2020年江苏省高考数学真题（含答案解析）

绝密★启用前

2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学I

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1.本试卷共4页，均为非选择题（第1题~第20题，共20题）。本卷满分为160分，考试时间

为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题

卡的规定位置.

3.请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作

答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

参考公式：

柱体的体积v=s〃，其中s是柱体的底面积，力是柱体的高.

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

1.已知集合4={-1,0,1,2},3={0,2,3},则AB=.

2.已知i是虚数单位，则复数z=（I+i）（2-i）的实部是.

3.已知一组数据4,2a,3-。,5,6平均数为4,则a的值是.

4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是.

5.如图是一个算法流程图，若输出）'的值为-2,则输入X的值是.

6.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线工-2：=l(a>0)的一条渐近线方程为y=@x,则该双曲线的离心

a-52

率是—.

7.己知内㈤是奇函数，当后0时，=j，则尺8)的值是.

8.已知sin“工+a)=—,贝Usin2a的值是.

43

9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2cm,

高为2cm,内孔半轻为0.5cm,则此六角螺帽毛坯的体积是一cm.

10.将函数尸3sin(2廿巴)的图象向右平移三个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是

46

11.设｛。“｝是公差为d的等差数列，｛〃“｝是公比为q的等比数列.已知数列｛。"+为｝的前"项和

S“="一〃+2"-1(〃6N+),则d+q的值是.

12.已知5X2/+/-1(X,ywR),贝Ux2+y1的最小值是.

13.在△ABC中，AB=4,AC=3,/84。=90。,。在边8(7上，延长4。到尸，使得AP=9,若

14.在平面直角坐标系xOy中，己知尸(?,0),A,8是圆C：x?+(y-g>=36上的两个动点，满足PA=PB,

则△以B面积的最大值是.

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤.

15.在三棱柱ABC-ABiG中，AB1AC,SC，平面ABC,E,尸分别是AC,BC的中点.

(1)求证：EF〃平面ABiG；

(2)求证：平面ABCJ_平面AB®.

16.在AABC中，角A,B,C的对边分别为小b,c,已知a=3,c=0,3=45。.

(1)求sinC的值；

4

(2)在边8C上取一点£>,使得cosNAOC=-《，求tan/D4c的值.

17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底。在水平线MN上，桥AB与MN

平行，。0'为铅垂线(0'在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离%侏)与D到。。'的距

离。(米)之间满足关系式％=4/;右侧曲线5。上任一点F到MN的距离"(米)与尸到。0'的距离仇米)

之间满足关系式％=-工〃3+6瓦已知点B到00'的距离为40米.

MD1ON

(1)求桥AB的长度；

(2)计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CO和E凡且CE为80米，其中C,E在AB上(不包括端点).

3

桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CQ每米造价(万元)(Q0).问O'E为多少米时，桥墩与EF的总造价

最低？

18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E:土+二=1的左、右焦点分别为Q,尸2,点A在椭圆E上且在

43

第一象限内，AF2VFyF2,直线AQ与椭圆E相交于另一点B.

(1)求JAF1F2的周长;

(2)在x轴上任取一点P,直线AP与椭圆E的右准线相交于点。，求OP.QP的最小值；

(3)设点M在椭圆E上，记AOAB与AMAB的面积分别为5rS2,若52=3S”求点M的坐标.

19.己知关于X的函数y=f(x),y=g(x)与h(x)=kx+b(k,b&R)在区间D上恒有f(x)>h(x)>g(x).

(1)/(x)=x2+2x,g(x)=-x2+2x,0=(-8),求〃(x)的表达式；

(2)若/(x)=f-x+Lg(x)=Zlnx,h(x)=kx-k,D=(0,+oo),求人取值范围；

(3)若/(x)=X4-2X2,g(x)=4X2-8,h｛x｝=4(产-f)x-3尸+2/(0<|f[W应)，D=[m,"]仁卜3,应]，求

证：n—m<币.

20.已知数列｛q,｝(〃e")的首项。尸1,前〃项和为S,,.设入与人是常数，若对一切正整数”，均有

1I1

CI_CI_；/,%成立，则称此数列为"~犬'数列•

(1)若等差数列｛4｝是"7"数列，求入值；

(2)若数列｛q｝是“弓-2”数列，且为>0,求数列｛为｝的通项公式；

(3)对于给定的入，是否存在三个不同的数列｛。,,｝为"〜3”数列，且如K)?若存在，求人的取值范围；若不

存在，说明理由,

数学n（附加题）

【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若

多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A.［选修4-2：矩阵与变换］

21.平面上点42,-1）在矩阵;1对应的变换作用下得到点砥3,T）.

-1b

（1）求实数。，b的值；

（2）求矩阵M的逆矩阵A/T.

B.［选修4-4：坐标系与参数方程］

22.在极坐标系中，已知点Ag,《）在直线I:pcos。=2上，点在圆C:Q=4sin6上（其中。20,

36

04。<27）.

（1）求月，p2值

（2）求出直线/与圆C的公共点的极坐标.

C.［选修4-5：不等式选讲］

23.设xeR，解不等式2|x+l|+|x|<4.

【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时

应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

24.在三棱锥A—BC。中，已知CB=CD=下,BD=2,O为BD中点，AOIWBCD,A0=2,E为AC的

中点.

（1）求直线AB与。E所成角的余弦值；

（2）若点F在BC上，满足设二面角F—QE—C的大小为仇求sin。的值.

4

25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放

入另一口袋，重复〃次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X”，恰有2个黑球的概率为p“，恰有1个黑球

的概率为qn.

(1)求piq和P2@；

(2)求2p“+q”与2p“.|+如.|的递推关系式和X”的数学期望E(X”)(用〃表示).

绝密★启用前

2020年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)

数学I

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1.本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。本卷满分为160分，考试时间

为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题

卡的规定位置.

3.请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作

答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

参考公式：

柱体的体积v=s〃，其中s是柱体的底面积，力是柱体的高.

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

1.已知集合人={-1,0,1,2},3={0,2,3},则AB=.

【答案】{0,2}

【解析】

【分析】

根据集合的交集即可计算.

【详解】VA={-1,0,={0,2,3}

AI8={0,2}

故答案为:{0,2}.

【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型.

2.已知i是虚数单位，则复数z=(l+i)(2—i)的实部是.

【答案】3

【解析】

【分析】

根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.

【详解】•.•复数z=（l+i）（2-i）

z=2-i+2i-i2=3+i

.••复数的实部为3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题.

3.已知一组数据4,2a,3-5,6的平均数为4,则。的值是___.

【答案】2

【解析】

【分析】

根据平均数的公式进行求解即可.

【详解】•.•数据4,2a,3-a,5,6的平均数为4

4+2a+3—a+5+6=20,即a=2.

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础.

4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是.

【答案】:

【解析】

【分析】

分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可.

［详解】根据题意可得基本事件数总为6x6=36个.

点数和为5的基本事件有（1,4）,（4,1）,（2,3）,（3,2）共4个.

41

・・・出现向上的点数和为5的概率为P=-=-.

故答案为：—.

【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

5.如图是一个算法流程图，若输出了的值为-2,则输入x的值是_____.

【答案】-3

【解析】

【分析】

根据指数函数的性质，判断出y=x+i,由此求得x的值.

【详解】由于2、>0,所以y=x+l=-2,解得％=-3.

故答案为：-3

【点睛】本小题主要考查根据程序框图输出结果求输入值，考查指数函数的性质，属于基础题.

6.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线£-?二=l（a>0）的一条渐近线方程为y=@x,则该双曲线的离心

a252

率是•

【答案】:3

2

【解析】

【分析】

根据渐近线方程求得。，由此求得c,进而求得双曲线的离心率.

【详解】双曲线《一上=1,故人=石.由于双曲线的一条渐近线方程为），=遮%，即2=好=>-2,

a25'2a2

.________c3

所以=、4+5=3,所以双曲线的离心率为一二大.

a2

3

故答案为：-

2

【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.

2

7.已知产/a）是奇函数，当於0时，=，则1-8）的值是.

【答案】-4

【解析】

【分析】

先求/(8),再根据奇函数求/(一8)

【详解】八8)=8：=4,因为A©为奇函数，所以/(-8)=-/(8)=-4

故答案为：-4

【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.

8.已知sin2(工+a)=—,则sin2a的值是____.

43

【答案】

3

【解析】

【分析】

直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.

【详解】Qsin2(^+a)=(^^cosa+-^-sintz)2=g(l+sin2a)

1八.c、2.c1

—(l+sin2«)=—sin2a=-

233

故答案为：~

【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.

9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2cm,

高为2cm,内孔半轻为0.5cm,则此六角螺帽毛坯的体积是—cm.

【答案】126—£

2

【解析】

【分析】

先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.

(详解】正六棱柱体积为6x且x22x2=12道

4

圆柱体积为档)2-2=5

所求几何体体积为126-1

故答案为：12-$/3——

2

【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.

10.将函数)=3sin(2x+；)的图象向右平移百个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是

46

_,,,_5TT

【答案】%=--

24

【解析】

【分析】

先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.

兀TT兀

【详解】y=3sin[2(x)+—]=3sin(2x---)

6412

2x一三二三十(&GZ)/.x=—+—(Z:GZ)

122242

57r

当％=—1时/=——

24

故答案为：-X=-T-

24

【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.

11.设｛&｝是公差为d的等差数列，｛为｝是公比为q的等比数列.已知数歹!]｛的+勿｝的前〃项和

S,,=-〃+2"-1(〃wN'),则d+q的值是.

【答案】4

【解析】

【分析】

结合等差数列和等比数列前〃项和公式的特点，分别求得｛«,｝,｛〃｝的公差和公比，由此求得d+私

【详解】设等差数列｛4｝公差为d,等比数列｛2｝的公比为9,根据题意

2

等差数列｛为｝的前〃项和公式为Pn=na｝+“5川J=-rt+P，--L,

等比数列也｝的前n项和公式为Q=伪(1_：)=一W-q"+4-,

\-q\-q\-q

即“2―“+2"-]=@“2+jqn—^—q"+"-,

依题意5,,=与+Q„,

2\2y\—qi-q

-=1

故d+〃=4.

i-q

故答案为：4

【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前〃项和公式，属于中档题.

12.已知5x2/+/=l（x,ye/?）,贝ijj2+y2的最小值是

4

【答案】y

【解析】

【分析】

根据题设条件可得心丁，可得Y+八察+"#+孚，利用基本不等式即可求解.

【详解】v5x2/+/=i

"0且八空

•」+力空+/=5+m2己百十当且仅当9=9即-QW时取等号.

.•.^+了的最小值为：.

4

故答案为：—■

【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正,

二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积

最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义

域内，二是多次用2或4时等号能否同时成立）.

13.在△ABC中，A8=4,AC=3,N8AC=90。,。在边BC上，延长AO到P,使得AP=9,若

3

PA=mPB+（--m）PC（机为常数），则C£＞的长度是.

]Q

【答案】—

【解析】

【分析】

根据题设条件可设=结合R4=，〃?B+与民O,C三点共线，可求得几，再根据

勾股定理求出BC,然后根据余弦定理即可求解.

【详解】•.•ARP三点共线,

，可设PA=/lP£>（/l>0）,

3

若加#0且二，则8,2C三点共线,

2

•；AP—9）AD=3,

•.1A8=4,AC=3,N5AC=90。,

，BC=5,

设CO=x,NCDA=6,则BO=5-x,ZBDA=^-0.

AD2+CD2-AC2xAD2+BD2-AB2（5r）J7

•••根据余弦定理可得cos6=——cos（4一e）=

2ADCD62ADBD6（5r）

cosO+cos（万一，）=0,

XJ5T）、7解得x=£,

66（5-x）

CD的长度为匚.

当m=°时'叫如'CD重合'此时CD的长度为。,

33

当〃?=一时，PA=-PB,8,0重合，此时PA=12,不合题意，舍去.

22

1Q

故答案为：0或

【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出

E4=/lPD(2>0).

14.在平面直角坐标系xOy中，已知P(乎,0),A,B是圆C：x2+(y-^)2=36上的两个动点，满足PA=PB,

则△出8面积的最大值是.

【答案】106

【解析】

【分析】

根据条件得PC±A3,再用圆心到直线距离表示三角形PAB面积，最后利用导数求最大值.

【详解】QPA=PB;.PC上AB

设圆心C到直线AB距离为d,则|AB|=2,36-屋,|PC|=+；=1

所以SvPAR4g•2,36-13+1)='(36_/)("1)2

令y=(36—/)(d+l)2(0<J<6)/=2(d+1)(—2d?-d+36)=0..d=4(负值舍去)

当o〈d<4时，y>o；当4<〃<6时、y<o,因此当d=4时，)'取最大值，即sPAB取最大值为IOJG，

故答案为：106

【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤.

15.在三棱柱ABC-AiBCi中，AB1AC,8CJ_平面ABC,E,P分别是AC,BC的中点.

(1)求证：EF〃平面ASG；

(2)求证：平面平面AB8.

【答案】(1)证明详见解析；(2)证明详见解析.

【解析】

【分析】

(1)通过证明瓦V/A4,来证得E/〃平面

(2)通过证明45,平面世。，来证得平面平面

【详解】(1)由于民厂分别是ACgC的中点，所以EF//AB」

由于EF仁平面AB£，的u平面AB©,所以EFH平面AB©.

(2)由于4。，平面ABC,AB\平面ABC,所以

由于AB，AC,ACc4C=C,所以48,平面做C,

由于ABi平面ABg,所以平面AgC,平面ABB1.

【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，属于中档题.

16.在aABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,c=后,3=45。.

A

(1)求sinC的值；

4

(2)在边5C上取一点。，使得cosNAOC=—《，求tan/DAC的值.

【答案】(1)sinC=—；(2)tanZDAC=—.

511

【解析】

【分析】

(1)利用余弦定理求得b,利用正弦定理求得sinC.

(2)根据馍$乙4。。的值，求得sin/AOC的值，由(1)求得cosC的值，从而求得sinZDAC,cosNDAC

的值，进而求得tanNDAC的值.

【详解】(1)由余弦定理得〃=a2+c2-2accos8=9+2-2x3xJ^x也=5，所以人=6.

2

由正弦定理得荒=熹=.0=竿=李.

(2)由于cosNADC=-±,ZADC—,7i,所以sinNA£>C=—cos?N4DC=°.

5U)5

由于Z4OCE1],乃,所以Cw(。,],所以cosC=Jl—sin2C=

所以sinZZMC=sin(乃一ZZMC)=sin(ZADC+ZC)

=sinZADC-cosC+cosZADC-sinC=—x^^-

55

2

由于/DACe(0,—j,所以cosND4c=Vl-SinZZMC=^-^

25

sinNDAC2

所以tanZDAC

cosZ.DACn

【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题.

17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底。在水平线MN上，桥AB与MN

平行，OO'为铅垂线（。'在AB上）.经测量，左侧曲线A0上任一点D到的距离九（米）与D到OO'的距

离。（米）之间满足关系式々；右侧曲线80上任一点尸到的距离4（米）与尸到的距离以米）

6+66.已知点B到0。的距离为40米.

（1）求桥AB的长度;

（2）计划在谷底两侧建造平行于0。'的桥墩8和所，且CE为80米，其中C,E在AB上（不包括端点）.

3

桥墩EF每米造价M万元）、桥墩CD每米造价2k（万元）（&>0）.问O'E为多少米时，桥墩CO与所的总造价

最低?

【答案】（1）120米（2）O'E=20米

【解析】

【分析】

（1）根据A,B高度一致列方程求得结果;

（2）根据题意列总造价函数关系式，利用导数求最值，即得结果.

【详解】（1）由题意得」-|O'A|2=一一Lx40'+6x40:.|O'A|=80

40800

\AB|=|O'A|+1O'B|=80+40=120米

⑵设总造价为/⑺万元’|。,。£*8。76。，设|。为一,

i31

/(x)=Zr(160+—X3-6X)+^[160--(80-X)2],(0<X<40)

f(x)=k(l60+工x3--^-x2),f'(x)=V_*%)=0x=20(0舍去)

o(X)oOoOOoO

当0<x<20时，/'(x)<0；当20<x<40时，/'(x)>(),因此当x=20时，八幻取最小值，

答：当O'E=20米时，桥墩CD与EF总造价最低.

【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.

18.在平面直角坐标系*0)，中，已知椭圆七:宁+q=1的左、右焦点分别为Q,B，点4在椭圆E上且在

第一象限内，AF2LFlF2,直线AQ与椭圆E相交于另一点8.

(1)求的周长;

(2)在x轴上任取一点P,直线AP与椭圆E的右准线相交于点。，求OPQP的最小值；

(3)设点M在椭圆E上，记△OAB与AMAB的面积分别为52,若a=351,求点M的坐标.

【答案】⑴6；(2)-4；(3)M(2,0)或(一右一£

【解析】

【分析】

(1)根据椭圆定义可得A[+A6=4,从而可求出△Af；g的周长;

(2)设尸(不，())，根据点A在椭圆E上，且在第一象限，AF2±F}F2,求出根据准线方程得Q

点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值;

9

(3)设出设“(鼻弘)，点M到直线AB的距离为d，由点。到直线AB的距离与52=3号，可推出d=1，

根据点到直线的距离公式，以及〃(x，y)满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标.

22

【详解】(l)；椭圆E的方程为三+匕=1

43

.♦.4(-1,0),6(1,0)

由椭圆定义可得：+A5=4.

△人耳工的周长为4+2=6

(2)设夕(天,0),根据题意可得与Hl.

•.•点A在椭圆E上，且在第一象限，AF21F,F2

•••准线方程为x=4

••.。(4,为)

/.OPQP=(x0,Oy(x0-4,-yQ)=(%-4)%=(%-2)2-42T,当且仅当面=2时取等号.

OP-QP的最小值为-4.

⑶设M&，X),点M到直线AB的距离为

耳(一1,0)

3

...直线AK的方程为y=；(x+l)

3

・・,点。到直线A3的距离为：，S2=35,

131

.・.S2=3S,=3x-x\AB\x-=-\AB[d

5

.•.函-4y+3|=9①

22

•••士+里=1②

43

2

fr-2xi=-7

联立①②解得《।八，＜二.

12

j=°v_

.•.M(2,0)或(一,募)

【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及根

9

据S2=3号推出d=g是解答本题的关键.

19.己知关于x的函数y=/(x),y=g(x)与h(x)=kx+b(k,beR)在区间D上恒有/(x)＞h(x)＞g(x).

(1)若〃X)=X2+2X,g(x)=-x2+2x,D=(-oo,+oo),求〃(x)的表达式；

(2)若f(x)=f-x+Lg(x)=k\nx,h(x)=kx-k,D=(0,+oo),求/的取值范围；

(3)若/(x)=X4-2X2,g(x)=4x2-8,〃(x)=4(/2-f)x-3〃+23(0＜|r|W应)，D=［m,［应，及］，求

证：n—m＜币.

【答案】⑴h(x)=2Xi(2)Are［0,3］；(3)证明详见解析

【解析】

【分析】

(1)求得/(X)与g(x)的公共点，并求得过该点的公切线方程，由此求得/l(x)的表达式.

(2)先由〃(x)—g(x)“，求得出的一个取值范围，再由/(力一/i(x)20,求得我的另一个取值范围，

从而求得女的取值范围.

(3)先由〃力之〃(力，求得||的取值范围，由方程g(x)-〃(x)=0的两个根，求得〃一机的表达式，利

用导数证得不等式成立.

【详解】(1)由题设有一丁+2%＜乙+》＜/+2》对任意的xeR恒成立.

令x=0,则0K6K0,所以8=0.

因此依《%2+2X即f+(2—Z)x20对任意的xeR恒成立,

所以A=(2-左『《()，因此k=2.

故〃(x)=2x.

(2)令—g(x)=Z(x—1—lnx)(x>0),F(l)=0.

又~-.

若k<0,则尸(x)在(0,1)上递增，在(L+?)上递减,则广(%)/尸(1)=0,即〃(x)—g(x)W(),不符

合题意.

当左=0时,尸(x)=〃(x)-g(x)=0,〃(x)=g(x),符合题意.

当k>0时，尸(x)在(0,1)上递减，在(1,+?)上递增，则尸(力2/(1)=0,

即〃(x)—g(x)»0,符合题意.

综上所述，k>0.

由/(x)-/z(x)=x2-x+l-(^r-Z:)=x2_(k+l)x+(Z+l)20

当％=幺?<0,即左<一1时，y=f-(%+i)x+Z+i在(0,+?)为增函数，

因为/(。)一〃(。)=k+1<。,

故存在为€(0,+8),使/(»-//(力<0,不符合题意.

当x="=0,即女=一1时，/(x)-/z(x)=x2>0,符合题意.

当了=可>0,即女>一1时，则需△=(左+1)—4(2+1)40,解得一1<ZW3.

综上所述，k的取值范围是攵£[0,3].

(3)因为/-2工2>4^/3—zjx-3/4+2厂之4V-8对任意x£[〃2,〃]u[—0,0]恒成立，

x4-2炉之4(--rjx-3r4+2产对任意工£[〃?,〃]u[—血，8]恒成立，

等价于(x-，)2(必+2tx+3--2)20对任意不£[加,川u[-O,夜]恒成立.

故M+2比+3/-2>0对任意xe[m,n]cz[-V2,应]恒成立.

令M(x)=d+2tx+3r-2，

当0</<1,A=-8/24-8>0,-1<—t<19

此时〃—m+w<+1<,

当1〈产<2，A=-8r+8<0,

但4/-8>4d-。x—3〃+2厂对任意的》6[/?7,川（=|—行,夜]恒成立.

等价于41一4（尸一。x+（3产+4乂产-2）<0对任意的xe[加,川u[—后,夜]恒成立.

4/一4（/_/卜+（3/+4）（产-2）=0的两根为孙马,

4

„„33t-2r-8

则x1+x2=t-t,x1*x2=-------------，

所以"一根=|九]一*21=+龙2『-4%%2=〃_5/+3/+8-

令*=4；141,2],则|〃一时=〃3一5%+3/1+8.

构造函数。（4）=万一5万+32+8（46[1,2]）,户（4）=342-l（M+3=（/l—3）（3/l—l）,

所以；时，P（%）<0,P（/l）递减，P（A）mix=P（1）=7.

所以（“一〃Z）m[K=H>BPn—m<yf7.

【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导数证

明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.

20.已知数列｛q,｝（"€N*）的首项0=1,前〃项和为设入与左是常数，若对一切正整数〃，均有

1I1

S%成立，则称此数列为数列・

（1）若等差数列｛4｝是“入~1”数列，求人的值；

（2）若数列｛《,｝是“4-？”数列，且斯>0,求数列｛4｝的通项公式；

⑶对于给定的入，是否存在三个不同的数列｛4｝为3~3”数列，且斯加?若存在，求人的取值范围；若不

存在，说明理由，

【答案】（1）1

1,〃=1

⑵13W22

（3）0<2<1

【解析】

【分析】

（1）根据定义得5„+|-5„=Aan+I,再根据和项与通项关系化简得«„+1=义4+1,最后根据数列不为零数列

得结果;

根据定义得、「根据平方差公式化简得求得即得a

（2）s„+J-sj=2（S“+S”）"=45“，5„,n；

1II

（3）根据定义得s“+J_sj利用立方差公式化简得两个方程，再根据方程解的个数确定参数满

足的条件，解得结果

［详解］（1）Sn+l-s„=Aan+Ian+l=Aan+］Q«,=1.\an+i^0:.A=\

(2)

Q«„>o.-.srt+l>s„.-.V-5,J>o

QS/f2管Sw-S.)

)2=1(sj-s)xsj+s))

_LJ.[J.111

s?=3(S."+S”5)，S“#=2S,F.•.Se=4S“...S“=4'I

1

S|=q=1,Sn=4"

.•.a,,=4"T-4"-2=3.4"-2,〃》2

'l,n=l

3-4"-2,n>2

（3）假设存在三个不同的数列｛q｝为"4-3"数列.

—S/，(S,/—S,『)3=分⑸M—S")

•1■s,j=S，或⑸+5-S,『）2=万⑸/+S,「+S,，5j）

221J

••・S+1=S"或（分一i）s“+:+（万一DS/+啰+2电+内/=0

•..对于给定的X,存在三个不同的数列｛q｝为“2-3”数列，且4,20

1,72=1222I

或（万一电+¥+（万+（万+邓『有两个不等的正根•

•■•««=101—DS/24+=0（2^1）

2222

（万—1）S“j+（万—1）S,『+（矛+2）S,3s『=0（2丰1）可转化为

I11

|一呼+1（41）+冲+平"=0（/到,不妨设（舁1=尤（1〉0）,则

V3V3IS,」

(23一1)/+(才+2)x+(23-1)=0(2^1)有两个不等正根，设

/(x)=(23-l)x2+(万+2)x+(23-1)=0(2^1).

①当九<1时，A=(23+2)2-4(/l3-l)2>0=0<X3<4,即0<a<1,此时/(0)=万一1<。,

X对=_('：2)>0,满足题意.

对2(23-1)

②当4>1时，△=(分+2)2-4(/13一1)2〉0=0<；13<4,即1<丸(狎，此时

/（（））=A3-l>0,x对此情况有两个不等负根，不满足题意舍去.

综上，0<4<1

【点睛】本题考查数列新定义、由和项求通项、一元二次方程实根分步，考查综合分析求解能力，属难题.

数学n（附加题）

【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若

多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A.［选修4-2：矩阵与变换］

21.平面上点42,-1）在矩阵M=：：对应变换作用下得到点8（3,-4）.

-1b

（1）求实数。，b的值；

（2）求矩阵M的逆矩阵

'2_£

a=2.55

【答案】（1）,…⑵M-'=,:.

p=212

.55_

【解析】

【分析】

（1）根据变换写出具体的矩阵关系式，然后进行矩阵的计算可得出实数。力的值；

（2）设出逆矩阵，由定义得到方程，即可求解.

.、［a11,

【详解】（1）•••平面上点4（2,-1）在矩阵"=-b对应的变换作用下得到点B（3,V）

alir2~|「3

•二

'-1。」|_-1」一»_

2tz-1=3a=2

,解得《

—2—£»=—4b=2

mn2m+c2n+d10

(2)设犷,则MA/T

c—m+2c—n+2d01

2

m=—

5

2m+c=11

n=——

2〃+d=05

f+2"。’解得

1

-n+2J=15

d=2

5

21

55

M-'

2

,55

【点睛】本题考查矩阵变换的应用，考查逆矩阵的求法，解题时要认真审题，属于基础题.

B.［选修4-4：坐标系与参数方程］

22.在极坐标系中，已知点Asg)在直线/：Qcos夕=2上，点8(02)在圆C:。=4sin6上(其中「》0,

36

0<0<2/r\

(1)求月，22的值

(2)求出直线/与圆C的公共点的极坐标.

【答案】⑴p,=4,02=2(2)(2逝,()

【解析】

【分析】

(1)将A,B点坐标代入即得结果；(2)联立直线与圆极坐标方程，解得结果.

【详解】(1)以极点为原点，极轴为无轴的正半轴，建立平面直角坐标系，

7T―4

P\COSy=2,/.8=4,

因为点B为直线6=(■上，故其直角坐标方程为y=

又夕=4sin6对应的圆的直角坐标方程为：x2+y2-4y=0,

[6

y=—xx=\/3

由，3解得

7=0^y=i

x2+y2-4y=Q

对应的点为(O,O),(G,1)，故对应的极径为02=0或22=2.

(2)夕cos9=2,p=4sin.,.4sin0cos9=2、sin20=1,

^£［0,2^),.-.^=-,—,

44

当。=5时夕=2拒；

当。=红时夕=—2夜<0,舍；即所求交点坐标为当(20,f),

44

【点睛】本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题.

C.［选修4-5：不等式选讲］

23.设xeR,解不等式2|x+l|+|x|<4.

【答案】(一2,|)

【解析】

【分析】

根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果

x<-l-l<x<0x>0

【详解】CC(或、C4或hC4

—2x—2—xv42x+2—xv42x+2+xv4

2

二.一2<尢<一1或一IWXWO或0cxe一

3

所以解集为：(-2,1)

【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.

【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时

应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

24.在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=布,BD=2,。为BQ的中点，AO_L平面BCD,A0=2,E为AC的

中点.

(1)求直线AB与DE所成角的余弦值;

若点F在BC上，满足由*设二面角F—OE—C的大小为氏求sin。的值.

(2)

【答案】(1)叵(2)空19

1513

【解析】

【分析】

(1)建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果;

(2)先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.