【教学】《两角和与差的三角函数公式》教学()

二倍角的三角函数公式第1课时导入新课问题1

这三个式子：sin2α＝2sinα，cos2α＝2cosα，tan2α＝2tanα，是否成立？不成立．需要研究α的三角函数值与2α的三角函数值有什么关系．新知探究问题2

在公式Cα＋β，Sα＋β和Tα＋β中，若α＝β，公式还成立吗？若成立，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？成立，sin2α＝sin（α＋α）＝sinαcosα＋cosαsinα＝2sinαcosα；cos2α＝cos（α＋α）＝cos2α－sin2α；tan2α＝tan（α＋α）＝

．

新知探究问题3

二倍角公式中，角α的取值范围分别是什么？正弦、余弦二倍角公式中α∈R，

正切二倍角公式中α≠kπ＋

且α≠．

新知探究问题4

能应用tanα表示sin2α，cos2α吗？sin2α＝2sinαcosα＝

cos2α＝cos2α－sin2α＝

新知探究问题5

已知角α是第二象限角，cosα＝

，如何求sin2α，cos2α和tan2α的值？

由角α是第二象限角且

，得新知探究★使用说明：本资源为《倍角公式》的知识解析，通过知识梳理、探究思考等环节帮助学生体会知识的形成过程，并会简单应用．注：此图片为“微课”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．★资源名称：【知识点解析】倍角公式．新知探究问题6

余弦的二倍角公式有哪些变形？正弦公式呢？因为sin2α＋cos2α＝1，所以公式C2α可以变形为：cos2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1，或cos2α＝

，sin2α＝

，

2sinαcosα＝sin2α，sinαcosα＝sin2α．

例1

在△ABC中，已知AB＝AC＝2BC，求角A的正弦值．初步应用ABDCθ解析：因为AB＝AC＝2BC，BC＝2BD，

所以

故sin∠BAC＝2sin∠BAD·cos∠BAD＝

方法总结：画出图形根据三角形的边角关系求解．例2

要把半径为R的半圆形木料截成矩形，应怎样截取，才能使矩形面积最大？初步应用解析：因为AB＝OAsinα＝Rsinα，OB＝OAcosα＝Rcosα，所以S矩形＝Rsinα×2Rcosα＝2R2sinαcosα＝R2sin2α，

方法总结：求最值的问题常转化为三角函数的有界性求解．αROBA例3

化简：初步应用（1）

（2）

解析：（1）原式＝

例3

化简：初步应用（1）

（2）

解析：（2）原式＝

初步应用（1）公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形式：2sinαcosα＝sin2α，cos2α－sin2α＝cos2α，（2）公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时融会贯通，有目的的活用公式．sinαcosα＝sin2α，

cosα＝

，

＝tan2α．

方法总结归纳小结问题7

回归本节的学习，你有什么收获？可以从以下几个问题归纳．（1）含有三角函数的平方的式子如何进行处理？（2）如何对“二倍角”进行广义的理解？（3）二倍角的余弦公式的应用形式有哪些？（1）一般要用降幂公式：（2）对于二倍角应该有广义上的理解，6α是3α的二倍；如：8α是4α的二倍；cos2α＝

，sin2α＝

．

4α是2α的二倍；3α是

的二倍；

是

的二倍；

是

的二倍；

（n∈N∗）．

归纳小结问题7

回归本节的学习，你有什么收获？可以从以下几个问题归纳．（1）含有三角函数的平方的式子如何进行处理？（2）如何对“二倍角”进行广义的理解？（3）二倍角的余弦公式的应用形式有哪些？（3）在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角的常用形式：①1＋cos2α＝2cos2α；②cos2α＝

；

③1－cos2α＝2sin2α；④sin2α＝

．

作业布置作业：教科书第157页，A组第1，2，3，4，9题，B组第1，2，3，6题．1目标检测B的值等于（）A．C．D．B．

解析：

2目标检测D已知sin2α＝

，则

＝（）A．C．D．B．

解析：

3目标检测函数f(x)＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．解析：f(x)＝1＋sin2x＋cos2x＝1＋

，

4目标检测如图，在平面直角坐标系中，角α，β的始边都为x轴正半轴，终边分别与圆O交于A，B两点，若α∈

，β＝

，且点A的坐标为A(－2，m)．

（1）若tan2α＝

，求实数m的值；

（2）若tan∠AOB＝

，求cos2α的值．

解析：（1）由题意可得

tan2α＝

故tanα＝

或tanα＝2．

∵α∈

，∴

即

，故m＝1．

目标检测

4如图，在平面直角坐标系中，角α，β的始边都为x轴正半轴，终边分别与圆O交于A，B两点，若α∈

，β＝

，且点A的坐标为A(－2，m)．

（2）若tan∠AOB＝

，求cos2α的值．

目标检测4