新人版八上数学培优讲义(15讲)

..第一讲三角形考点·方法·破译1．了解与三角形有关的线段<边、高、中线、角平分线>,会画出任意三角形的高、中线、角平分线.2．知道三角形两边的和大于第三边,两边之差小于第三边.3．了解与三角形有关的角<内角、外角>.4．掌握三角形三内角和等于180°,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.5．会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题.6．会从复杂的图形中找到基本图形,从而寻求解决问题的方法.经典·考题·赏析[例１]若的三边分别为4,x,9,则x的取值范围是______________,周长l的取值范围是______________；当周长为奇数时,x＝______________.[变式题组]1．若△ABC的三边分别为4,x,9,且9为最长边,则x的取值范围是______________,周长l的取值范围是______________.2．设△ABC三边为a,b,c的长度均为正整数,且a＜b＜c,a+b+c＝13,则以a,b,c为边的三角形,共有______________个.3．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形〔不许折断并全部用完,能摆出不同形状的三角形个数是<>.A．1 B．2 C．3 D．4[例２]已知等腰三角形的一边长为18cm,周长为58cm,试求三角形三边的长.[变式题组]1．已知等腰三角形两边长分别为6cm,12cm,则这个三角形的周长是<>A．24cmB．30cmC．24cm或30cmD．18cm2．已知三角形的两边长分别是4cm和9cm,则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是<>A．13cmB．6cmC．5cmD．4cm3．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分,则此等腰三角形的腰长为______________.[例３]如图AD是△ABC的中线,DE是△ADC的中线,EF是△DEC的中线,FG是△EFC的中线,若S△GFC＝1cm2,则S△ABC＝______________.[变式题组]1．如图,已知点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点,S△ABC＝4,则S△EFC＝______________.2．如图,点D是等腰△ABC底边BC上任意一点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若一腰上的高为4cm,则DE+DF＝______________.3．如图,已知四边形ABCD是矩形<AD＞AB>,点E在BC上,且AE＝AD,DF⊥AE于F,则DF与AB的数量关系是______________.[例４]已知,如图,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝______________.[变式题组]1．如图,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝______________.2．如图,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝______________.3．如图,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝______________.[例５]如图,已知∠A＝70°,BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．则∠BOC＝______________.[变式题组]1．如图,∠A＝70°,∠B＝40°,∠C＝20°,则∠BOC＝______________.3．如图,∠O＝140°,∠P＝100°,BP、CP分别平分∠ABO、∠ACO,则∠A＝______________.[例６]如图,已知∠B＝35°,∠C＝47°,AD⊥BC,AE平分∠BAC,则∠EAD＝______________.[变式题组]1.〔改如图,已知∠B＝39°,∠C＝61°,BD⊥AC,AE平分∠BAC,则∠BFE＝__________.2．如图,在△ABC中,∠ACB＝40°,AD平分∠BAC,∠ACB的外角平分线交AD的延长线于点P,点F是BC上一动点<F、D不重合>,过点F作EF⊥BC交于点E,下列结论:①∠P+∠DEF为定值,②∠P－∠DEF为定值中,有且只有一个答案正确,请你作出判断,并说明理由.*[例７]如图,在平面内将△ABC绕点A逆时针旋转至△AB′C′,使CC′∥AB,若∠BAC＝70°,则旋转角α＝______________.[变式题组]1.如图,用等腰直角三角形板画∠AOB＝45°,并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线后绕点M逆时针方向旋转22°,则三角板的斜边与射线OA的直角α＝______________.2．如图,在平面内将△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到△OA′B′,若点A′在AB上时,则旋转角α＝______________.<∠AOB＝90°,∠B＝30°>3．如图,△ABE和△ACD是△ABC沿着AB边,AC边翻折180°形成的,若∠BAC＝130°,则∠α＝______________.演练巩固·反馈提高1．如图,图中三角形的个数为<>A．5个 B．6个 C．7个 D．8个2．如果三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是<>A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定3．有4条线段,长度分别是4cm,8cm,10cm,12cm,选其中三条组成三角形,可以组成三角形的个数是<>A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．下列语句中,正确的是<>A．三角形的一个外角大于任何一个内角B．三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和 C．三角形的外角中,至少有两个钝角D．三角形的外角中,至少有一个钝角5．若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是<>A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定6．若一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角,则这个三角形是<>A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定7．如果等腰三角形的一边长是5cm,另一边长是9cm,则这个三角形的周长是______________.8．三角形三条边长是三个连续的自然数,且三角形的周长不大于18,则这个三角形的三条边长分别是______________.9．如图,在△ABC中,∠A＝42°,∠B与∠C的三等分线,分别交于点D、E,则∠BDC的度数是______________.10．如图,光线l照射到平面镜上,然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ之间来回反射,已知∠α＝55,∠γ＝75°,∠β＝______________.11．如图,点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点,且S△EFC＝1,则S△ABC＝______________.12．如图,已知:∠1＝∠2,∠3＝∠4,∠BAC＝63°,则∠DAC＝______________.13．如图,已知点D、E是BC上的点,且BE＝AB,CD＝CA,∠DAE＝∠BAC,求∠BAC的度数培优升级·奥赛检测1．在△ABC中,2∠A＝3∠B,且∠C－30°＝∠A+∠B,则△ABC是<>A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．有一个角是30°的直角三角形D．等腰直角三角形 B． C．2．已知三角形的三边a、b、c的长都是整数,且a≤b≤c,如果b＝7,则这样的三角形共有<>A．21个 B．28个 C．49个 D．54个3．在△ABC中,∠A＝50°,高BE、CF交于O点,则∠BOC＝______________.4．在等腰△ABC中,一腰上的高与另一腰的夹角为26°,则底角的度数为______________.5．如图,BP平分∠ABC交CD于点F,DP平分∠ADC交AB于点E,若∠A＝40°,∠C＝38°,则∠P＝______________.6．如图,已知OABC是一个长方形,其中顶点A、B的坐标分别为<0,a>和<9,a>.点E在AB上,且AE＝AB．点F在OC上,且OF＝OC,点G在OA上,且使△GEC的面积为16,试求α的值.7．如图,已知四边形ABCD中,∠A+∠DCB＝180°,两组对边延长后分别交于P、Q两点,∠P、∠Q的平分线交于M,求证PM⊥QM.第二讲全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等,对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等,面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS,对于两个直角三角形全等的判定方法,除上述方法外,还有HL法；4．证明两个三角形全等的关键,就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件,具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角,再根据选定的判定方法,确定还需要证明哪些相等的边或角,再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等,根据条件,有时能直接进行证明,有时要证的两个三角形并不全等,这时需要添加辅助线构造全等三角形,构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析[例１]如图,AB∥EF∥DC,∠ABC＝90°,AB＝CD,那么图中有全等三角形〔BACDEFA．5对 BBACDEF[变式题组]1．〔XX2011下列判断中错误的是〔A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 D．有一边对应相等的两个等边三角形全等AFCEDB2．〔黄冈已知命题：如图,点A、D、B、E在同一条直线上,且AD＝BE,∠A＝∠FDE,则AFCEDB3．<上海>已知线段AC与BD相交于点O,连接AB、DC,E为OB的中点,F为OC的中点,连接EF〔如图所示.⑴添加条件∠A＝∠D,∠OEF＝∠OFE,求证：AB＝DC；ABCDOFE⑵分别将"∠A＝∠D"记为①,"∠OEF＝∠OFE"记为②,"AB＝DC"记为③,添加①、③,以②为结论构成命题1；添加条件ABCDOFEACEFBD[例２]已知AB＝DC,AE＝DF,CF＝FBACEFBD[变式题组]1．如图,AD、BE是锐角△ABC的高,相交于点O,若BO＝AC,BC＝7,CD＝2,则AO的长为〔A．2 B．3 C．4 D．5AAE第1题图ABCDEBCDO第2题图2.如图,在△ABC中,AB＝AC,∠BAC＝90°,AE是过A点的一条直线,AE⊥CE于E,BD⊥AE于D,DE＝4cm,CE＝2cm,则BD＝__________.\3．〔XX2013已知：如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB于点D,点E在AC上,CE＝BC,过点E作AC的垂线,交CD的延长线于点F.求证：AB＝FC.AAFECBD[例３]如图①,△ABC≌△DEF,将△ABC和△DEF的顶点B和顶点E重合,把△DEF绕点B顺时针方向旋转,这时AC与DF相交于点O.⑴当△DEF旋转至如图②位置,点B〔E、C、D在同一直线上时,∠AFD与∠DCA的数量关系是________________;⑵当△DEF继续旋转至如图③位置时,⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.BB〔EOCF图③FABCDEFAB<E>CDDA图②图①[变式题组]1．〔XX2013如图,D、E分别为△ABC的AC、BC边的中点,将此三角形沿DE折叠,使点C落在AB边上的点P处.若∠CDE＝48°,则∠APD等于〔A．42°B．48°C．52°D．58°2．如图,Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF,下列结论中错误的是〔A．△ABC≌△DEFB．∠DEF＝90°C．AC＝DFD．EC＝CFEEFBABPDEC第1题图ACDG第2题图3．一张长方形纸片沿对角线剪开,得到两种三角形纸片,再将这两张三角形纸片摆成如下图形式,使点B、F、C、D在同一条直线上.⑴求证：AB⊥ED；⑵若PB＝BC,找出图中与此条件有关的一对全等三角形,并证明.BBFACENMPDDACBFE[例４]〔第21届XX竞赛试题已知,如图,BD、CE分别是△ABC的边AC和AB边上的高,点P在BD的延长线,BP＝AC,点Q在CE上,CQ＝AB.求证：⑴AP＝AQ；⑵AP⊥AQ221ABCPQEFD[变式题组]ABCDFE1．如图,已知AB＝AE,∠B＝∠E,BA＝ED,点F是CDABCDFE2．〔XX市竞赛试题如图,在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上,梯子顶端距地面的垂直距离MA为am,此时梯子的倾斜角为75°,如果梯子底端不动,顶端靠在对面的墙上,此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为bm,梯子倾斜角为45°,这间房子的宽度是〔A．B．C．bmD．amAAECBA75°C45°BNM第2题图第3题图D如图,已知五边形ABCDE中,∠ABC＝∠AED＝90°,AB＝CD＝AE＝BC＋DE＝2,则五边形ABCDE的面积为__________演练巩固·反馈提高1．〔XX2011已知图中的两个三角形全等,则∠α度数是〔A．72°B．60°C．58°D．50°第3题图第3题图第1题图CAODBP第2题图ACA/BB/aαcca50°b72°58°2．如图,△ACB≌△A/C/B/,∠BCB/＝30°,则∠ACA/的度数是〔A．20°B．30°C．35°D．40°3．尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心,任意长为半径画弧交OA、OB于C、D,再分别以点C、D为圆心,以大于长为半径画弧,两弧交于点P,作射线OP,由作法得△OCP≌△ODP的根据是〔A．SASB．ASAC．AASD．SSS4．〔XX2012如图,已知AB＝AD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△ADC的是〔A.CB＝CDB.∠BAC＝∠DACC.∠BCA＝∠DCAD.∠B＝∠D＝90°EE21NABDC第5题图ABCDEABCD第4题图第6题图M5．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC和△BDE,将它们的一个锐角顶点放在一起,将它们的一个锐角顶点放在一起,如图,当A、B、D不在一条直线上时,下面的结论不正确的是〔A.△ABE≌△CBDB.∠ABE＝∠CBDC.∠ABC＝∠EBD＝45°D.AC∥BE6．如图,△ABC和共顶点A,AB＝AE,∠1＝∠2,∠B＝∠E.BC交AD于M,DE交AC于N,小华说："一定有△ABC≌△AED."小明说："△ABM≌△AEN."那么〔A.小华、小明都对B.小华、小明都不对C.小华对、小明不对D.小华不对、小明对7．如图,已知AC＝EC,BC＝CD,AB＝ED,如果∠BCA＝119°,∠ACD＝98°,那么∠ECA的度数是___________.8．如图,△ABC≌△ADE,BC延长线交DE于F,∠B＝25°,∠ACB＝105°,∠DAC＝10°,则∠DFB的度数为_______.9．如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,DE⊥AB于D,BC＝BD.AC＝3,那么AE＋DE＝______第10题图第10题图ABCDE第9题图EABCDABCDEFOCAEBD第7题图第8题图10．如图,BA⊥AC,CD∥AB.BC＝DE,且BC⊥DE,若AB＝2,CD＝6,则AE＝_____.11．如图,AB＝CD,AB∥CD.BC＝12cm,同时有P、Q两只蚂蚁从点C出发,沿CB方向爬行,P的速度是0.1cm/s,Q的速度是0.2cm/s.求爬行时间t为多少时,△APB≌△QDC.DDAC.QP.BDBACEF12．如图,△ABC中,∠BCA＝90°,AC＝BC,AE是BC边上的中线,过C作CF⊥AE,垂足为F,过B作BD⊥BCDBACEF⑴求证：AE＝CD；⑵若AC＝12cm,求BD的长.AEBFDC13．〔XX如图,AB＝AC,AD⊥BC于点D,AD等于AE,AB平分∠DAEAEBFDC14．如图,将等腰直角三角板ABC的直角顶点C放在直线l上,从另两个顶点A、B分别作l的垂线,垂足分别为D、E.BDEBDEClA⑵若DE＝a,求梯形DABE的面积.〔温馨提示：补形法15．如图,AC⊥BC,AD⊥BD,AD＝BC,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别是E、F.求证：CE＝DF.AAEFBDC培优升级·奥赛检测1．如图,在△ABC中,AB＝AC,E、F分别是AB、AC上的点,且AE＝AF,BF、CE相交于点O,连接AO并延长交BC于点D,则图中全等三角形有〔A．4对 B．5对 C．6对 D．7对FF第6题图21ABCENM321ADEBCFADECOAEOBFCD第1题图B第2题图第3题图2．如图,在△ABC中,AB＝AC,OC＝OD,下列结论中：①∠A＝∠B②DE＝CE,③连接DE,则OE平分∠AOB,正确的是〔A．①②B．②③C．①③D．①②③3．如图,A在DE上,F在AB上,且AC＝CE,∠1=∠2=∠3,则DE的长等于〔A．DCB.BCC.ABD.AE＋AC4．下面有四个命题,其中真命题是〔A．两个三角形有两边及一角对应相等,这两个三角形全等B．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C.有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D.两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等5．在△ABC中,高AD和BE所在直线相交于H点,且BH＝AC,则∠ABC＝_______.6．如图,EB交AC于点M,交FC于点D,AB交FC于点N,∠E＝∠F＝90°,∠B＝∠C,AE＝AF.给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF;③△ACN≌△ABM;④CD＝DB,其中正确的结论有___________.〔填序号7．如图,AD为在△ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于点F,且有BF＝AC,FD＝CD.⑴求证：BE⊥AC；AEFCDB⑵若把条件"BF＝ACAEFCDB如图,D为在△ABC的边BC上一点,且CD＝AB,∠BDA＝∠BAD,AE是△ABD的中线.求证：AC＝2AE.AABEDC9．如图,在凸四边形ABCD中,E为△ACD内一点,满足AC＝AD,AB＝AE,∠BAE＋∠BCE＝90°,∠BAC＝∠EAD.求证：∠CED＝90°.AAEBDCADEGCHB10．如图,AB＝AD,AC＝AE,∠BAD＝∠CAE＝180°.AH⊥AH于H,HA的延长线交DE于ADEGCHB第三讲角平分线的性质与判定考点·方法·破译1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.2．角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.3．有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.经典·考题·赏析[例１]如图,已知OD平分∠AOB,在OA、OB边上截取OA＝OB,PM⊥BD,PN⊥AD.求证：PM＝PN[变式题组]1．如图,CP、BP分别平分△ABC的外角∠BCM、∠CBN.求证：点P在∠BAC的平分线上.2．如图,BD平分∠ABC,AB＝BC,点P是BD延长线上的一点,PM⊥AD,PN⊥CD.求证：PM＝PN[例２]〔天津竞赛题如图,已知四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E,且AE＝<AB＋AD>,如果∠D＝120°,求∠B的度数[变式题组]1．如图,在△ABC中,CD平分∠ACB,AC＝5,BC＝3.求2．<XX竞赛>在四边形ABCD中,已知AB＝a,AD＝b.且BC＝DC,对角线AC平分∠BAD,问a与b的大小符合什么条件时,有∠B＋∠D＝180°,请画图并证明你的结论.[例３]如图,在△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝AC,BE平分∠ABC,CE⊥BE.求证：CE＝BD[变式题组]1．如图,已知AC∥BD,EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA,CD过点E,求证：AB＝AC＋BD.2．如图,在△ABC中,∠B＝60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F.⑴请你判断FE和FD之间的数量关系,并说明理由；⑵求证：AE＋CD＝AC.演练巩固·反馈提高1．如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,BD平分∠ABC交AC于D,若CD＝n,AB＝m,则△ABD的面积是〔A．mnB．mnC．mnD．2mn2．如图,已知AB＝AC,BE＝CE,下面四个结论：=1\*GB3①BP＝CP；=2\*GB3②AD⊥BC；=3\*GB3③AE平分∠BAC；=4\*GB3④∠PBC＝∠PCB.其中正确的结论个数有〔个A． 1 B．2 C．3 D．43．如图,在△ABC中,P、Q分别是BC、AC上的点,作PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分别是R、S.若AQ＝PQ,PR＝PS,下列结论：=1\*GB3①AS＝AR；=2\*GB3②PQ∥AR；=3\*GB3③△BRP≌△CSP.其中正确的是〔A． =1\*GB3①=3\*GB3③B．=2\*GB3②=3\*GB3③C．=1\*GB3①=2\*GB3②D．=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③4．如图,△ABC中,AB＝AC,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F,则下列四个结论中：=1\*GB3①AD上任意一点到B、C的距离相等；=2\*GB3②AD上任意一点到AB、AC的距离相等；=3\*GB3③AD⊥BC且BD＝CD；=4\*GB3④∠BDE＝∠CDF.其中正确的是〔A．=2\*GB3②=3\*GB3③B．=2\*GB3②=4\*GB3④C．=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④D．=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④5．如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠CAB＝30°,∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于E点,则∠AEB的度数为〔A．50°B．45°C．40°D．35°6．如图,P是△ABC内一点,PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,PF⊥AC于F,且PD＝PE＝PF,给出下列结论：=1\*GB3①AD＝AF；=2\*GB3②AB＋EC＝AC＋BE；=3\*GB3③BC＋CF＝AB＋AF；=4\*GB3④点P是△ABC三条角平分线的交点.其中正确的序号是〔A．=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④B．=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③C．=1\*GB3①=2\*GB3②=4\*GB3④D．=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④7．如图,点P是△ABC两个外角平分线的交点,则下列说法中不正确的是〔A．点P到△ABC三边的距离相等 B．点P在∠ABC的平分线上C．∠P与∠B的关系是：∠P＋∠B＝90°D．∠P与∠B的关系是：∠B＝∠P8．如图,BD平分∠ABC,CD平分∠ACE,BD与CD相交于D.给出下列结论：=1\*GB3①点D到AB、AC的距离相等；=2\*GB3②∠BAC＝2∠BDC；=3\*GB3③DA＝DC；=4\*GB3④DB平分∠ADC.其中正确的个数是〔A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．如图,△ABC中,∠C＝90°AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E,下列结论中：=1\*GB3①AD平分∠CDE；=2\*GB3②∠BAC＝∠BDE；=3\*GB3③DE平分∠ADB；=4\*GB3④AB＝AC＋BE.其中正确的个数有〔A．3个 B．2个 C．1个 D．4个10．如图,已知BQ是∠ABC的内角平分线,CQ是∠ACB的外角平分线,由Q出发,作点Q到BC、AC和AB的垂线QM、QN和QK,垂足分别为M、N、K,则QM、QN、QK的关系是_________11．如图,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且DB＝DC.求证：BE＝CF12．如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.求证：AD⊥EF.培优升级·奥赛检测1．如图,直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可选择的地址有〔A．一处B．二处C．三处D．四处2．已知Rt△ABC中,∠C＝90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC＝32,且BD:CD＝9:7,则D到AB边的距离为〔A．18B．16C．14D．123．如图,△ABC中,∠C＝90°,AD是△ABC的平分线,有一个动点P从A向B运动.已知：DC＝3cm,DB＝4cm,AD＝8cm.DP的长为x<cm>,那么x的范围是__________4．如图,已知AB∥CD,PE⊥AB,PF⊥BD,PG⊥CD,垂足分别为E、F、G,且PF＝PG＝PE,则∠BPD＝__________5．如图,已知AB∥CD,O为∠CAB、∠ACD的平分线的交点,OE⊥AC,且OE＝2,则两平行线AB、CD间的距离等于__________6．如图,AD平分∠BAC,EF⊥AD,垂足为P,EF的延长线于BC的延长线相交于点G.求证：∠G＝<∠ACB－∠B>7．如图,在△ABC中,AB＞AC,AD是∠BAC的平分线,P为AC上任意一点.求证:AB－AC＞DB－DC8．如图,在△ABC中,∠BAC＝60°,∠ACB＝40°,P、Q分别在BC、AC上,并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线上.求证：BQ＋AQ＝AB＋BP第四讲轴对称及轴对称变换考点·方法·破译1．轴对称及其性质把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称,这条直线叫对称轴.轴对称的两个图形有如下性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上.2．线段垂直平分线线段垂直平分线也叫线段中垂线,它反映了与线段的两种关系：①位置关系——垂直；②数量关系——平分.性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.3．当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高〔或垂线、或求几条折线段的最小值等情况时,通常考虑作轴对称变换,以"补齐"图形,集中条件.经典·考题·赏析[例１]〔XX如图所示,将一张正方形纸片对折两次,然后在上面打3个洞,则纸片展开后是〔[变式题组]1．将正方形纸片两次对折,并剪出一个菱形小洞后铺平,得到的图形是〔2．〔荆州如图,将矩形纸片ABCD沿虚线EF折叠,使点A落在点G上,点D落在点H上；然后再沿虚线GH折叠,使B落在点E上,点C落在点F上,叠完后,剪一个直径在BC上的半圆,再展开,则展开后的图形为〔[例2]〔襄樊如图,在边长为1的正方形网格中,将△ABC向右平移两个单位长度得到△A’B’C’,则与点B’关于x轴对称的点的坐标是〔A．〔0,－1B．〔1,1C．〔2,－1D．〔1,－1[变式题组]1．若点P〔－2,3与点Q〔a,b关于x轴对称,则a、b的值分别是〔A．－2,3B．2,3C．－2,－3D．2,－32．在直角坐标系中,已知点P〔－3,2,点Q是点P关于x轴的对称点,将点Q向右平移4个单位得到点R,则点R的坐标是___________.3．〔荆州已知点P〔a＋1,2a－1关于x轴的对称点在第一象限,则a的取值范围为___________.[例3]如图,将一个直角三角形纸片ABC〔∠ACB＝90°,沿线段CD折叠,使点B落在B1处,若∠ACB1＝70°,则∠ACD＝〔A．30°B．20°C．15°D．10°[变式题组]1．〔XX如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在点D’、C’的位置.若∠EFB＝65°,则∠AED’等于〔A．70°B．65°C．50°D．25°2．如图,△ABC中,∠A＝30°,以BE为边,将此三角形对折,其次,又以BA为边,再一次对折,C点落在BE上,此时∠CDB＝82°,则原三角形中∠B＝___________.[例4]如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,EF是AD的垂直平分线,E为垂足,EF交BC的延长线于点F,求证：∠B＝∠CAF．[变式题组]1．如图,点D在△ABC的BC边上,且BC＝BD＋AD,则点D在__________的垂直平分线上．2．如图,△ABC中,∠ABC＝90°,∠C＝15°,DE⊥AC于E,且AE＝EC,若AB＝3cm,则DC＝___________cm．3．如图,△ABC中,∠BAC＝126°,DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线,则∠EAG＝___________．4.△ABC中,AB＝AC,AB边的垂直平分线交AC于F,若AB＝12cm,△BCF的周长为20cm,则△ABC的周长是___________cm．[例5]〔荆州如图,在3×3的正方形格点图中,有格点△ABC和△DEF,且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称,请在下面的备用图中画出所有这样的△DEF．[变式题组]1．如图,在2×2的正方形格点图中,有一个以格点为顶点的△ABC,请你找出格点图中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形,这样的三角形共有___________个．2．如图甲,正方形被划分成16个全等的三角形,将其中若干个三角形涂黑,且满足下列条件：⑴涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；⑵涂黑部分成轴对称图形。如图乙是一种涂法,请在图1－3中分别设计另外三种涂法．〔在所设计的图案中,若涂黑部分全等,则认为是同一种不同涂法,如图乙与图丙[例6]如图,牧童在A处放牛,其家在B处,若牧童从A处出发牵牛到河岸CD处饮水后回家,试问在何处饮水,所求路程最短？[变式题组]1．〔XX设直线l是一条河,P、Q两地相距8千米,P、Q两地到l地距离分别为2千米、5千米,欲在l上的某点M处修建一个水泵站向P、Q两地供水．现在如下四种铺设管道方案,图中的实线表示辅设的管道,则铺设的管道最短的是〔2．若点A、B是锐角∠MON内两点,请在OM、ON上确定点C、点D,使四边形ABCD周长最小,写出你作图的主要步骤并标明你确定的点．演练巩固·反馈提高1．〔黄冈如图,△ABC与△A’B’C’关于直线l对称,且∠A＝78°,∠C’＝48°,则∠B的度数是〔．A．48°B．54°C．74°D．78°2．〔XX如图,把一张长方形纸片对折,折痕为AB,再以AB的中点O为顶点把平角∠AOB三等分,沿平角的三等分线折叠,将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形,那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是〔A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形3．图1是四边形纸片ABCD,其中∠B＝120°,∠D＝50°,若将其右下角向内折出△PCR,恰使CP∥AB,RC∥AD,如图2所示,则∠C＝〔A．80°B．85°C．95°D．110°4．如图,阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于y轴成轴对称的图形,若点A的坐标是〔1,3,则点M和点N的坐标分别是〔A．M〔1,－3,N〔－1,－3B．M〔－1,－3,N〔－1,3C．M〔－1,－3,N〔1,－3D．M〔－1,3,N〔1,－35．点P关于x轴对称的对称点P’的坐标是〔－3,5,则点P关于y轴对称的对称点的坐标是〔A．〔3,－5B．〔－5,3C．〔3,5D．〔5,306．已知M〔1－a,2a＋2关于y轴对称的点在第二象限,则a的取值范围是〔A．－1＜a＜1B．－1≤a≤1C．a＞1D．a＞－17．如图,镜子中号码的实际号码是___________．8．如图,正方形ABCD的边长为4cm,则图中阴影部分的面积为___________cm2.9．已知点A〔2a＋3b,－2和B〔8,3a＋2b关于x轴对称,则a＋b＝___________.10．如图,在△ABC中,OE、OF分别是AB、AC中垂线,且∠ABO＝20°,∠ABC＝45°,求∠BAC和∠ACB的度数．11．如图,C、D、E、F是一个长方形台球桌的4个顶点,A、B是桌面上的两个球,怎样击打A球,才能使A球撞击桌面边缘CF后反弹能够撞击B球？请画出A球经过的路线,并写出作法．12．如图,P为∠ABC的平分线与AC的垂直平分线的交点,PM⊥BC于M,PN⊥BA的延长线于N．求证：AN＝MC．13．〔荆州有如图""的8张纸条,用每4张拼成一个正方形图案,拼成的正方形的每一行和每一列中,同色的小正方形仅为2个,且使每个正方形图案都是轴对称图形,在网格中画出你拼成的图．〔画出的两个图案不能全等培优升级·奥赛检测1．〔XX竞赛试题如图,直线l1与直线l2相交,∠α＝60°,点P在∠α内〔不在l1l2上．小明用下面的方法作P的对称点：先以l1为对称轴作点P关于l1的对称点P1,再以l2为对称轴作P1关于l2的对称点P2,然后再以l1为对称轴作P2关于l1的对称点P3,以l2为对称轴作P3关于l2的对称点P4,……如此继续,得到一系列P1、P2、P3……Pn与P重合,则n的最小值是〔A．5B．6C．7D．82．〔XX已知：如图,AF平分∠BAC,BC⊥AF,垂足为E,点D与点A关于点E对称,PB分别与线段CF、AF相交于P、M．⑴求证：AB＝CD；⑵若∠BAC＝2∠MPC,请你判断∠F与∠MCD的数量关系,并说明理由．3．在△ABC中,∠BAC＝90°,点A关于BC边的对称点为A’,点B关于AC边的对称点为B’,点C关于AB边的对称点为C’,若S△ABC＝1,求S△A’B’C’．4．小王同学在小组数学活动中,给本小组出了这样一道"对称跳棋"题：如图,在作业本上画一条直线l,在直线l两边各放一粒围棋子A、B,使线段AB长a厘米,并关于直线l对称,在图中P1处有一粒跳棋子,P1距A点b厘米、与直线l的距离C厘米,按以下程序起跳：第1次,从P1点以A为对称中心跳至P2点；第2次,从P2点以l为对称轴跳至P3点；第3次,从P3点以B为对称中心跳至P4点；第4次,从P4以l为对称轴跳至P1点；⑴画出跳棋子这4次跳过的路径并标注出各点字母；〔画图工具不限⑵棋子按上述程序跳跃2011次后停下,假设a＝8,b＝6,c＝3,计算这时它与A的距离是多少？5.〔XX如图,已知平面直角坐标系,A、B两点的坐标分别为A〔2,－3,B〔4,－1．⑴若P〔p,0是x轴上的一个动点,则当p＝___________时,△PAB的周长最短；⑵若C〔a,0,D〔a＋3,0是x轴上的两个动点,则当a＝___________时,四边形ABCD的周长最短；⑶设M、N分别为x轴和y轴上的动点,请问：是否存在这样的点M〔m,0、N〔0,n,使四边形ABMN的周长最短？若存在,请求出m＝___________,n＝___________〔不必写解答过程；若不存在,请说明理由．第五讲等腰三角形考点·方法·破译1．等腰三角形及其性质有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,等腰三角形是轴对称图形,因此它的性质有：⑴等腰三角形的两个底角相等〔即等边对等角；⑵等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合〔即等腰三角形三线合一2．等腰三角形的判定证明一个三角形是等腰三角形的基本方法是：⑴从定义入手,证明一个三角形有两条边相等；⑵从角入手,证明一个三角形有两个角相等,依据是等腰三角形判定定理；等角对等边．3．构造等腰三角形的常用方法⑴角平分线＋平行线＝等腰三角形⑵角平分线＋垂线〔或高＝等腰三角形⑶线段中垂线构造等腰三角形⑷将2倍角转化为相等角构造等腰三角形经典·考题·赏析等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为400,则这个等腰三角形的底角为________________.[变式题组]1．〔黄冈在等腰⊿ABC中,AB＝AC,一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分,则这个等腰三角形的底边长为〔A.7B.11C.7或11D．7或102.〔黄冈在⊿ABC中,AB＝AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为500,则∠B＝___________度．3.〔襄樊在⊿ABC中,AB＝AC＝12cm,BC＝6cm,D为BC的中点,动点P从B点出发,以每秒1cm的速度沿B→A→C的方向运动．设运动时间为t,那么当t＝_________秒时,过D、P两点的直线将⊿ABC的周长分成两个部分,使其中一部分是另一部分的2倍．[例２]如图,在⊿ABC中,AB＝AC,点D在AC上,AD＝BD＝BC,求∠A的度数．[变式题组]1．如图,在⊿ABC中,AB＝AC,BD＝BC,AD＝DE＝EB,求∠A的度数．2．如图,在⊿ABC中,AB＝AC,BC＝BD＝ED＝EA,求∠A的大小．[例３]已知坐标原点O和点A〔2,－2,B是坐标轴上的一点．若⊿AOB是等腰三角形,则这样的点B一共有〔个A．4B．5C．6D．8[变式题组]1．<XX竞赛试题>在平面直角坐标系xOy内,已知A〔3,－3,点P是y轴上一点,则使⊿AOP为等腰三角形的点P共有〔A．2个B．3个C．4个D．5个2．如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是<1,0>,点B的坐标是〔0,QUOTE,点C在坐标平面内．若以A、B、C为顶点构成的三角形是等腰三角形,且底角为30度,则满足条件的点C有_________个．ABABCDPE第4题图第4题图第3题图第2题图第3题图第2题图3.〔XX如图,已知长方形纸片ABCD,点E是AB的中点,点G是BC上一点,∠BEG＞600,现沿直线EG将纸片折叠,使点B落在纸片中的点H处,连接AH,则与∠BEG相等的角的个数为〔ACBMDE<例4题图>A．4ACBMDE<例4题图>4．如图所示,矩形ABCD中,AB＝4,BC＝QUOTE,点E是折线段A－D－C上的一个动点〔点E与点A不重合,点P是点A关于BE的对称点．在点E运动的过程中,使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有〔A．2个B．3个C．4个D．5个[例４]两个全等的含30°,60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置,E,A,C三点在一条直线上,连结BD,取BD的中点M,连结ME,MC．试判断△EMC的形状,并说明理由．[变式题组]1．如图,在等腰直角三角形ABC中,P是斜边BC的中点,以P为直角顶点的两边分别与边AB、AC交于点E、F,当∠EPF绕顶点P旋转时<点E不与A、B重合>,⊿PEF也始终是等腰三角形,请你说明理由．2．如图,在等腰三角形ABC中,∠ACB＝900,D是BC的中点,DE⊥AB垂足为E,过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F,连接CF交AD于G．⑴求证：AD⊥CF;⑵连接AF,试判断⊿ACF的形状,并说明理由．3．如图,⊿ABC中,∠ACB＝900,AC＝BC,CO为中线．现将一直角三角板顶点放在点O上并绕点O旋转,若三角板的两直角边分别交AC、CB的延长线于点G、H．⑴试写出图中除AC＝BC,OA＝OB＝OC外其他所有相等的线段；⑵请选一组你写出的相等线段给予证明．[例５]我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地,我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．⑴请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；⑵如图,在中,点分别在上,设相交于点,若,．请你写出图中一个与相等的角,并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；⑶在中,如果是不等于的锐角,点分别在上,且．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形,并证明你的结论．[变式题组]1．如图,在QUOTEABC中,∠B＝2∠C,AD为∠BAC的平分线．求证：AC＝AB＋BD.2．<天津初赛试题>如图,在四边形ABCD中,∠ACB＝∠BAD＝1050,∠ABC＝∠ADC＝450,若AB＝2,求CD的长．3．如图,在QUOTEABC中,AB＝AC,D在AB上,F在AC延长线上,BD＝CF．求证DE＝EF.[变式题组]1．<XX>已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4,则这个等腰三角形顶角的度数为〔A．200B．1200C．200或1200D．36002．〔XX已知等腰三角形的两边分别为6和3,则此等腰三角形周长为〔A．9B．15C．15D．12或153.〔XX如图,等腰QUOTEABC的周长为21,底边BC＝5,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交AC于点E,则QUOTEBEC的周长为〔A．13B．14C．15D．164．如图,C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上,且AB＝BC＝CD＝DE＝EF,若∠A＝180,则∠GEF的度数是〔A．800B．900C．1000D．10805．如图,RtQUOTEABC中,CD是斜边AB上的高,角平分线AE交CD于H,EF⊥AB于F,则下列结论中不正确的是〔A．∠ACD＝∠BB.CH＝CE＝EFC.CH＝HDD.AC＝AF6．如图,QUOTEABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC交AB于点D,交AC于点E,那么下列结论：①QUOTEBDF和QUOTECEF都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE;③QUOTEADE的周长等于AB与AC的和；④BF＝CF.其中正确的有〔A．①②③B．①②③④C．①②D．①7.〔XX如图,已知O是四边形ABCD内一点,OA＝OB＝OC,∠ABC＝∠ADC＝700,则∠DAO＋∠DCO的大小是〔A．700B．1100C．1400D．15008．〔滨州已知等腰QUOTEABC的周长为10,若设腰长为x,则x的取值范围是____________.9．如图所示,在QUOTEABC中,已知AB＝AC,∠A＝360,BC＝2,BD是QUOTEABC的角平分线,则AD＝___________.10．<威海>如图,AB＝AC,BD＝BC,若∠A＝400,则∠ABD的度数是_________.11．<乌鲁木齐>在一次数学课上,王老师在黑板上画出图6,并写下了四个等式：①,②,③,④．要求同学从这四个等式中选出两个作为条件,推出是等腰三角形．请你试着完成王老师提出的要求,并说明理由．〔写出一种即可已知：BEDABEDAC证明：12．〔XX两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,在同一条直线上,连结．⑴请找出图2中的全等三角形,并给予证明〔说明：结论中不得含有未标识的字母；⑵证明：．图1图1图2DCEAB培优升级·奥赛检测1．如图,∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P,BE＝BC,PB与CE交于点H,PG∥AD交BC于F,交AB于G,下列结论：①GA＝GP;②QUOTE③BP垂直平分CE；④FP＝FC;其中正确的判断有〔A．只有①②B．只有③④C．只有①③④D．只有①②③④2．如图,点A是QUOTE网格图形中的一个网格图形中的一个格点〔小正方形的顶点,图中每个小正方形的边长为1,以A为其中的一个顶点,面积等于2.5的格点等腰直角三角形〔三角形的三个顶点都是格点的个数是〔A.10个B.12个C.14个D.16个3．如图,在QUOTEABC中,AB＝BC,MN＝NA,∠BAM＝∠NAC,则∠MAC＝_________.4．如图,AA’、BB’分别是∠EAB、∠DBC的平分线,若AA’＝BB’＝AB.则∠BAC的度数为______________.5．<全国联赛>在等腰RtQUOTEABC中,AC＝BC＝1,M是BC的中点,CE⊥AM于E,交AB于F．则QUOTE＝_____________6．如图,在QUOTEABC中,AB＝AC,EF为过点A的任意一条直线,CF⊥BC,BE⊥BC.求证：AE＝AF.7．〔XX市竞赛试题如图,在RtQUOTEABC中,∠ACB＝900,CD⊥AB于D,AE平分∠BAC,交CD于K,交BC于E,F是BE上一点,且BF＝CE,求证：FK∥AB8.如图,在QUOTEABC中,∠ABC＝460,D是边BC上一点,DC＝AB,∠DAB＝210,求∠CAD的度数．第六讲等边三角形考点方法破译1．等边三角形及其性质：三边都相等的三角形叫做等边三角形,等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60．等边三角形是轴对称图形,对称轴是顶角平分线或底边上的高、中线所在直线；2．等边三角形的判定：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；3．在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半,反之也成立．经典考题赏析[例1]如图,△DAC和△EBC均是等边三角形,A、C、B三点在一条直线上．AE、BD分别与CD、CE交于点M、N．<1>求证：△ACE≌△DCB;<2>求∠AFD的度数；<3>判断△CMN的形状[变式题组]1．<天津>如图,P、Q是△ABC的边BC上的两点,且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ,则∠BAC的大小等于__________度2．<荆州>如图,D是等边△ABC的边AB上的一动点,以CD为一边向上作等边△EDC,连接AE,找出图中的一组全等三角形,并说明理由．3．如图,在正△ABC中,D,E分别是BC、AC上的一点,且AE＝CD．AD与BE相交于点P,且BQ⊥AD于Q．求证BP＝2PQ4．<黄冈>如图,过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q是BC延长线上一点,当PA＝CQ时,连接PQ交AC于D,求DE的长．[例2]P是△ABC内一点,∠PBC＝30°,∠PBA＝8°,且∠PAB＝∠PAC＝22°,求∠APC的度数[变式题组]1．如图,D是等边三角形ABC内一点,E为ABC外部一点,满足DA＝DB,BE＝BA,∠DBE＝∠DBC．求∠BED的度数．2．如图．D是△ABC外一点．AB＝AC＝BD＋CD,∠ABD＝60°求∠ACD的度数．[例3]如图<1>,△ABC等边三角形,△BDC是顶角120°的等腰三角形,以D为顶点作60°的角,它的两边分别与AB、AC交于点M和N,连接MN．<1>探究：MN、NC之间的关系,并加以证明;<2>若点M、N分别在射线AB、CA上,其他条件不变,再探究线段BM、MN、NC之间的关系,在图<2>中画出相应的图形．并就结论说明理由[变式题组]如图．四边形ABCD中,AB＝AD,∠BAD＝60°,∠BCD＝120°求证：AC＝BC＋DC．巩固练习反馈提高1．如图．△ABC是等边三角形,AD⊥BC,点E在AC上,且AE＝AD,则∠DEC＝<>A105°B85°C95°D75°第1题图第2题图2．如图,等边△ABC,D在AC上,延长BC到E．使CE＝CD,若BD＝DE,给出下列结论：①BD平分∠ABC②AD＝AB③CE＝BC④∠A＝2∠E,其中正确结论的个数是<>A．4个B3个C2个D1个3．<XX>如图,等边△ABC的边长为1cm,D、E分别是AB、AC上的点,将△ABC沿直线DE折叠,点A落在A’处,且A’在△ABC外部,则阴影部分图形的周长为__________cm第3题图第4题图第5题图第3题图第4题图第5题图4．在等边△ABC中,AC＝9,点O在AC上,且AO＝3,点P是AB上一动点,连接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转60°,得到线段OD,要使点D恰好落在BC上,则AP＝__________．5．如图,△ABC是等边三角形,D、E、F分别在AB、BC、AC上,且DE⊥BC,EF⊥AC,FD⊥AB,试判断△DEF是否为等边三角形,并说明理由．6．请你用三种不同的分割方法,将图中的三个正三角形分别分割成四个等腰三角形<在图中画出分割线,并标出必要的角的度数>．7．如图,点D是等边△ABC边AB上的一点．AB＝3AD,DE⊥BC于点E,AE、CD相交于点F<1>求证：△ACD≌△BAE：<2>过点C作CG⊥AE,垂足为点G,探究CF与FG之间的数量关系,并证明．8．如图：△ABC是等边三角形,D是AB边上的点,将线段DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE,延长ED交AC于点F,连接DC,AE．求证：△ADE≌△DFC9．如图：△ABC是等边三角形,点D、E分别在CA、AB的延长线上,AD＝BE．DB的延长线交EC于F．求证：<1>DB＝EC；<2>∠BFC＝60°2013—2014学年度上学期八年级期中数学试卷一、选择题〔每小题3分,共30分1．在△ABC中,∠A与∠B互余,则∠C的大小为〔A60°B90°C120°D150°2．下面汽车标志图案中,不是轴对称图形的是〔ABCD3．一个多边形的每一个外角都等于40°,这个多边形的边数是〔A6B8C9D124．在△ABC中,AB＝2cm,AC＝5cm,△ABC的周长为奇数,则BC的长可能是〔A2cmB5cmC6cmD7cm如图,△ABC≌△DEF,点B、E、C、F在同一条直线上,且CA＝CB,AC与DE相交于点P,图中与∠EPC相等的角有〔A2个B3个C4个D5个6．如图,已知等腰△ABC的周长为34cm,AD是底边上的高,△ABD的周长为24cm,则AD的长为〔A12cmB10cmC8cmD7cm7．如图,在△ABC中,∠BAC＝100°,点D、E在BC上,且BA＝BE,CA＝CD,则∠DAE等于〔A30°B35°C40°D45°8．如图,已知点P为△ABC三条内角平分线AD、BE、CF的交点,作DG⊥PC于G,则∠PDG等于〔A∠ABEB∠DACC∠BCFD∠CPE9．如图,已知AB＝AC,点D、E分别在AC、AB上,BD与CE相交于点O,欲使△ABD≌△ACE．甲、乙、丙三位同学分别添加下列条件：甲：∠BEC＝∠CDB；乙：AE＝AD；丙：OB＝OC．其中满足要求的条件是〔A仅甲B仅乙C甲和乙D甲乙丙均可10．如图,在△ABC中,∠BAC＝90°,AD⊥BC于D,BE平分∠ABC交AD于F,作EG⊥DC于G,则下列结论中：①EA＝EG；②∠BAD＝∠C；③△AEF为等腰三角形；④AF＝FD．其中正确结论的个数为〔A1个B2个C3个D4个二、填空题〔每小题3分,共18分11．若点P〔3,4与Q〔,关于轴对称,则12．如图,△ABC中,AE为中线,AD为高,∠BAD＝∠EAD．若BC＝10cm,则DC＝13．把矩形纸片ABCD沿BE折叠,点C恰好与AD边上点F重合,且DE＝DF,则折角∠CBE的度数为14．如图,已知P〔3,3,点B、A分别在轴正半轴和轴正半轴上,∠APB＝90°,则OA＋OB＝15．如图,△ABC中,AB＝AC＝5,BC＝8,点D在AC上,点E在BC上,且BD恰好垂直平分AE于点F,则△BEF与△AEC的面积之比为16．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于50°,设这条高与等腰三角形底边上的高所在的直线的夹角中,有一个锐角为,则的度数为三、解答题〔共72分17．〔6分已知等腰三角形两边之差为7cm,这两边之和为17cm,求等腰三角形的周长．18．〔6分如图,已知A〔0,4,B〔－2,2,C〔3,0．〔1作△ABC关于轴对称的△A1B1C1；〔2写出点A1、B1的坐标A1〔,B1〔〔3△A1B1C1的面积19．〔6分如图,四边形ABCD中,AB＝CD,AB∥DC,点E、F分别在AD、BC上,且DE＝BF,EF与BD相交于点O．求证：BD与EF互相平分．20．〔7分如图,已知四边形ABCD中,BA＞BC,DA＝DC,BD平分∠ABC,请你猜想∠A与∠C的数量关系,并证明你的猜想．21．〔7分如图,△ABC中,AB＝BC,∠ABC＝90°,点D在CB的延长线上,点E在AB上,且DB＝EB．〔1求证：CE⊥AD；〔2当∠ACE＝30°时,求∠DAC的度数．22．〔8分如图,已知五边形ABCDE的五条边相等,五个内角也相等．对角线AC与BE相交于点F。〔1求∠AEB的度数；〔2求证：四边形EFCD的四条边相等．23．〔10分我们知道,由平行线可得出"同位角相等","内错角相等"等结论,因此,在几何证明中,我们往往可以通过添加平行线得到一些相等的角．〔1如图a,点D在△ABC边BC的延长线上,请你猜想∠ACD与∠A、∠B之间的数量关系,并请你在图中通过添加平行线的方法,证明你的猜想．猜想结论是证明：〔2如图b,四边形ABCD为一个凹四边形,请你利用〔1中你猜想的结论,求证：∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C；〔3如图c,已知BE平分∠ABD,CF平分∠ACD,BE与CF相交于点P,当∠BDC＝130°,∠BAC＝60°时,求∠EPC的度数．24．〔10分如图,平面直角坐标系中,已知点A〔,,B〔,,且,C为轴上点B右侧的动点,以AC为腰作等腰△ACD,使AD＝AC,∠CAD＝∠OAB,直线DB交轴于点P．〔1求证：AO＝AB；〔2求证：△AOC≌△ABD；〔3当点C运动时,点P在轴上的位置是否发生改变,为什么？25．〔12分如图,平面直角坐标系中,已知B〔－3,0,C〔3,0,点A〔0,在轴正半轴上,P为线段OA上一动点〔不与点A、O重合,BP交AC于点E、CP交AB于点F．〔1求证：BE＝CF；〔2当,BF＝2AF时,求点F的坐标；〔3以线段BE、CF、BC为边构成一个新△BCG〔点E与F重合于点G,如果存在点P,恰使,求的取值范围．2013-2014学年上学期XX初中二年级期中模拟考试选择题<每题3分,共30分>1、在和中,,,若证,还要从下列条件中补选一个,错误的选法是<>A.B.C.D.2、长为10、7、5、3的四根木条,选其中三根组成三角形,有〔中选法.A.2B.3C.4D.53、已知一个多边形的每一个内角都等于,则这个多边形是〔A．五边形B.六边形C.七边形D.八边形4、下列平面图形中,不是轴对称图形的是〔5、如图,在,AE的垂直平分线MN交BE于点C,且AB=CE,则的度数是〔A．B.C.D.6、下列命题：①有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等：②周长相等的两个三角形是全等三角形；③全等三角形对应边上的高、中线、对应角的角平分线相等；④两个含角的等腰三角形是全等三角形；其中正确的命题有〔A、1个B、2个C、3个D、4个7、拿一张正方形的纸按下图沿虚线连续对折后剪去带直角的部分,然后打开后的形状是〔8、若两个三角形的两边和其中一边上的高对应相等,则这两个三角形第三边所对应的角的关系是〔A、相等B、互余C、互补D、相等或互补9、如图,在等边中,AC=9,点O在AC上,且AO=3,点P时AB上一动点,连接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转得到线段OD,要使得点D恰好在BC上,则AP的长是〔A、4B、5C、6D、810、如图,D为等腰的斜边AB的中点,E为BC边上一动点,连接ED并延长交CA的延长线于点F,过D作交AC于G,交BC的延长线于H,则以下结论①DE=DG；②BE=CG；③DF=DH；④BH=CF.其中正确的是〔A、②③B、③④C、①④D、①②③④二、填空题〔每题3分,共18分11、如图,CD=CA,EC=BC,欲证,则需增加条件12、在中,,点M在BC上使沿AM折叠后点B落在AC上,若则点M到AC的距离为.13.如图所示,在中,,BC=40,AD是的平分线交BC于D,且DC：DB=3:5,则点D到AB的距离是.14.如图,A在DE上,F在AB上,且AC=CE,,则DE的长等于〔请用图形中的线段表示15.如图,EG、AF、CB三条直线两两相交,AB、DE分别是的平分线,若AB=AD=DE,则=16、如图,中,AB=AC,,边AB绕点A逆时针旋转〔50<m<360得到线段AD,连接BD、DC.若为等腰三角形,则m所有可能的取值是三、解答题〔共72分17、已知：如图,E、B、F、C四点在同一条直线上,,BE=FC,AF=DB.18、作图题：不写作法,保留作图痕迹如图,已知和C、D两点,用直尺和圆规在内部作一点P,使P到OA、OB两边的距离相等.19.如图,在中,D是BC上一点,,,求的度数.20、如图,有一块长方形纸片ABCD中,AB=8,AD=6,将纸片折叠,使得AD边落在AB边上,折痕为AE,再将沿DE边向右翻折,AE与BC的交点为F,求的面积.21.如图,在平面直角坐标系中,A〔-1,5、B〔-1,0、C〔-4,3.<1>在图中作出关于y轴的对称图形.<2>写出、、的坐标；〔3求的面积.22.如图,中,AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E,垂足分别是M、N.<1>若的周长是10,求BC的长；〔2若=,求的度数.23.如图,中,点是线段上的两个动点,且垂直于,垂足为,的延长线交于点Ｎ,直线与直线相交于点,试判断的形状,并加以证明．24.已知：点O为正方形ABCD的对角线AC的中点,点M、N分别在直线AD、CD上,.<1>如图1,点M在AD的延长线上,点N在CD上,求证：MN=DM+CN；〔2如图2,点M在边AD上,点N在边CD上,其他条件不变,问MN、DM、CN之间有怎样的数量关系？为什么？25、在直角坐标系中,,,M,N分别是AB、BD的中点,连接MN交CE于点K.<1>如图1,若A点的坐标为〔3,0,C点坐标为〔-3,2,BCx轴,求点D的坐标；〔2如图2,当C、B、D共线,AB=2BC时,探究CK与EK之间的数量关系,并证明.<3>如图3,当C、B、D不共线,时,〔2中的结论是否成立,若成立,请证明；若不成立,请说明理由.第八讲幂的运算考点·方法·破译幂的运算性质〔其中m、n、p都为正整数：1．2．3．4．5．经典·考题·赏析[例1]下列算式,正确的个数是〔 ①②③④A．0个 B．1个 C．2个 D．3个[变式题组]1.计算的结果是< >A．B．C．D．2．计算＝_______________3．如果,则m＝_________,n＝____________4．计算＝_______________[例２]若,求n的值.[变式题组]1．若,,求的值2．若,求代数式的值3．若,,则＝________.4．已知,,求的值5．已知,求的值[例３]〔希望杯,,,,那么a、b、c、d的大小关系为〔 A．a>b>c>d B．a>b>d>c C．b>a>c>dD．a>d>b>c[变式题组]1．已知,,,则a、b、c的大小关系是〔 A．a>b>cB．a>c>b C．a<b<cD．b>c>a2．已知,,,则a、b、c的大小关系为〔 A．a<b<cB．c<a<b C．c<b<aD．b<c<a[例4]求满足的x的最小正整数[变式题组]1．求满足的最大整数值n.2．如果x、y是正整数,且,求满足条件的整数x、y3．求满足的整数n.演练巩固反馈提高1．〔XX下列运算正确的是〔 A．B．C．D．2．〔XX下列各式计算正确的是〔 A．B．C．D．3．当n为正整数时,等于〔 A．B．C．D．4．计算的结果为〔 A．B．C．D．5．下列命题中,正确的个数是〔 〔１m为正奇数时,一定有等式〔２等式,无论m为何值时都不成立〔３三个等式：都不成立；〔４两个等式：,都不一定成立.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．下列各题中,计算正确的是〔 A．B．C．D．7．已知＝_______________8．,则关于y的方程ay＝a＋14的解是________________9．在中,最大的数是_________________10．一块长方形草坪的长是米,宽是米〔m、n均为大于1的正整数,则该长方形草坪的面积是______________.11．计算⑴＝_______________⑵＝____________________12．计算⑴⑵⑶⑷13．若,化简：14．已知n是正整数,,求的值15．已知a、b、c为自然数,且,求的值培优升级奥赛检测1．〔XX竞赛若,其中n为整数,则x与y的数量关系为〔 A．x＝4y B．y＝4x C．x＝12yD．y＝12x2．化简得〔 A．B．C．D．3．化简＝__________________4．的位数为_____________________5．所得积的末位数字是____________________6．若,求的值7．是否存在整数a、b、c满足？若存在,求出a、b、c的值；若不存在,说明理由.8．如果整数x、y、z满足,求的值9．已知能被10整除,求证：也能被10整除10．设a、b、c、d都是非零自然数,且,求的值第九讲整式乘法一、相关基础知识的回顾：1、整式〔1单项式：由数与字母的组成的代数式叫做单项式〔单独一个数或也是单项式.单项式中的叫做这个单项式的系数；单项式中的所有字母的叫做这个单项式的次数.<2>多项式：几个单项式的叫做多项式.在多项式中,每个单项式叫做多项式的,其中次数最高的项的叫做这个多项式的次数.不含字母的项叫做.<3>整式：与统称整式.2、同类项：在一个多项式中,所含相同并且相同字母的也分别相等的项叫做同类项.合并同类项的法则是___.3、同底数幂的相乘：a·a=a<m,n都是正整数>a·a·…·a=a<m,n,…,p都是正整数>4、幂的乘方：〔amn=am·am·am···am=a=a5、积的乘方：积的乘方运算〔abn=anbn二、单项式乘以单项式：1.单项式与单项式相乘：把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。〔1单项式与单项式相乘,可以分为三步进行：确定积的系数、相同字母相乘、只在一个单项式里含有的字母及其指数的处理。〔2积的系数等于各个因式的系数的积,注意积的