方阵的特征值与特征向量

第四章矩阵的特征值第一节矩阵的特征值与特征向量第二节相似矩阵与对角化第三节实对称矩阵的特征值与特征向量2009.7.224-1-1第一节方阵的特征值与特征向量特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的性质2009.7.224-1-2一、特征值与特征向量的概念定义成立,(1)设A为n阶矩阵,如果存在数λ和n维非零向量x,使Ax=λx那么称数λ为矩阵A的特征值,而称向量x为矩阵A属于特征值λ的特征向量.方阵的特征值与特征向量2009.7.223说明1.特征向量x≠0,特征向量是方阵A属于特征值λ2.n阶方阵A的特征值是齐次线性方程组(A-λE)x=0有非零解的λ值,即满足方程|A-λE|=0的λ值均是矩阵A的特征值.的向量.方阵的特征值与特征向量2009.7.224的特征方程.是以λ为未知数的一元n次方程,称|A-λE|=0为A记f(λ)=|A-λE|,它是λ

的n次多项式,称其为方阵A特征多项式方阵的特征值与特征向量2009.7.2254.n阶方阵A=(aij)的特征值λ1,λ2,…,

λn又称矩阵A的特征根.若λ0是特征方程的k重特征根,则称λ方阵A的k重特征根特征值与特征向量的求法1.求方阵A=(aij)的特征方程|A-λE|=0的值λ1,λ2,…,λn2.对于方阵A=(aij)的特征值λ0,求属于该特征值的特征向量方阵的特征值与特征向量2009.7.226例1解A的特征多项式得A的特征值λ1=-2,λ2=4当λ1=-2时,有(A+2E)x=0,即求A的特征值与特征向量.其中方阵的特征值与特征向量2009.7.227解之得,5x1=-x2.矩阵A属于λ1=-2的全部特征向量k1(1,-5)T于是相应的特征向量可取p1=(1,-5)T当λ2=4时,有(A-4E)x=0,即解之得,x1=x2.矩阵A属于λ2=4的全部特征向量k2(1,1)T于是相应的特征向量可取p2=(1,1)T方阵的特征值与特征向量2009.7.228例2解A的特征多项式得A的特征值λ1=2,λ2=λ3=1当λ1=2时,有(A-2E)x=0求A的特征值与特征向量.其中方阵的特征值与特征向量2009.7.229解之得,x1=x2=0,x3为任意实数矩阵A属于λ1=2的全部特征向量于是相应的特征向量可取p1=(0,0,1)Tk1p1=k1(0,0,1)Tk1≠0为任意实数方阵的特征值与特征向量2009.7.2210解之得,x1=-x3,x2=-2x3矩阵A属于λ2=λ3=1的全部特征向量于是相应的特征向量可取p1=(-1,-2,1)T当λ2=λ3=1时,有(A-E)x=0k2p2=k2(-1,-2,1)Tk2≠0为任意实数方阵的特征值与特征向量2009.7.2211例3求A的特征值与特征向量．解A的特征多项式得A的特征值λ1=-1,λ2=λ3=2当λ1=-1时,有(A+E)x=0方阵的特征值与特征向量2009.7.2212解之得,x2=0,x1=x3为任意实数矩阵A属于λ1=-1的全部特征向量于是相应的特征向量可取p1=(1,0,1)Tk1p1=k1(1,0,1)Tk1≠0为任意实数方阵的特征值与特征向量2009.7.2213解之得-4x1+x2+x3=0矩阵A属于λ2=λ3=2的全部特征向量于是相应的特征向量可取p2=(0,1,-1)T,p3=(1,0,4)T当λ2=λ3=2时,有(A-2E)x=0k2p2+

k3p3=k2(0,1,-1)T+k3(1,0,4)Tk2k3≠0为任意实数方阵的特征值与特征向量2009.7.2214例4n阶方阵A为奇异矩阵的充要条件是A有一个特征值等于0.证明必要性若A为奇异矩阵,则|A|=0,于是有|0I-A|=(-1)n|A|=0,故0是A的一个特征值.若0是A的一个特征值,其相应的特征向量x,充分性由定义知Ax=0x=0,因特征向量x≠0,要使齐次线性方程组Ax=0

有非零解,则需要|A|=0,即A为奇异.方阵的特征值与特征向量2009.7.2215例5证明贸若λ是矩漆阵A的特撤征值,x是A的属珍于证明再继迎续施踏行上螺述步澡骤m-2次,就得λ的特释征向怎量,则有(1盈)λm是Am的特姨征值(m是任事意常域数)故λm是Am的特堵征值,且x是Am属于λm的特询征向量.(2但)当|A|≠0时,则λ-1是A-1的特起征值.方阵的特征值与特征向量20李09能.7志.2曲216故λ-1是A-1的特家征值,且x是A-1属于λ-1的特卵征向课量.(2访)若|A|≠0时,则A可逆,于是塞知A的特景征值λ≠0.方阵的特征值与特征向量20场09卫.7画.2细217二、晕特征膨值和咽特征止向量调的性糠质方阵的特征值与特征向量性质1设λ0是A的特赴征值,则kλ0是kA的特呈征值证明若λ0是A的特典征值,则x≠0于是kλ0是kA的特悼征值.20炮09锦.7屋.2自218方阵的特征值与特征向量性质2设λ0是A的特证征值,且|A|≠0丽,则λ-1是A-1的证明见例5特征境值20塞09犹.7亚.2宋219方阵的特征值与特征向量性质3n阶方觉阵A与其沙转置灵矩阵AT有相减同的截特征量值.证明故A与AT有相卸同的粥特征帽值.20丢09跌.7书.2抵220性质4n阶方地阵A=(aij),如果(1枣)有一私个成错立,则A的所有特脚征值λk(k=1,遮2,…,惑n)的模|λk|<梯1.证明只需沸证A的任腾意特辽征值λ的模|λ|<爹1即可.设A的属皮于λ的特受征向尺量为x,于是扣有方阵的特征值与特征向量20桌09零.7须.2播221既有|λ|<客1,再由λ的任急意性授知类似菌证明(2壶).方阵的特征值与特征向量20彩09锦.7题.2飘222性质5设λ1,λ2,…,λm为方阵A的m个特其征值,量,如果λ1,λ2,…,λm各不嫂相同,则x1,x2,…,xmx1,x2,…,xm分别井为方阵A的与食之相县应的特征连向证明利用抚数学穴归纳爹法证始明当k=1时,结论盗显然款成立.假设k=m-1时,结论瞧成立,那么累当k=m时,有线性要无关.方阵的特征值与特征向量20咱09妙.7雹.2培223用A左乘(1跨)有用λm左乘(1梢)有(3饲)-欣(2粮)有因λ1,λ2,…,λm-1各不谣相同,且x1,x2,…,xm-1线性则k1=k2=…=km-1=0,代入(1版)式得km=0.于是x1,x2,…xm线性论无关.无关,方阵的特征值与特征向量20震09工.7梢.2踪蝶224性质6设n阶方阵A的全载部特证征值λ1,λ2,…,λn,则有(1叹)λ1+λ2+…+λn=a11+a22+…+ann证明略.即A的所咬有特您征值福的和塘等于A的主乎对角铃线元大素之涨和;方阵的特征值与特征向量(2筑)λ1∙λ2∙…∙λn=|新A|A的所按有特治征值站的积卷等于A的行熊列式支值.20膀09辩.7材.2制225例6λ2=件2,求x值和A的另辣一特周征值解利用档上述眯性质6,知而|A|纠=x+2影,于是鸭解得λ3=3四,x=4方阵的特征值与特征向量已知A有特征洋值λ1=1厨,λ1+λ2+λ3=1+x+1λ1∙λ2∙λ3=|扯A|20士09刷.7叙.2挥226注意1.属于氏不同膜特征跃值的筋特征奏向量盲是线肠性无任关的贴．2.属于为同一室特征傻值的梅特征悦向量哗的非锋零线理性组烦合仍阴是属切于这尊个特扛征值梁的特堤征向效量．3.矩阵蛋的特淡