自动控制原理复习资料

《自控原理总复习》第二章线性系统的数学模型一.求电路系统的传递函数无源网络：由无源元件组成的电气网络。不含电源的器件：R、L、C等。有源网络：包含有源元件的电气网络。

含电源的器件：运算放大器。

列微分方程法

复阻抗法电气系统列写电气网络的微分方程要用到以下规律：KCL电流定律：KVL电压定律：元件的伏安关系：理想运算放大器：虚短、虚断2-1.试求图示电路的微分方程和传递函数。作业讲解

+

-整理得：对微分方程两边进行拉氏变换+-整理得：对微分方程两边进行拉氏变换用运算阻抗（复阻抗）法求电路的传递函数运算电路R→RL→SLC→作业讲解2-5.求如图所示运放电路的传递函数。(c)二.典型环节的传递函数比例环节惯性环节积分环节纯微分环节一阶微分环节二阶振荡环节典型环节传递函数三.已知系统各环节微分方程组画方框图（1）方框图形式要规范，前向通路、反馈通路要清晰明确，左边为系统总输入R(s)，右边为输出C(s)。注意（2）方框图中的各个环节都必须是典型环节。（3）若遵循前一个环节的输出为下一个环节的输入，则容易画图。系统的微分方程为：式中T1、T2、K1、K2、K3均为正的常数，系统的输入为r(t)，输出为c(t)，画出系统的传递函数方框图。①②③④例题②①③④四.闭环系统传递函数的求法R(S)C(S)G(S)H(S)B(S)E(S)＋正反馈负反馈单位反馈：H(S)＝1注意负反馈取＋正反馈取－

2-7.求闭环传递函数。方法要点：

一个输入作用，另一个输入为0；关注一个输出时，与另外一个输出没有关系；化简时碰到比较器处的“负号”时，一定要用-1代替。（1）求，令R2(s)=0（2）求，令R2(s)=0（3）求，令R1(s)=0（4）求，令R1(s)=0第三章控制系统的时域分析一.二阶系统的数学模型闭环传递函数为：说明：二阶振荡环节传递函数：用于二阶系统

式中：ζ—阻尼比；ωn—无阻尼自然振荡角频率；时间常数T＝1/ωn二.如何判断二阶系统的四个工作状态？1.0<ζ<1特征根为一对实部为负的共轭复根，

系统处于欠阻尼状态。2.ζ＝1特征根为负实轴上的一对重根，

系统处于临界阻尼状态。3.ζ>1特征根为两个不相等的负实根，

系统处于过阻尼状态。4.ζ＝0特征根为一对共轭虚根，系统处于无阻尼状态。三．欠阻尼下的Mp、ts的计算例题

4S(0.25S+1)R(S)C(S)图示系统，求Mp、ts（5%）。对比标准式<1，欠阻尼状态

四.改善二阶系统性能的常用方法——引入速度负反馈KS(TS+1)R(S)C(S)改善前的系统改善后的系统KS(TS+1)R(S)C(S)结论选择合适的τ可得到满意ζ。，作业讲解3-10.求τ=0时系统的ζ和ωn

；若要求ζ=0.7，求τ。(1)τ=0,无速度负反馈对比标准式(2)引入速度负反馈结论，五.连续系统稳定性的判断：劳斯判据

系统的特征根（闭环极点）全部位于ｓ的左半平面，闭环系统稳定。劳斯判据

设系统的特征方程为看特征方程的各项系数是否大于0，若有一个系数小于0或等于0，则系统不稳定。(2)列劳斯表。列表中，可以用一个正数去除或乘某个整行。

a0a2

a4a6

……a1a3a5

a7……

b4……SnSn-1Sn-2Sn-3...S2SS0……

e1e2

f1

g1劳斯表(3)若劳斯表第一列全为正，则稳定；若有正有负，则不稳定，其元素符号改变的次数即为特征根在S右半平面的个数。

a0a2

a4a6

……a1a3a5

a7……

b4……SnSn-1Sn-2Sn-3..S2SS0……

e1e2

f1

g1作业讲解3-11.单位负反馈系统，开环传函G(s)如下，确定系统稳定时K的取值范围。解：特征方程s(s+1)(0.5s+1)+K=0S3S2SS0

0.511.5K闭环稳定：0<K<3系统类型输入信号作用下的稳态误差0型阶跃输入r(t)=A·1(t)斜坡输入r(t)=At·1(t)加速度输入r(t)=At2·1(t)∞∞1型0∞2型00υ返回六.求单位反馈系统在给定r(t)和扰动n(t)作用下的稳态误差

C(S)G(S)R(S)E(S)系统开环传递函数G(s)可表示为式中：K——开环增益（开环放大倍数）；

υ——积分环节的个数（也称系统的类型）典型干扰信号作用下的稳态误差0阶跃输入r(t)=A·1(t)斜坡输入r(t)=At·1(t)加速度输入r(t)=At2·1(t)∞∞10∞200N总结2返回C(S)G1(S)G2(S)R(S)E(S)N(S)设扰动点与误差点之间的传递函数为K1——G1(s)的放大系数N

——G1(s)中积分环节的个数例已知r(t)＝t,n(t)＝-0.5。计算该系统的稳态误差。0.5S(3S+1)R(S)C(S)40.2S+1N(S)解(1)判断稳定性闭环传递函数：由劳斯判据可知，闭环系统稳定。系统的特征方程：0.6s3+3.2s2+s+2=0S3S2S1S00.6103.2200.62502系统的开环传递函数为I型系统,K=2故essr＝r(t)＝t作用时，

(2)求稳态误差0.5S(3S+1)R(S)C(S)40.2S+1N(S)n(t)＝－0.5作用时，N=0,K1=4

故essn＝所以，当输入和扰动同时作用时，系统的稳态误差为故ess＝essr＋essd＝0.5+0.125=0.625扰动点与误差点之间的传递函数为0.5S(3S+1)R(S)C(S)40.2S+1N(S)E(S)第五章控制系统的频域分析一．频率特性的定义，频率特性与传递函数的关系？分析结果表明当系统输入为正弦信号时，输出的稳态响应仍是一个和输入信号同频率的正弦信号，但幅值和相角不同，它们都是ω的函数。幅频特性：指稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比，用A(ω)表示。相频特性：指稳态响应的相位与输入信号的相位之差，用表示。幅频特性相频特性称为系统的频率特性，用表示。A(ω)频率特性与传递函数的关系

Page158作业5-2（1）：设单位反馈系统的开环传递函数，试求输入信号作用下，系统的稳态输出。解：传递函数：频率特性：输入信号频率特性：稳态输出：课后作业：5-2（2）输入信号稳态输出：二．频率特性的几何表示——Bode的坐标设置对数幅频特性：L(ω)～ω横坐标ω：分布不均匀，不是线性分度，而是对数分度，即对lgω是均匀分布。L(ω)/dBω(rad/s)0102030-10-200.1110100234纵坐标L(ω)：线性分度。单位是分贝(dB)

告诉大家如何具体的确定每一个频率点的位置：第一步：确定每十倍频的长度，即一个单位长度。（例如30cm）第二步：选一个比较基准点频率ω0，则ωi到ω0的长度为（lgωi-lgω0）×单位长度例如ω=5，则到ω=1的长度为：(lg5-lg1)×30cm=21cm

ω=50，则到ω=10长度为：(lg50-lg10)×30cm=21cmω十倍频（dec）十倍频（dec）十倍频（dec）5501101000.1对数相频特性：～ω090°-90°-180°0.1110100234ω(rad/s)180°横坐标ω：按ω的对数分度，即对lgω是均匀分布，但对ω是不均匀的。纵坐标：是实际的相角值，线性分度，单位为度或弧度。三．各典型环节的Bode图（幅频）1.比例环节

传递函数：频率特性：幅频特性：A(ω)=K对数幅频特性：L(ω)=20lgK20lgKL(ω)/dBω02.积分环节

传递函数：对数幅频特性：频率特性：L(ω)/dBω00.11102040-20－20dB/dec说明①υ个积分环节串联传递函数：频率特性：对数幅频：L(ω)是一条斜率为－20υdB/dec的直线。L(ω)/dBω00.11102040-20－20dB/decυ=1－40dB/decυ=2②比例环节和υ个积分环节串联传递函数：频率特性：对数幅频：L(ω)是一条斜率为－20υdB/dec的直线。说明L(ω)/dBω00.11102040-20－20dB/decυ=1－40dB/decυ=220lgK3.纯微分环节

传递函数：微分与积分关于ω轴镜像对称L(ω)/dBω00.11102040-2020dB/dec微分－20dB/dec积分4.惯性环节

传递函数：渐近线-20dB/dec-10010ω(rad/s)1/T实际曲线(描点法)L(ω)/dB0dB转折频率5.一阶微分环节

传递函数：-10010ω(rad/s)1/T0dBL(ω)/dB20dB/dec一阶微分环节-20dB/dec

惯性环节6.二阶振荡环节

传递函数：010-10L(ω)/dB0dB－40dB/dec转折频率四．系统开环频率特性的波特图

例系统开环传递函数，试绘制开环对数频率特性。解

1.将开环传递函数化为各典型环节组成的标准式，求出系统的开环频率特性。系统开环频率特性为：

2.看G(s)由哪些典型环节组成，列出各环节的转折频率，按从小到大的顺序排列，并标注在ω轴上。系统由5个典型环节串联组成：比例、一阶微分、积分、2个惯性环节。典型环节的转折频率为：

ω1=5（对应第二个惯性环节）

ω2=10（对应第一个惯性环节）

ω3=20（对应一阶微分环节）0-10ω(rad/s)L(ω)/dB20400.1ω0ω1各转折频率的位置标注方法：设每十倍频（一个单位长度）是10cm，则ω=5到ω=1的长度为：10cm×()=7cmω220ω35110

3.在第一个转折频率之前，只有比例环节与积分环节对L(ω)有影响，其他环节对L(ω)的贡献都为0dB。低频段（第一个转折频率之前的频段）：当ω＝1时，L(ω)=40dB斜率为－20dB/dec，过点ω＝1，L(ω)=20lgK低频段的斜率为-20υdB/dec(υ为串联积分环节的个数)当ω＝0.1时，L(ω)=60dB-20dB/dec0-10ω(rad/s)L(ω)/dB20400.1ω0ω1ω220ω3511060

4.从低频渐近线开始，沿ω轴自左至右，在转折频率处，渐近线的斜率依据对应环节的性质而发生变化：惯性环节-40dB/dec-20dB/dec一阶微分环节20dB/dec振荡环节对应的环节斜率变化量

ω1=5（对应惯性环节）

ω2=10（对应惯性环节）

ω3=20（对应一阶微分环节）0-10ω(rad/s)L(ω)/dB20400.1ω0ω1ω220ω35110-20dB/dec-40dB/dec-60dB/dec-40dB/dec

L(5)=40－20×（lg5－lg1）＝26dB

L(10)=26－40×（lg10－lg5）＝14dB1426

L(20)=14－60×（lg20－lg10）＝-4.06dB-4

5.相频特性曲线可以直接利用的表达式，采用描点法绘制，只需绘制相位的变化范围和大致的变化趋势。系统开环频率特性为：范围：再取几个点：0ω(rad/s)0.1ω0ω1ω220ω35110-45°-90°-135°-180°作业讲解5-1（2）

0-10ω(rad/s)L(ω)/dB200.05ω0ω2ω150.5-20dB/dec-40dB/dec0ω(rad/s)-90°-180°5-1（3）

0ω(rad/s)L(ω)/dB200.1ω0ω2ω110.5-20dB/dec-40dB/dec-60dB/decω(rad/s)-90°-270°五.求幅穿频率ωc及相位裕量γ，并根据γ的值判断闭环系统是否稳定？

1.ωc的求法：

设ωc前第一个转折频率为ωi，其幅值为L(ωi)，则L(ωc)=L(ωi)＋（斜率dB/dec）lg(ωc/ωi)=02.相角裕量：作业讲解5-5（b）求G(s)、ωc、γ

。ω5010+20L(ω)/dB设

G低(s)=Ks

G低(jω)=jωK∵ω=10,L低(ω)=0∴20lg(10K)=0K=0.1L低(ω)=20lg(ωK)T=1/50=0.02作业讲解5-5（c）求G(s)、ωc、γ

。设

G低(s)=K/s

G低(jω)=K/jωL(2)=L(8)-40×lg(2/8)=24dBL低(ω)=20lg(K/ω)ωc=8ω82-20L(ω)/dB-40∴20lg(K/ω)=24K=31.8ω=2六.利用Nyquist稳定判据判断闭环系统是否稳定？乃奎斯特稳定判据：若系统开环传递函数在s右半平面有P个极点，且开环频率特性极坐标图对(-1,j0)点包围的圈数为N(N>0为逆时针，N<0为顺时针)，则系统闭环极点在s右半平面的数目为

Z＝P－2N

若Z=0，系统稳定，否则系统不稳定。例已知开环系统不稳定特征根的个数为P，判断闭环稳定性。0-1ReImP=2ω=0ω→∞P=2N=1故Z=P-2N=0,闭环稳定。0-1ReImP=1ω=0ω→∞P=1N=-1/2故Z=P-2N=2,闭环不稳定。设开环传函G(s)H(s)含有个积分环节，总结

①②一起构成G(jω)H(jω)的完整曲线。应用Nyquist判据的步骤为：①绘ω从0＋到∞的G(jω)H(jω)曲线；(无积分环节)②补画ω从0到0＋曲线

画法为：从ω=0＋的频率点开始，逆时针方向补画一个半径为无穷大、圆心角为的大圆弧。③由完整的G(jω)H(jω)曲线，根据Nyquist判据来判断闭环系统的稳定性。例已知开环系统不稳定特征根的个数为P，为开环串联积分环节的个数，判断闭环稳定性。0-1ReImP=0，ω=0ω→∞0-1ReImP=0，ω=0＋ω→∞ω=0R=∞N=0，Z=P-2N=0，闭环稳定0-1ReImP=0，ω=0ω→∞0-1ReImP=0，ω=0+ω→∞ω=0N=0，Z=P-2N=0，闭环稳定0-1ReImP=0，ω=0ω→∞0-1ReImP=0，ω=0ω→∞ω=0+0-1ReP=1，ω=0ω→∞Im0-1ReP=1，ω=0ω→∞ω=0+ImN=1/2，Z=P-2N=0，闭环稳定第六章控制系统的校正频率特性为：传递函数：()转折频率：ω1＝、ω2＝相频特性：相频曲线具有正相角，即校正装置输出的相位超前于输入，故称为超前校正装置。串联超前校正的原理：利用最大超前相角使校正后系统的相位裕量得到提高：使校正后系统的幅穿频率等于超前校正装置的中心频率，即校正装置的超前相角使校正后系统的γ增大，提高了系统的相对稳定性；校正后系统的幅穿频率增大，系统的快速性提高；校正后系统高频增益提高，不利于抑制高频干扰。串联超前校正的优缺点：串联超前校正的设计步骤(1)根据给定的系统稳态误差要求，确定开环增益K；(2)利用已知的K值，绘制未校正系统的Bode图；(4)确定(=ωm)、α：分两种情况若对校正后的幅穿频率已提出要求，则即(3)求出未校正系统的幅穿频率ωc

和相位裕量γ。令则若对校正后的幅穿频率未提出要求，则根据给定的相位裕量γ′，首先求出：式中△——随ω增加相角减小而留的裕量。由，可求得α。(5)确定校正装置的传递函数。式中：(6)画出校正装置及校正后系统的Bode图。若满足要求，校正结束！否则从第(3)步起重新设计，一般使(或)的值增大，直至满足全部性能指标。(7)

验证校正后的系统是否满足给定的指标要求。例设单位反馈系统的开环传递函数为要求系统的静态速度误差系数相角裕量试确定串联超前校正装置。解(1)由Kv＝100可知，K=100。

(2)作出校正前系统的Bode图。转折频率：ω＝10当ω＝1时，L(ω)＝20lgK＝40dBL(ωc)＝20－40×（lgωc－lg10）＝0故ωc＝31.6(不满足要求)

(3)求校正前系统的幅穿频率ωc和相位裕量γ。

(4)定ωm、α。超前校正装置需要提供的最大超前相角：(5)确定校正装置的传递函数。L(ωm)＝20－40