+3=(/l—3)(3/l—l),
所以;时,P(%)<0,P(/l)递减,P(A)mix=P(1)=7.
所以(“一〃Z)m[K=H>BPn—m<yf7.
【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程,考查利用导数研究不等式恒成立问题,考查利用导数证
明不等式,考查分类讨论的数学思想方法,属于难题.
20.已知数列{q,}("€N*)的首项0=1,前〃项和为设入与左是常数,若对一切正整数〃,均有
1I1
S%成立,则称此数列为数列・
(1)若等差数列{4}是“入~1”数列,求人的值;
(2)若数列{《,}是“4-?”数列,且斯>0,求数列{4}的通项公式;
⑶对于给定的入,是否存在三个不同的数列{4}为3~3”数列,且斯加?若存在,求人的取值范围;若不
存在,说明理由,
【答案】(1)1
1,〃=1
⑵13W22
(3)0<2<1
【解析】
【分析】
(1)根据定义得5„+|-5„=Aan+I,再根据和项与通项关系化简得«„+1=义4+1,最后根据数列不为零数列
得结果;
根据定义得、「根据平方差公式化简得求得即得a
(2)s„+J-sj=2(S“+S”)"=45“,5„,n;
1II
(3)根据定义得s“+J_sj利用立方差公式化简得两个方程,再根据方程解的个数确定参数满
足的条件,解得结果
[详解](1)Sn+l-s„=Aan+Ian+l=Aan+]Q«,=1.\an+i^0:.A=\
(2)
Q«„>o.-.srt+l>s„.-.V-5,J>o
QS/f2管Sw-S.)
)2=1(sj-s)xsj+s))
_LJ.[J.111
s?=3(S."+S”5),S“#=2S,F.•.Se=4S“...S“=4'I
1
S|=q=1,Sn=4"
.•.a,,=4"T-4"-2=3.4"-2,〃》2
'l,n=l
3-4"-2,n>2
(3)假设存在三个不同的数列{q}为"4-3"数列.
—S/,(S,/—S,『)3=分⑸M—S")
•1■s,j=S,或⑸+5-S,『)2=万⑸/+S,「+S,,5j)
221J
••・S+1=S"或(分一i)s“+:+(万一DS/+啰+2电+内/=0
•..对于给定的X,存在三个不同的数列{q}为“2-3”数列,且4,20
1,72=1222I
或(万一电+¥+(万+(万+邓『有两个不等的正根•
•■•««=101—DS/24+=0(2^1)
2222
(万—1)S“j+(万—1)S,『+(矛+2)S,3s『=0(2丰1)可转化为
I11
|一呼+1(41)+冲+平"=0(/到,不妨设(舁1=尤(1〉0),则
V3V3IS,」
(23一1)/+(才+2)x+(23-1)=0(2^1)有两个不等正根,设
/(x)=(23-l)x2+(万+2)x+(23-1)=0(2^1).
①当九<1时,A=(23+2)2-4(/l3-l)2>0=0<X3<4,即0<a<1,此时/(0)=万一1<。,
X对=_(':2)>0,满足题意.
对2(23-1)
②当4>1时,△=(分+2)2-4(/13一1)2〉0=0<;13<4,即1<丸(狎,此时
/(())=A3-l>0,x对此情况有两个不等负根,不满足题意舍去.
综上,0<4<1
【点睛】本题考查数列新定义、由和项求通项、一元二次方程实根分步,考查综合分析求解能力,属难题.
数学n(附加题)
【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若
多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修4-2:矩阵与变换]
21.平面上点42,-1)在矩阵M=::对应变换作用下得到点8(3,-4).
-1b
(1)求实数。,b的值;
(2)求矩阵M的逆矩阵
'2_£
a=2.55
【答案】(1),…⑵M-'=,:.
p=212
.55_
【解析】
【分析】
(1)根据变换写出具体的矩阵关系式,然后进行矩阵的计算可得出实数。力的值;
(2)设出逆矩阵,由定义得到方程,即可求解.
.、[a11,
【详解】(1)•••平面上点4(2,-1)在矩阵"=-b对应的变换作用下得到点B(3,V)
alir2~|「3
•二
'-1。」|_-1」一»_
2tz-1=3a=2
,解得《
—2—£»=—4b=2
mn2m+c2n+d10
(2)设犷,则MA/T
c—m+2c—n+2d01
2
m=—
5
2m+c=11
n=——
2〃+d=05
f+2"。’解得
1
-n+2J=15
d=2
5
21
55
M-'
2
,55
【点睛】本题考查矩阵变换的应用,考查逆矩阵的求法,解题时要认真审题,属于基础题.
B.[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.在极坐标系中,已知点Asg)在直线/:Qcos夕=2上,点8(02)在圆C:。=4sin6上(其中「》0,
36
0<0<2/r\
(1)求月,22的值
(2)求出直线/与圆C的公共点的极坐标.
【答案】⑴p,=4,02=2(2)(2逝,()
【解析】
【分析】
(1)将A,B点坐标代入即得结果;(2)联立直线与圆极坐标方程,解得结果.
【详解】(1)以极点为原点,极轴为无轴的正半轴,建立平面直角坐标系,
7T―4
P\COSy=2,/.8=4,
因为点B为直线6=(■上,故其直角坐标方程为y=
又夕=4sin6对应的圆的直角坐标方程为:x2+y2-4y=0,
[6
y=—xx=\/3
由,3解得
7=0^y=i
x2+y2-4y=Q
对应的点为(O,O),(G,1),故对应的极径为02=0或22=2.
(2)夕cos9=2,p=4sin.,.4sin0cos9=2、sin20=1,
^£[0,2^),.-.^=-,—,
44
当。=5时夕=2拒;
当。=红时夕=—2夜<0,舍;即所求交点坐标为当(20,f),
44
【点睛】本题考查极坐标方程及其交点,考查基本分析求解能力,属基础题.
C.[选修4-5:不等式选讲]
23.设xeR,解不等式2|x+l|+|x|<4.
【答案】(一2,|)
【解析】
【分析】
根据绝对值定义化为三个方程组,解得结果
x<-l-l<x<0x>0
【详解】CC(或、C4或hC4
—2x—2—xv42x+2—xv42x+2+xv4
2
二.一2<尢<一1或一IWXWO或0cxe一
3
所以解集为:(-2,1)
【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式,考查基本分析求解能力,属基础题.
【必做题】第24题、第25题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时
应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
24.在三棱锥A—BCD中,已知CB=CD=布,BD=2,。为BQ的中点,AO_L平面BCD,A0=2,E为AC的
中点.
(1)求直线AB与DE所成角的余弦值;
若点F在BC上,满足由*设二面角F—OE—C的大小为氏求sin。的值.
(2)
【答案】(1)叵(2)空19
1513
【解析】
【分析】
(1)建立空间直角坐标系,利用向量数量积求直线向量夹角,即得结果;
(2)先求两个平面法向量,根据向量数量积求法向量夹角,最后根据二面角与向量夹角关系得结果.
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