25-万有引力几何张角与拉格朗日点问题-高中物理三轮复习重点题型考前突破

一、万有引力与重力关系1．假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为()A.eq\f(3πg0－g,GT2g0) B.eq\f(3πg0,GT2g0－g)C.eq\f(3π,GT2) D.eq\f(3πg0,GT2g)答案B解析物体在地球的两极时，mg0＝Geq\f(Mm,R2)，物体在赤道上时，mg＋m(eq\f(2π,T))2R＝Geq\f(Mm,R2)，又V＝eq\f(4,3)πR3，联立以上三式解得地球的密度ρ＝eq\f(3πg0,GT2g0－g).故选项B正确，选项A、C、D错误．2．(多选)用m表示地球的通信卫星(同步卫星)的质量，h表示离地面的高度，用R表示地球的半径，g表示地球表面的重力加速度，ω表示地球自转的角速度，则通信卫星所受的地球对它的万有引力的大小为()A．Geq\f(Mm,R＋h2) B.eq\f(mgR2,R＋h2)C．mω2(R＋h) D．meq\r(3,R2gω4)答案：BCD解析：由万有引力定律得F＝Geq\f(Mm,R＋h2)①地球表面的重力加速度g＝Geq\f(M,R2)②由①②式得F＝eq\f(mgR2,R＋h2)③万有引力充当向心力F＝mω2(R＋h)④联立③④消掉(R＋h)得F3＝m3R2gω4，由此得F＝meq\r(3,R2gω4)，故B、C、D正确。变式训练1．（多选）欧洲航天局的第一枚月球探测器——“智能1号”环绕月球沿椭圆轨道运动，用m表示它的质量，h表示它在近月点的高度，ω表示它在近月点的角速度，a表示它在近月点的加速度，R表示月球的半径，g表示月球表面处的重力加速度。忽略其他星球对“智能1号”的影响，则它在近月点所受月球对它的万有引力的大小等于()A．ma B．meq\f(R2g,R＋h2)C．m(R＋h)ω2 D．meq\f(R2ω2,R＋h)答案：AB解析：“智能1号”在近月点所受月球对它的万有引力，即为它所受的合力，由牛顿第二定律得F＝ma，A正确；由万有引力定律得F＝Geq\f(Mm,R＋h2)，又月球表面上，Geq\f(Mm,R2)＝mg，解得F＝meq\f(R2g,R＋h2)，B正确；由于“智能1号”环绕月球沿椭圆轨道运动，曲率圆半径不是R＋h，C、D错误。3．一物体在地球表面重16N，地面上重力加速度为10m/s2.它在以5m/s2的加速度加速上升的火箭中的视重为9N，则此火箭离地球表面的距离为地球半径的(忽略地球自转)()A．2倍B．3倍C．4倍D．一半答案：B解析设此时火箭上升到离地球表面高度为h处，火箭上物体的视重等于物体受到的支持力FN，物体受到的重力为mg′，g′是h高处的重力加速度，由牛顿第二定律得FN－mg′＝ma①其中m＝eq\f(G,g)，代入①式得mg′＝FN－eq\f(G,g)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9－\f(16,10)×5))N＝1N在距离地面为h处，物体的重力为1N，忽略自转，物体的重力等于万有引力．在地球表面：mg＝Geq\f(Mm,R\o\al(2,地))②在距地面h高处，mg′＝Geq\f(Mm,R地＋h2)③②与③相除可得eq\f(mg,mg′)＝eq\f(R地＋h2,R\o\al(2,地))，所以R地＋h＝eq\r(\f(mg,mg′))R地＝eq\r(\f(16,1))R地＝4R地所以h＝3R地，故选B.4.假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为()A．1－eq\f(d,R) B．1＋eq\f(d,R)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R－d,R)))2 D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,R－d)))2答案：A解析如图所示，根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零．设地面处的重力加速度为g，地球质量为M，地球表面的物体m受到的重力近似等于万有引力，故mg＝Geq\f(Mm,R2)；设矿井底部处的重力加速度为g′，等效“地球”的质量为M′，其半径r＝R－d，则矿井底部处的物体m受到的重力mg′＝Geq\f(M′m,r2)，又M＝ρV＝ρ·eq\f(4,3)πR3，M′＝ρV′＝ρ·eq\f(4,3)π(R－d)3，联立解得eq\f(g′,g)＝1－eq\f(d,R)，A对．变式训练1.若地球半径为R，把地球看做质量分布均匀的球体．“蛟龙”号下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的重力加速度之比为()A.eq\f(R－d,R＋h) B.eq\f(R－d2,R＋h2)C.eq\f(R－dR＋h2,R3) D.eq\f(R－dR＋h,R2)答案;C解析设地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g＝Geq\f(M,R2).由于地球的质量为：M＝ρ·eq\f(4,3)πR3，所以重力加速度的表达式可写成：g＝eq\f(GM,R2)＝eq\f(G·ρ\f(4,3)πR3,R2)＝eq\f(4,3)πGρR.根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙”号的重力加速度g′＝eq\f(4,3)πGρ(R－d)，所以有eq\f(g′,g)＝eq\f(R－d,R).根据万有引力提供向心力Geq\f(Mm,R＋h2)＝ma，“天宫一号”所在处的重力加速度为a＝eq\f(GM,R＋h2)，所以eq\f(a,g)＝eq\f(R2,R＋h2)，eq\f(g′,a)＝eq\f(R－dR＋h2,R3)，故C正确，A、B、D错误．二、拉格朗日点应用1．如图，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动。据此，科学家设想在拉格朗日点L1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动。以a1、a2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a3表示地球同步卫星向心加速度的大小。以下判断正确的是()A．a2>a3>a1 B．a2>a1>a3C．a3>a1>a2 D．a3>a2>a1答案：D解析因空间站建在拉格朗日点，所以月球与空间站绕地球转动的周期相同，空间站半径小，由a＝ω2r得a1<a2，月球与同步卫星都是由地球的万有引力提供向心力做圆周运动，而同步卫星的半径小，由a＝eq\f(GM,r2)得a2<a3。综上所述，a3>a2>a1，选项D正确。2.(2019·四川绵阳市第二次诊断)（多选）地月拉格朗日L2点，始终位于地月连线上如图5所示的位置，该点距离地球40多万公里，距离月球约6.5万公里．若飞行器P通过L2点时，是在地球和月球的引力共同作用下沿圆轨道Ⅰ绕地心做匀速圆周运动，其周期与月球沿圆轨道Ⅱ绕地心做匀速圆周运动的周期相等．已知飞行器P线速度为v，周期为T，受地球和月球对它的万有引力大小之比为k.若飞行器P只在地球万有引力作用下沿圆轨道Ⅰ绕地心做匀速圆周运动的线速度为v′，周期为T′，则()图5A．v′＞v B．v′＜vC．T′＝eq\r(1＋\f(1,k))·T D．T′＝eq\r(1＋k)·T答案BC解析设飞行器P受地球的引力为F1，受月球的引力为F2，由公式F1＋F2＝meq\f(v2,r)，F1＝meq\f(v′2,r)，所以v′＜v，故A错误，B正确；由公式F1＝meq\f(4π2,T′2)r，F1＋F2＝meq\f(4π2,T2)r，eq\f(F1,F2)＝k，联立解得：T′＝eq\r(1＋\f(1,k))·T，故C正确，D错误．变式训练1．(2019·河北唐山市第一次模拟)2018年6月14日11时06分，我国探月工程嫦娥四号的中继星“鹊桥”顺利进入地月拉格朗日L2点的运行轨道，为地月信息联通搭建“天桥”．如图所示，L2点位于地球与月球中心连线的延长线上，“鹊桥”位于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与月球同步绕地球做圆周运动，已知地球、月球和“鹊桥”的质量分别为Me、Mm、m，地球和月球球心间的距离为R，L2点到月球中心的距离为x，则x满足()A.eq\f(1,R＋x2)＝eq\f(1,R3)(R＋x)B.eq\f(Mm,x2)＝eq\f(Me,R3)(R＋x)C.eq\f(Me,R＋x2)＋eq\f(Mm,x2)＝eq\f(Me,R3)(R＋x)D.eq\f(Me,R＋x2)＋eq\f(Mm,x2)＝eq\f(m,R3)(R＋x)答案C解析“鹊桥”与月球同步绕地球做圆周运动，设角速度为ω，根据万有引力提供向心力，对地、月系统：eq\f(GMeMm,R2)＝Mmω2R，对“鹊桥”：eq\f(GMem,R＋x2)＋eq\f(GMmm,x2)＝mω2(R＋x)，联立解得：eq\f(Me,R＋x2)＋eq\f(Mm,x2)＝eq\f(Me,R3)(R＋x)，故选项C正确，A、B、D错误．3．(多选)拉格朗日点是小天体在两个大天体的引力作用下基本能保持相对静止的点。如图是日地系统的5个拉格朗日点(L1、L2、L3、L4、L5)，设想未来人类在这五个点上都建立了太空站。若不考虑其他天体对太空站的引力，下列说法正确的是()A．位于L1点的太空站受力平衡B．位于L2点的太空站的线速度大小大于地球的线速度大小C．位于L3点的太空站的向心加速度大小大于位于L1点的太空站的向心加速度大小D．位于L4点的太空站受到的向心力大小等于位于L5点的太空站受到的向心力大小答案：BC解析：由题意可知位于拉格朗日点的太空站与地球相对静止，因此位于L1点的太空站环绕太阳做圆周运动，则其所受合力不为零，受力不平衡，A错误；由题意可知，太空站与地球绕太阳运行的角速度大小相等，由v＝ωR可知位于L2点的太空站的线速度大小大于地球的线速度大小，B正确；位于L3点和位于L1点的太空站绕太阳运行的角速度大小相等，由a＝ω2R可知，位于L3点的太空站的向心加速度大小大于位于L1点的太空站的向心加速度大小，C正确；由于位于L4点和L5点的太空站的质量关系未知，因此位于L4点和L5点的太空站所受的向心力大小不能确定，D错误。变式训练2.(多选)2018年5月25日21时46分，探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继卫星成功实施近月制动，进入月球至地月拉格朗日L2点的转移轨道。当“鹊桥”位于拉格朗日点(如图中的L1、L2、L3、L4、L5所示，人们称为地月系统拉格朗日点)上时，会在月球与地球的共同引力作用下，几乎不消耗燃料而保持与月球同步绕地球做圆周运动，下列说法正确的是(月球的自转周期等于月球绕地球运动的周期)()A．“鹊桥”位于L2点时，“鹊桥”绕地球运动的周期和月球的自转周期相等B．“鹊桥”位于L2点时，“鹊桥”绕地球运动的向心加速度大于月球绕地球运动的向心加速度C．L3和L2到地球中心的距离相等D．“鹊桥”在L2点所受月球和地球引力的合力比在其余四个点都要大答案：ABD[“鹊桥”位于L2点时，由于“鹊桥”与月球同步绕地球做圆周运动，所以“鹊桥”绕地球运动的周期和月球绕地球运动的周期相等，又月球的自转周期等于月球绕地球运动的周期，故选项A正确；“鹊桥”位于L2点时，由于”鹊桥”与月球绕地球做圆周运动的周期相同，“鹊桥”的轨道半径大，根据公式a＝eq\f(4π2,T2)r分析可知，“鹊桥”绕地球运动的向心加速度大于月球绕地球运动的向心加速度，故选项B正确；如果L3和L2到地球中心的距离相等，则“鹊桥”在L2点受到月球与地球引力的合力更大，加速度更大，所以周期更短，故L2到地球中心的距离大于L3到地球中心的距离，选项C错误；在5个点中，L2点离地球最远，所以在L2点“鹊桥”所受合力最大，故选项D正确。]4.2019年1月3日，嫦娥四号探测器登陆月球，实现人类探测器首次月球背面软着陆，为给嫦娥四号探测器提供通信支持，我国早在2018年5月21日就成功发射嫦娥四号中继星“鹊桥号”，如图所示，“鹊桥号”中继星一边绕拉格朗日L2点做圆周运动，一边随月球同步绕地球做圆周运动且其绕L2点半径远小于L2点与地球间的距离。(已知位于地、月拉格朗日L1、L2点处的小物体能够在地、月的引力作用下，几乎不消耗燃料，便可与月球同步绕地球做圆周运动)则下列说法正确的是()A.“鹊桥号”的发射速度大于11.2km/sB.“鹊桥号”绕地球运动的周期约等于月球绕地球运动的周期C.同一卫星在L2点受地、月引力的合力与其在L1点受地、月引力的合力相等D.若技术允许，使“鹊桥号”刚好位于拉格朗日L2点，能够更好地为嫦娥四号探测器提供通信支持答案B解析11.2km/s是卫星脱离地球的引力的第二宇宙速度，所以“鹊桥”的发射速度应小于11.2km/s，故A错误；根据题意可知，“鹊桥”绕地球转动的周期与月球绕地球转动的周期相同，故B正确；“鹊桥”在L2点是距离地球最远的拉格朗日点，角速度相等，由Fn＝mrω2可知，在L2点受月球和地球引力的合力比在L1点要大，故C错误；“鹊桥”若刚好位于L2点，由几何关系可知，通讯范围较小，会被月球挡住，并不能更好地为嫦娥四号推测器提供通信支持，故D错误。三、椭圆轨道卫星和火箭发射1．（多选）[2015·唐山二模]甲乙为两颗地球卫星，其中甲轨道为圆，乙轨道为椭圆，圆轨道的直径与椭圆轨道的长轴相等，如图所示，P点为两轨道的一个交点。以下判断正确的是()A．卫星乙在远地点的线速度小于卫星甲的线速度B．卫星乙在近地点的线速度小于卫星甲的线速度C．卫星乙的周期大于卫星甲的周期D．卫星乙在P点的加速度等于卫星甲在P点的加速度答案：AD解析由于甲轨道半径和乙轨道的半长轴相等，由开普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k，知甲、乙周期相等，故C错误。甲、乙在P点时距地球一样近，加速度a＝eq\f(GM,r2)相等，故D正确。如图，在乙轨道的远地点虚拟一个圆轨道1，在近地点也虚拟一个圆轨道2。由v＝eq\r(\f(GM,r))知v2＞v甲＞v1，而乙在近地点时的速度大于v2，更大于v甲，故B错误。乙在远地点的速度小于v1，更小于v甲，故A正确。变式训练1．如图所示，设想轨道A为“天宫一号”运行的圆轨道，轨道B为“神舟九号”变轨前的椭圆轨道，如果它们的轨道平面相同，且A、B轨道相交于P、Q两点，则下列关于“神舟九号”和“天宫一号”的物理量说法正确的是()A．一定具有相同的运动周期B．一定具有相同的机械能C．在轨道上的P点或Q点时具有相同的速度D．在轨道上的P点或Q点时一定具有相同的加速度答案：D解析根据开普勒第三定律，如果“神舟九号”沿椭圆轨道运动的半长轴等于“天宫一号”圆轨道的半径，则它们的运行周期相等，A错误；宇宙飞船的机械能是动能和引力势能的总和，与飞船的质量有关，故机械能不一定相等，B错误；速度是矢量，因此在轨道上的P点或Q点即使速度大小相等，方向也不相同，C错误；由牛顿第二定律可知，它们在P点或Q点时的加速度一定相同，D正确．2.（多选）2017年1月24日，报道称，俄航天集团决定将“质子­M”运载火箭的发动机召回沃罗涅日机械制造厂。若该火箭从P点发射后不久就失去了动力，火箭到达最高点M后又返回地面的Q点，并发生了爆炸，已知引力常量为G，地球半径为R。不计空气阻力，下列说法正确的是()A．火箭在整个运动过程中，在M点的速率最大B．火箭在整个运动过程中，在M点的速率小于7.9km/sC．火箭从M点运动到Q点(爆炸前)的过程中，火箭的机械能守恒D．已知火箭在M点的速度为v，M点到地球表面的距离为h，则可求出地球的质量答案：BC解析：火箭在失去动力后，在M点的速率最小，选项A错误；火箭从M点运动到Q点(爆炸前)的过程中，只有万有引力做功，火箭的机械能守恒，选项C正确；7.9km/s是最大的环绕速度，火箭在整个运动过程中，在M点的速率小于7.9km/s，选项B正确；火箭做的不是圆周运动，根据选项D中给出的条件，无法求出地球的质量，选项D错误。变式训练1．(多选)2013年1月27日，我国在境内再次成功地进行了陆基中段反导拦截技术试验，中段是指弹道导弹在大气层外空间依靠惯性飞行的一段．如图所示，一枚蓝军弹道导弹从地面上A点发射升空，目标是攻击红军基地B点，导弹升空后，红军反导预警系统立刻发现目标，从C点发射拦截导弹，并在弹道导弹飞行中段的最高点D将其击毁．下列说法正确的是()A．图中E到D过程，弹道导弹机械能不断增大B．图中E到D过程，弹道导弹的加速度不断减小C．弹道导弹在大气层外运动轨迹是以地心为焦点的椭圆D．弹道导弹飞行至D点时速度大于7.9km/s答案：BC解析弹道导弹从E到D靠惯性飞行，只受地球的引力作用，机械能守恒，选项A错误；弹道导弹从E到D，与地心的距离R增大，万有引力F＝Geq\f(M地m,R2)减小，弹道导弹的加速度a＝eq\f(F,m)减小，选项B正确；由开普勒第一定律知，选项C正确；D点在远地点，弹道导弹的速度最小，由v＝eq\r(\f(GM,r))可知，D点到地心的距离r大于地球的半径R0，所以弹道导弹的速度v＝eq\r(\f(GM,r))小于第一宇宙速度v宇＝eq\r(\f(GM,R0))＝7.9km/s，选项D错误．变式训练2.(2017·河北邯郸一中调研)如图所示，发射远程弹道导弹，弹头脱离运载火箭后，在地球引力作用下，沿椭圆轨道飞行，击中地面目标B.C为椭圆轨道的远地点，距地面高度为h.已知地球半径为R，地球质量为M，引力常量为G.关于弹头在C点处的速度v和加速度a，下列结论正确的是()A．v＝eq\r(\f(GM,R＋h))，a＝eq\f(GM,R＋h2)B．v＜eq\r(\f(GM,R＋h))，a＝eq\f(GM,R＋h2)C．v＝eq\r(\f(GM,R＋h))，a＞eq\f(GM,R＋h2)D．v＜eq\r(\f(GM,R＋h))，a＜eq\f(GM,R＋h2)答案：B解析：根据Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(v2,R＋h)知，若在C处做匀速圆周运动，线速度v＝eq\r(\f(GM,R＋h))，因为弹头在C处做近心运动，万有引力大于向心力，知v＜eq\r(\f(GM,R＋h)).根据牛顿第二定律得，弹头在C处的加速度a＝eq\f(F,m)＝eq\f(\f(GMm,R＋h2),m)＝eq\f(GM,R＋h2)，故B正确．变式训练3．[2015·商丘市一模]2014年10月24日，“嫦娥五号”探路兵发射升空，为计划于2017年左右发射的“嫦娥五号”探路，并在8天后以“跳跃式返回技术”成功返回地面。“跳跃式返回技术”指航天器在关闭发动机后进入大气层，依靠大气升力再次冲出大气层，降低速度后再进入大气层。如图所示，虚线为大气层的边界。已知地球半径R，地心到d点距离r，地球表面重力加速度为g。下列说法正确的是()A．“嫦娥五号”在b点处于完全失重状态B．“嫦娥五号”在d点的加速度小于eq\f(gR2,r2)C．“嫦娥五号”在a点速率大于在c点的速率D．“嫦娥五号”在c点速率大于在e点的速率答案：C解析b点在大气层内，受大气的作用力，不是完全失重状态，故A选项错误。d点的加速度a＝eq\f(GM,r2)，由于GM＝gR2，所以a＝eq\f(gR2,r2)，故B选项错误。由a点到c点万有引力做功为零，只有大气做功，故a点速率大于c点，所以C选项正确。由于cde过程没有大气阻力能量守恒，所以c点速率等于e点，所以D选项错误。四、天体运动中的几何张角问题人造卫星绕地球运动，太阳发出的光线沿直线传播，地球或卫星都会遮挡光线，从而使万有引力、天体运动与几何知识结合起来。求解此类问题时，要根据题中情景，由光线沿直线传播画出几何图形，通过几何图形找到边界光线，从而确定临界条件，并结合万有引力提供卫星做圆周运动所需的向心力，列式求解。1．(多选)如图所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，下列说法正确的是()A．轨道半径越大，周期越长B．张角越大，速度越大C．若测得周期和星球相对飞行器的张角，则可得到星球的平均密度D．若测得周期和轨道半径，则可得到星球的平均密度答案：ABC解析：根据开普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k，可知轨道半径越大，飞行器的周期越长，故A正确；设星球的质量为M，半径为R，平均密度为ρ，张角为θ，飞行器的质量为m，轨道半径为r，周期为T。对于飞行器，根据万有引力提供向心力得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，由几何关系得R＝rsineq\f(θ,2)，由以上两式可得张角越大，轨道半径越小，速度越大，故B正确；又由Geq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)，星球的平均密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)，可知：若测得周期和张角，可得到星球的平均密度，故C正确；由Geq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)可得M＝eq\f(4π2r3,GT2)，可知若测得周期和轨道半径，可得到星球的质量，但是星球的半径未知，不能求出星球的平均密度，故D错误。变式训练1.2014年12月7日，中国和巴西联合研制的地球资源卫星“04星”在太原成功发射升空，进入预定轨道，已知“04星”绕地球做匀速圆周运动的周期为T，地球相对“04星”的张角为θ，引力常量为G，则地球的密度为()A.eq\f(3πG,T2sin3\f(θ,2)) B.eq\f(3π,GT2sin3\f(θ,2))C.eq\f(3π,GT2sin3θ) D.eq\f(3πG,T2sin3θ)答案：B解析：“04星”绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，设地球半径为R，则由题图知rsineq\f(θ,2)＝R，而M＝eq\f(4πR3,3)ρ，联立得ρ＝eq\f(3π,GT2sin3\f(θ,2))，B对。变式训练2.（多选）宇宙飞船绕地球做圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图5所示．已知地球的半径为R，地球质量为M，引力常量为G，地球自转周期为T0.太阳光可看作平行光，不考虑地球公转的影响，宇航员在A点测出地球的张角为α，下列说法中正确的是()A．飞船的高度为eq\f(R,sin\f(α,2))B．飞船的线速度为eq\r(\f(GMsin\f(α,2),R))C．飞船的周期为2πeq\r(\f(R3,GMsin\f(α,2)3))D．飞船每次“日全食”过程的时间为eq\f(αT0,2π)答案：BC解析飞船绕行有：v＝eq\r(\f(GM,r))①，T＝2πeq\r(\f(r3,GM))②.应用几何关系．在△OEA中有sineq\f(α,2)＝eq\f(R,r)③，飞船高度为h＝r－R④.③式代入④式，解得h＝R(eq\f(1,sin\f(α,2))－1)，故选项A错误；解①③得v＝eq\r(\f(GMsin\f(α,2),R))，故选项B正确；解②③得T＝2πeq\r(\f(R3,GMsin\f(α,2)3))，选项C正确；每次“日全食”时间t为绕行BAC时间．由△ODB≌△OEA知γ＝eq\f(α,2)，又有β＝γ，解得β＝eq\f(α,2)⑤综合圆周运动规律．有：2β＝ωt,2π＝ωT，解得t＝eq\f(Tβ,π)⑥，解⑤⑥式得t＝eq\f(α,2π)T，故选项D错误．2.(2019·揭阳市揭东一中检测)如图，人造卫星M、N在同一平面内绕地心O做匀速圆周运动。已知M、N连线与M、O连线间的夹角最大为θ，则M、N的运动周期之比等于()A．sin3θ B.eq\f(1,sin3θ)C.eq\r(sin3θ) D.eq\r(\f(1,sin3θ))答案：D解析：设M、N的轨道半径分别为RM、RN。据题，卫星M、N连线与M、O连线间的夹角最大时，MN连线与卫星N的运行轨道应相切，如图：根据几何关系有RN＝RMsinθ，根据开普勒第三定律有：eq\f(RM3,RN3)＝eq\f(TM2,TN2)联立解得eq\f(TM,TN)＝eq\r(\f(1,sin3θ))，故D正确。变式训练1．[2019·石家庄二模]如图所示，人造卫星A、B在同一平面内绕地心O做匀速圆周运动，已知A、B连线与A、O连线间的夹角最大为θ，则卫星A、B的线速度之比为()A．sinθ B.eq\f(1,sinθ)C.eq\r(sinθ) D.eq\r(\f(1,sinθ))答案：C解析本题的关键是审出A、B连线与AO连线间何时夹角最大，经分析是OB垂直AB时，设A的轨道半径为r1，B的轨道半径为r2，当OB⊥AB时，sinθ＝eq\f(r2,r1)。卫星绕地心做圆周运动时，万有引力提供向心力，eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(\f(GM,r))，所以A、B的线速度之比eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(r2,r1))＝eq\r(sinθ)，故C选项正确。3．(2016·全国卷Ⅰ)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯。目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍。假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为()A．1h B．4hC．8h D．16h答案：B解析：万有引力提供向心力，对同步卫星有：Geq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)，整理得GM＝eq\f(4π2r3,T2)当r＝6.6R地时，T＝24h若地球的自转周期变小，轨道半径最小为2R地三颗同步卫星A、B、C如图所示分布。则有eq\f(4π26.6R地3,T2)＝eq\f(4π22R地3,T′2)解得T′≈eq\f(T,6)＝4h，选项B正确。4．(多选)某人在春分那天(太阳光直射赤道)站在地球赤道上用天文望远镜观察他正上方的一颗同步卫星，他发现在日落后连续有一段时间t观察不到此卫星。已知地球表面的重力加速度为g，地球自转周期为T，圆周率为π，仅根据g、t、T、π可推算出()A．地球的质量B．地球的半径C．卫星距地面的高度D．卫星与地心的连线在t时间内转过的角度答案：BCD解析根据光的直线传播规律，日落后有t时间该观察者看不见此卫星，如图所示，同步卫星相对地心转过角度为θ＝2α，sinα＝eq\f(R,r)，结合θ＝ωt＝eq\f(2π,T)t，可解得卫星与地心的连线在t时间内转过的角度θ，故D正确；对同步卫星根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r和GM＝R2g，可得4π2r3＝R2gT2，联立sinα＝eq\f(R,r)，可得出地球半径R和轨道半径r，则卫星距地面的高度h＝r－R可求出，故B、C均正确；由M＝eq\f(R2g,G)＝eq\f(4π2r3,GT2)可知，由于引力常量G未知，故地球质量M无法求出，A错误。变式训练1.某行星的同步卫星下方的行星表面上有一观察者，行星的自转周期为T，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，发现日落的eq\f(T,2)时间内有eq\f(T,6)的时间看不见此卫星，不考虑大气对光的折射，则该行星的密度为()A.eq\f(24π,GT2) B.eq\f(3π,GT2) C.eq\f(8π,GT2) D.eq\f(16π,GT2)答案：A解析设行星质量为M，半径为R，密度为ρ，卫星质量为m，如图所示，发现日落的eq\f(T,2)时间内有eq\f(T,6)的时间看不见同步卫星，则θ＝eq\f(360°,6)＝60°，故φ＝60°，r＝eq\f(R,cosφ)＝2R，根据Geq\f(Mm,（2R）2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)2R，M＝ρ·eq\f(4,3)πR3，解得ρ＝eq\f(24π,GT2)。选项A正确。5．[2014·全国卷]已知地球的自转周期和半径分别为T和R，地球同步卫星A的圆轨道半径为h，卫星B沿半径为r(r＜h)的圆轨道在地球赤道的正上方运行，其运行方向与地球自转方向相同．求：(1)卫星B做圆周运动的周期；(2)卫星A和B连续地不能直接通讯的最长时间间隔(信号传输时间可忽略)．26．[答案](1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,h)))eq\f(3,2)T(2)eq\f(r\f(3,2),π（h\f(3,2)－r\f(3,2)）)(arcsineq\f(R,h)＋arcsineq\f(R,r))T[解析](1)设卫星B绕地心转动的周期为T′，根据万有引力定律和圆周运动的规律有Geq\f(Mm,h2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)h①Geq\f(Mm′,r2)＝m′eq\b\lc\(