【教学】《平面向量的应用》参考教学

平面向量的应用1.平面几何中的向量方法向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。研究对象：与向量有关的如距离、平行、三点共线、垂直、夹角等几何问题充分利用向量这个工具来解决一、知识梳理例1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？ABCD猜想：1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？一、知识梳理ABCD判断：矩形ABCD中，对角线长度与两条邻边长度之间是否有关系如下：AC2+DB2=2(AB2+AD2)ABCD探索：平行四边形ABCD中，以上关系是否依然成立？发现：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍。一、知识梳理你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何关系。用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：用基底表示向量运算翻译几何结果一、知识梳理例2如图，ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、

BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？ABCDEFRT猜想：AR=RT=TC一、知识梳理解：设则ABCDEFRT因为所以又因为共线，所以设一、知识梳理由于与共线，所以设故AT=RT=TCABCDEFRT不共线，一、知识梳理练习：证明：三角形的三条高交于一点问题：可否用平面向量的坐标形式解决?FBDCEOA一、知识梳理情景1：两人一起提一个重物时，怎样提它最省力?情景2：一个人静止地垂挂在单杠上时，手臂的拉力与手臂握杠的姿势有什么关系?创设情景角越夹小越省力两臂的夹角越小,手臂就越省力一、知识梳理例3在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力，你能从数学的角度解释这种现象吗？分析：上述的问题跟如图所示的是同个问题，抽象为数学模型如下：用向量F1,F2表示两个提力,它们的合向量为F，物体的重力用向量G来表示，F1，F2的夹角为θ，如右图所示，只要分清F，G和θ三者的关系，就得到了问题得数学解释！一、知识梳理通过上面的式子，知当θ由0º到180º逐渐变大时，由0º到90º逐渐变大，的值由大逐渐变小.可以知道：解：不妨设，由向量的平行四边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识,由小逐渐变大.即之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力！一、知识梳理（1）θ为何值时，最小，最小值是多少？（2）能等于吗？为什么？

探究一答：在上式中，当θ=0º时，最大，最小且等于答：在上式中，当，即θ=120º时，一、知识梳理(3)生活中常遇到两根等长的绳子挂一个物体.绳子的最大拉力为，物体重量为,分析绳子受到的拉力大小F1与两绳子间的夹角θ的关系？探究二一、知识梳理探究三(4)如果绳子的最大承受力为θ在什么范围内，绳子才不会断？从而可知α∈[0°，60°]绳子才不会断．一、知识梳理【1】如图所示，用两条成120º的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力是________.120º10N练一练一、知识梳理例4.如图，一条河的两岸平行,河的宽度d=500m，一艘船从A处出发到河对岸，已知船的速度水流速度问行驶航程最短时，所用时间是多少？(精确到0.1

min)一、知识梳理AB答：行驶的航程最短时，所用的时间是3.1min。一、知识梳理（2）小船过河的问题有一个特点，就是小船在垂直于河岸的方向上的位移是不变的，我们只要使得在垂直于河岸方向上的速度最大，小船过河所用的时间就最短，河水的速度是沿河岸方向的，这个分速度和垂直于河岸的方向没有关系，所以使小船垂直于河岸方向行驶（小船自身的速度，方向指向河对岸），小船过河所用时间才最短。探究一（2）行驶时间最短时，所用的时间是多少？一、知识梳理答：行驶的时间最短时，所用的时间是3min解：使小船垂直于河岸方向行驶（小船自身的速度,方向指向河对岸)，小船过河所用时间才最短.（2）行驶时间最短时，所用的时间是多少？探究一一、知识梳理MOAB练习1.平面上三个力作用于一点且处于平衡状态，的夹角为120°，求

的大小。二、巩固练习练习2.已知两恒力作用于同一质点，使之由点A(20,15)移到点B(7,0).求：(1)

分别对质点所做的功；(2)的合力对质点所做的功.合力对质点所做的功设对质点所做的功分别为w1,w2，二、巩固练习（1）问题的转化,即把物理问题转