2018年上海市虹口区高三二模数学卷(含答案)

PAGE虹口区高三数学本卷共4页第1页虹口区2017学年度第二学期期中教学质量监控测试高三数学试卷（时间120分钟，满分150分）2018.4一．填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）1．已知，，且，则实数的范围是．2．直线与直线互相平行，则实数．3．已知，，则．4．长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为，，，则．5．已知函数，则．6．从集合随机取一个为，从集合随机取一个为，则方程表示双曲线的概率为．7．已知数列是公比为的等比数列，且，，成等差数列，则_______．8．若将函数表示成则的值等于．9．如图，长方体的边长，，它的外接球是球，则，这两点的球面距离等于．10．椭圆的长轴长等于，短轴长等于，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为_______.11．是不超过的最大整数，则方程满足的所有实数解是．12．函数，对于且（），记，则的最大值等于．二．选择题（每小题5分，满分20分）13．下列函数是奇函数的是（）．14．在中，，点、是线段的三等分点，点在线段上运动且满足，当取得最小值时，实数的值为（）15．直线与圆交于，两点，且，过点，分别作的垂线与轴交于点，，则等于（）4816．已知数列的首项，且，，是此数列的前项和，则以下结论正确的是（）不存在和使得不存在和使得不存在和使得不存在和使得三．解答题（本大题满分76分）17．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，,，高等于3，点，，，为所在线段的三等分点．（1）求此三棱柱的体积和三棱锥的体积；（2）求异面直线，所成的角的大小．18．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）已知中，角所对应的边分别为，（是虚数单位）是方程的根，.的距离等于，三棱柱的体积等于（立方单位），三棱锥的体积等于（立方单位）……………7分（2）取线段的三等分点，，连，.∥，∥，的大小等于异面直线，所成的角或其补角的大小.…………9分，，..异面直线，所成的角的大小等于.………………14分18、（14分）解：（1）的两个根为.…………2分，，.…………4分 ，，得……………7分（2）.，从而，等号当时成立，此时.的面积的最大值等于.……………14分19、（14分）解：（1）设，.由，得，所以数列是以为首项，公差为的等差数列；数列是以首项，公差为的等差数列.……3分.………………6分（2）设，.由，从而，.数列是以1为首项，公差为3的等差数列，从而.数列是常数列，.由得，，又，，数列是以1为首项，公比为2的等比数列；数列是以3为首项，公比为2的等比数列，从而有，.……10分令………①…………②.①-②得，，得令从而………………14分20、（16分解：（1）由点在椭圆上，有，在直线上当时，由，得，直线方程为，代入椭圆方程得，得一个交点，直线是椭圆切线.当时，有，直线为代入椭圆方程得，有，直线是椭圆切线.…4分另解：不讨论将椭圆方程化为，将直线方程代入消，得到的一元二次方程，然后证明（2）点不在坐标轴上，，得.，得……6分过点的切线为，得.由，得，从而有，点是线段的中点.…9分（3）,,的方向向量，.，，，，记与的夹角，与的夹角.………12分，，所以，有，从而有与直线，所成的夹角相等.……16分21、（18分）解：(1)由，得………………3分（2）设，当时，，，，，，有，，.………………6分当时，，，，，，有，，.当时，，，，，.在递减，在和上递增，从而在上递增.………10分(3)充分性：当时，有，又，函数在内