【教学】《- 二次函数的图象与性质》示范教学 省赛获奖

第二章二次函数2.2二次函数的图象和性质第2课时

学习目标1．经历探索二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．2．能作出二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象，并能够比较出它们与二次函数y=x2的图象的异同，理解a与c对二次函数图象的影响．3．能够说出二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．4．理解并能说出二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象之间的关系复习导入请回忆二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质.【数学探究】探索二次函数y=ax2的图象性质，资源为《探索二次函数y=ax2的图象性质》知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率。复习导入1．二次函数y=x2的图象与性质：（1）二次函数y=x2的图象是一条抛物线，它的开口向上，且关于y轴对称；（2）在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大；（3）对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最低点，即当x=0时，y有最小值0．复习导入2．二次函数y=-x2的图象与性质：（1）二次函数y=-x2的图象也是一条抛物线，它的开口向下，且关于y轴对称；（2）在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小；（3）对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最高点，即当x=0时，y有最大值0．探究新知做一做

画出二次函数y=2x2的图象．解：（1）列表：在x的取值范围内列出函数的对应值表：x…-2-1012…y=2x2…82028…（2）在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点．探究新知（3）连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y=x2的图象，如图所示．【数学探究】探索二次函数y=ax2的图象性质，调整a=2时，通过交互式动画的方式，探究y=2x2的图象性质，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率。探究新知议一议

二次函数y=2x2的图象是什么形状？它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？答：由图可以看出：二次函数y=2x2的图象是一条开口向上的抛物线．探究新知（二次函数y=2x2与y=x2图象）二次函数y=2x2的图象与二次函数y=x2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标都相同，当x＜0时，都是y的值随x值的增大而减小，当x＞0时，都是y的值随x值的增大而增大，都有最低点，即y的最小值均为0．探究新知（二次函数y=2x2与y=x2图象）二次函数y=2x2的图象与二次函数y=x2的图象的不同之处：二次函数y=2x2的图象在二次函数y=x2的图象的内部，也就是二次函数y=2x2的图象开口小，二次函数y=x2的图象开口大，这说明y=2x2函数值的增长速度较快．二次函数y=2x2的图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，0）．探究新知想一想

在同一坐标系中画出二次函数，y=x2，y=2x2的图象，二次函数的图象与二次函数y=x2，y=2x2的图象有什么相同和不同？解：（1）列表：x…-2-1012……202…y=x2…41014…y=2x2…82028…探究新知（2）在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点．（3）连线：用光滑的曲线分别连接各点，便得到函数，y=x2，y=2x2的图象，如图所示．探究新知相同点：二次函数，y=x2，y=2x2的图象都是抛物线，开口向上，有公共的顶点（0，0），函数的图象都关于y轴对称．不同点：抛物线的开口大小不同，越大，开口越小，抛物线上各点（除原点外）坐标均不同．探究新知做一做

画出二次函数y=2x2+1的图象．解：（1）列表：在x的取值范围内列出函数的对应值表：x…-2-1012…y=2x2+1…93139…（2）在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点．探究新知（3）连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到二次函数y=2x2+1的图象，如图所示．（二次函数y=2x2+1图象）探究新知议一议

二次函数y=2x2+1的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？二次函数y=2x2-1的图象呢？探究新知答：二次函数y=2x2+1的图象与二次函数y=2x2的图象形状相同，位置不同，它们的开口方向都向上，都是轴对称图形，对称轴都是y轴，它们的顶点坐标不同，二次函数y=2x2的图象的顶点坐标是（0，0），而二次函数y=2x2+1的图象的顶点坐标是（0，1），只要将二次函数y=2x2的图象向上平移1个单位长度，就可以得到二次函数y=2x2+1的图象．探究新知二次函数y=2x2-1的图象与二次函数y=2x2的图象形状相同，位置不同，它们的开口方向都向上，都是轴对称图形，对称轴都是y轴，它们的顶点坐标不同，二次函数y=2x2的图象的顶点坐标是（0，0），而二次函数y=2x2-1的图象的顶点坐标是（0，-1），只要将二次函数y=2x2的图象向下平移1个单位长度，就可以得到二次函数y=2x2-1的图象．探究新知归纳

二次函数y=ax2+c的图象与二次函数y=ax2的图象形状相同，开口方向相同，对称轴也相同，只是顶点不同；二次函数y=ax2+c的图象可以看成二次函数y=ax2的图象整体向上或向下平移得到的，当c＞0时，向上平移个单位，当c＜0时，向下平移

个单位．典例精析例

二次函数y=3x2-2的图象可由二次函数y=3x2的图象向__________平移___________个单位得到，二次函数y=3x2-2的图象的顶点坐标是__________，对称轴是_______________；下两(0，-2)y轴课堂练习1.二次函数的图象要变为二次函数

的图象，下列平移方式正确的是（

）A．向上平移了3个单位

B．向下平移了3个单位C．向上平移了1个单位

D．向下平移了1个单位C课堂练习2．抛物线不具有的性质是（

）．A．开口向下 B．对称轴是y轴C．与y轴不相交 D．最高点是坐标原点3．二次函数y=-3x2，y=-5x2的图象中，开口较大的是__________，开口方向__________，对称轴__________，顶点__________．Cy=-3x2都向下都是y轴都是原点课堂练习4．一条抛物线其形状与相同，对称轴与抛物线y=3x2+4相同，且顶点的纵坐标是-2．求这条抛物线的解析式并用描点法画出它的图象．解：∵所求抛物线的形状与相同，∴a=．∵所求抛物线的对称轴与抛物线y=3x2+4相同，即对称轴为y轴又∵所求抛物线顶点的纵坐标为-2，∴顶点坐标为(0，-2)．∴所求抛物线的解析式为．作图略．课堂小结课堂小结1．二次函数y=ax2的性质：一般地，抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点．当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点．对于抛物线y=ax2，|a|越大，抛物线的开口越小．课堂小结从二次函数y=ax2的图象可以看出：如果a＞0，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；如果a＜0，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．