【教学】《圆周角和圆心角的关系》示范教学

第三章圆3.4圆周角和圆心角的关系第2课时

学习目标1．运用圆周角定理及其推论，并能理解直径所对圆周角的结论.2．了解圆的内接四边形的定义和性质.3．体会由一般到特殊的思想方法.情境导入

小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形．下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形？为什么？探究新知想一想

（1）在下图中，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明你的结论吗？答：它所对的圆周角是90°；∵BC是⊙O的直径∴∠BOC=180°．∵∠BAC=∠BOC（圆周角定理），∴∠BAC=×180°=90°．探究新知（2）在下图中，圆周角∠A=90°，弦BC是直径吗？为什么？答：弦BC是直径；如图，连接OB，OC．∵圆周角∠A=90°，由圆周角定理可得∠A所对弧上的圆心角∠BOC的度数应为180°，即BOC应是一条线段．∴弦BC是直径．探究新知推论2直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．探究新知议一议

（1）在下图中，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径，∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？答：∠BAD+∠BCD=180°；探究新知理由：方法1：∵AC为⊙O的直径，∴∠B=∠D=90°．又∵∠BAD+∠B+∠BCD+∠D=360°，∴∠BAD+∠BCD=360°-∠B-∠D

=360°-90°-90°=180°．方法2：∵∠BAD与∠BCD所对的圆心角的和为360°，∴∠BAD+∠BCD=×360°=180°．答：若点C的位置发生变化，仍有∠BAD+∠BCD=180°∵∠BAD与∠BCD所对的圆心角总和为360°，∴∠BAD+∠BCD=×360°=180°．探究新知（2）如图，点C的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间的关系还成立吗？为什么？探究新知在上面的两个图中，四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．结论：推论3圆内接四边形的对角互补．探究新知此图片是动画缩略图，本资源通过交互动画的方式，探究圆内接四边形对角的数量关系，适用于圆的内接四边形的教学.若需使用，请插入动画【数学探究】探究圆内接四边形对角的数量关系.探究新知想一想

如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有什么关系？答：∠A=∠DCE；∵∠A+∠BCD=180°，∠BCD+∠DCE=180°，根据同角的补角相等，∴∠A=∠DCE．归纳

圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角．探究新知例1

如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长．解：如图，连接OD．∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°．在Rt△ABC中，(cm)．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD．∴∠AOD=∠BOD．∴AD=BD．又∵在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，∴AD=BD=(cm)．典例精析例2

圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数的比是3︰2︰7，求四边形ABCD各内角的度数．解：设∠A，∠B，∠C的度数分别为3x，2x，7x．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠C=180°，即3x+7x=180°．∴x=18°．∴∠A=3x=54°，∠B=2x=36°，∠C=7x=126°．又∵∠B+∠D=180°，∴∠D=180°-36°=144°．课堂练习1．如图，A，D是⊙O上的两点，BC是直径．若∠D=35°，则∠OAC的度数是（

）A．35°B．55°C．65°D．70°2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C=36°，则∠A的度数为（

）．A．36°

B．56°

C．72°

D．144°

BD课堂练习3．如图所示，已知AB是半圆O的直径，∠BAC=32°，点D是的中点，则∠DAC的度数是_________．4．如下图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD=100°，则∠DCE的度数为_________．29°50°课堂练习5．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形．下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形？为什么？答：图（2）是半圆形；理由：90°的圆周角所对的弦是直径．课堂练习6．如图，在⊙O中，弦AB=2cm，圆周角∠ACB=30°，求⊙O的直径．解：如图，连接BO，并延长作出直径BD，连接AD，则∠DAB=90°．由∠D与∠ACB都是所对的圆周角可知∠D=∠ACB=30°．∴．又∵AB=2cm，∴BD=4cm．课堂小结1．圆内接四边形的概念如果一个