《控制系统数字仿真与cad》第章控制系统的计算机辅助

第5章控制系统的计算机辅助分析系统仿真实质上就是对描述系统的数学模型进行求解。对控制系统来说，系统的数学模型实际上就是某种微分方程或差分方程，因而在仿真过程中需要根据某种数值算法从系统给定的初始值出发，逐步地计算出每一个时刻系统的响应，最后绘制出系统的响应曲线，由此来分析系统的性能。在前面曾经介绍过一般常微分方程的数值解法，该方法是系统仿真的基础。其实，对于各种线性系统模型在典型输入信号作用下来说，当然没有必要采用那些通用的算法来完成这种任务，而是应该充分地利用线性系统的特点，采取更简单的方法来得到问题的解。这样做不但会大大提高运算的效率，而且可以提高仿真的精度和可靠性。本章主要介绍利用MATLAB的控制系统工具箱所提供的函数对线性系统进行计算机分析和处理。5.1控制系统的稳定性分析

在分析控制系统时，首先遇到的问题就是系统的稳定性。对线性系统来说，如果一个连续系统的所有极点都位于左半s平面，则该系统是稳定的。对离散系统来说，如果一个系统的全部极点都位于单位圆内，则此系统可以被认为是稳定的。由此可见，线性系统的稳定性完全取决于系统的极点在根平面上的位置。本节主要介绍几种利用MATLAB来判断系统稳定性的方法。1.利用极点判断系统的稳定性判断一个线性系统稳定性的一种最有效的方法是直接求出系统所有的极点，然后根据极点的分布情况来确定系统的稳定性，对于极点的求取我们在上节中已作过介绍，下面举例说明其判断方法。[例5-1]已知闭环系统的传递函数为判断系统的稳定性，并给出不稳定极点。解：可以利用下面的MATLAB程序%ex5_1.mnum=[32142];den=[351221];[z,p]=tf2zp(num,den);ii=find(real(p)>0);n1=length(ii);if(n1>0)disp('TheUnstablePolesare:');disp(p(ii));elsedisp('SystemidStable');end执行结果显示：TheUnstablePolesare:0.4103+0.6801i0.4103-0.6801i当然，如果增加以下两条语句，则可画出例5-1系统的零极点图，如图5-1所示。系统的零极点图，如图7-1所示.图5-1零极点图【例5-2】已知离散系统的开环脉冲传递函数为：判断单位负反馈系统的稳定性。解：则可利用下面的MATLAB程序：%ex7_2.mnum0=[5410.6-30.5];den0=[100000];[numc,denc]=cloop(num0,den0);r=roots(denc);ii=find(abs(r)>1);n1=length(ii);if(n1>0)disp(['systemisUnstable,with',int2str(n1),'unstablepole']);elsedisp('SystemisStable');End执行结果显示：systemisUnstable,with1unstablepole2.利用特征值判断系统的稳定性对于线性定常系统称多项式为系统的特征多项式。其中，称为系统的特征多项式系数。令特征多项式等于零，即得系统的特征方程|sI-A|=sn+a1sn-1+…+an-1s+an＝0的根称为系统的特征值，即系统的闭环极点。当然判断系统的稳定性同样可利用特征值来判断。【例5-3】已知系统的状态方程为判断系统的稳定性。解：可利用以下的MATLAB程序。%ex5_3.mA=[2.25-5-1.25-0.5;2.25-4.25-1.25-0.25;0.25-0.5-1.25-1;1.25-1.75-0.25-0.75];P=poly(A);r=roots(P);ii=find(real(r)>0);n=length(ii);if(n>0)disp('systemisUnstable');elsedisp('SystemisStable');end执行结果显示：SystemisStable对于例5-3，利用下列命令可得同样的结果。>>r=eig(A);ii=find(real(r)>0);n=length(ii);>>if(n>0)disp(‘SystemisUnstable’);elsedisp(‘SystemisStable’);end3.用李雅普诺夫第二法来判断系统的稳定性在高阶系统或者特征多项式中，当某些系数不是数值时，利用求闭环极点或特征值的方法来判断系统的稳定性是比较困难的。在这种情况下，利用李雅普诺夫第二法比较有效，尤其在系统含有非线性环节时更是如此。线性定常连续系统(5-2)在平衡状态xe=0处，渐近稳定的充要条件是：对任给的一个正定对称矩阵Q，存在一个正定的对称矩阵P，且满足矩阵方程

ATP＋PA＝－Q(5-3)而标量函数V(x)=xTPx是这个系统的一个二次型形式的李雅普诺夫函数。MATLAB提供了李雅普诺夫方程的求解函数lyap()，其调用格式为P=lyap(A,Q)式中，A,Q和P矩阵与式（5-3）中各矩阵相对应。更一般的，利用函数P=lyap(A,Q)可以求解下面给出的李雅普诺夫方程。AP+PB=-Q(5-4)对于离散系统的李雅普诺夫方程的求解函数为dlyap().【例5-4】设系统的状态方程为其平衡状态在坐标原点处，试判断该系统的稳定性。解：MATLAB程序为：%ex5_4.mA=[01;-1-1];Q=eye(size(A));P=lyap(A,Q);i1=find(P(1,1)>0);n1=length(i1);i2=find(det(P)>0);n2=length(i2);if(n1>0&n2>0)disp('P>0,正定，系统在原点处的平衡状态是渐进稳定的');elsedisp('系统不稳定');end执行结果显示：P>0,正定，系统在原点处的平衡状态是渐进稳定的课后作业P216，7－15.2控制系统的时域分析

利用时域分析方法能够了解控制系统的动态性能，如系统的上升时间，调节时间，超调量和稳态误差都可以通过系统在给定输入信号作用下的过渡过程来评价。Matlab控制系统工具箱中提供了多种求取多种线性系统在特定输入下的时间响应曲线的函数，如表5－１所示。

函数名功能函数名功能gensig()输入信号产生initial()求连续系统的零输入响应step()求连续系统的单位阶跃响应dinitial求离散系统的零输入响应dstep()求离散系统的单位阶跃响应lsim()求连续系统对任意输入响应impulse()求连续系统的单位脉冲响应dlism()求离散系统对任意输入响应dimpulse()求离散系统的单位脉冲响应表5－１时域响应函数1.任意壤信号醉函数生成罚任意码信号尸函数ge今ns体ig(艘)的调齿用格略式为[u,t]=ge造ns条ig央(ty坐pe,Ta)或[u,t]=ge南ns剪ig拉(ty刺pe,Ta,Tf,T)其中,第一齿式产吴生一疤个类拒型为ty兰pe的信辰号序平列u(t)，周期算为Ta，ty演pe为以口下标猜识字觉符串炊之一颜：’si鞠n’休—正弦法波；挥’sq弟ua番re投’—方波栗；’pu慕ls尚e’秧—脉冲吹序列乡丰；第掌二式找同时陕定义芬信号禁序列u(t)的持等续时旨间Tf和采棚样时校间T。例5-昆5生成潜一个剧周期愿为5秒，究持续而时间穴为30秒，烘采样忆时间滨为0.戒1秒的葬方波今。解Ma喇tl紧ab窗口丙中执容行以驳下命筹令可撞得图5-驰2所示纽奉结果烤。>>绝[u腔,t拍]=兄ge驳ns奔ig母(’锻sq昼ua讨re益’,哄5,可30支,0淡.1加);>>门pl骑ot穿(t长,u薄)>>何ax默is缺([砖0,稳30夕,–虚0.酬5,廊1.牧5]送)图5-炉2方波崭信号2.连续银系统泰的单渠位阶摸跃响浸应单位己阶跃诱响应威函数st普ep冻(阴)的调骑用格倒式为[y,x,t]=磨st烧ep夜(nu族m,de疯n,t)或[y,x,t]=st班ep铲(A,B,C,D,iu,t)式中,t为选豆定的仍仿真延时间均向量;函数炎返回者值y为系峡统在冬各个滋仿真落时刻近的输膊出所愚组成高的矩客阵；值而x为自征动选枯择的煤状态缝变量患的时抛间响忧应数祝据。如只有想绘捎制出购系统死的阶伟跃响妇应曲缩慧线，船则可箱以由步如下提的格池式调亩用此歇函数st介ep筛(nu谷m,de所n,t)st啊ep扶(A,B,C,睡D,t)当然亏，时踢间向脉量t也可不以省播略，眉此时弱，MA浑TL喇AB自动渔选择桨一个部比较院合适莫的仿探真时俯间。【例5－6】假设的系统茎的开串环传判递函请数为试求炕该系矛统在屠单位稿负反俩馈下汽的阶刷跃响吊应曲速线和翅最大逆超调葱量。解：MA惊TL嚷AB程序朴为：%e毛x5落_6蝴.mnu背m0质=2匹0;蚁de粉n0取=[紧1涉8好36恨4残0榜0]讯;[客nu缺m,呀de抽n]迫=c坊lo林op薯(n长um扰0,模de张n0妙);t=继0:素0.献1:俘10掠;[俘y,屈x,呈t]护=st碑ep哭(n夏um俱,d升en愚,t扭);巷pl嫂ot蠢(t勇,y)M=印((罪ma贫x(垂y)蠢-1更)/指1)手*1顾00页;d弃is贪p(猪[‘最大肾超调溪量M=毫‘凯nu拾m2喜st阀r(斑M)梨‘弱%’继])执行准结果阿为：恐最大拌超调润量M＝2.录55畅46锁%，单半位阶迅跃响覆应曲仇线如沿图5－3中曲动线所预示。另外难，对粗于例5－6结果坐，也速可利套用st科ep怪(n范um怖,d多en愁,t)命令太得到付。在痰该命搏令自跳动绘度制的预系统颈单位吓阶跃挣曲线菊的窗挪口中佛，首尸先在昏空白仇处单幻玉击鼠蚁标右母键，青利用盒弹出太菜单摸中的Ch细ar如ac介te亡ri于st两ic幼s柿Pe钓ak浴R绕es慕po寄ns历e选项吸，获霞得系颠统阶百跃响清应曲股线上川的峰郑值标蒙记点竞；然童后单越击此哨标记吵点即慢可获柴得该思系统专的响电应峰棍值、芦最大皇超调黎量(%踩)和峰东值时精间分性别为1.满03、2.孙55和5.蛮8，如猾图5－3所示惩。图5-命3例5－6的单坚位阶抬跃响岸应曲劫线例5-腔7对于败典型菜二阶最系统试绘盾制出烧无阻倘尼自鞠然振院荡频推率ωn=6，阻尼悼比ζ分别乱为0.喂2,抛0.颤4,递…,罩1.担0,休2.对0时系犁统的绪单位感阶跃但响应乖曲线伟。解MA扛TL贵AB程序仿为%E规xa传mp常le妄5_禁7.峰mwn=6世;z疤et泛a=采[0丸.2稿:0钢.2渐:1赔.0疑:2窑.0撑];fi肚gu浓re千(1求);述ho竖ld登o百nfo誓r去k=节ze逐ta豆;nu絮m=园wn雁.^笑2;de葱n=恨[1斥,2哨*k铁*w印n,捎wn节.^蹈2]曾;st打ep拿(n惊um珍,d赚en抚);文en纹dti蕉tl吨e(金'S雕te淹p嫩R物es掀po扮ns裳e'弄);当ho皆ld材o牧ff执行舱后可府得如央图5-府5所示辉的单蹦位阶环跃响袋应曲届线。从图趟中可孟以看硬出，盼在过汇阻尼(螺)和临欺界阻忍尼(仪)响应捐曲线镇中，滋临界若阻尼阔响应绒应具柄有最守短的铃上升引时间能，响河应速姻度最幼快；蛮在欠眉阻尼联（犁）响应晒曲线熟中，乎阻尼沃系数义越小钉，超遣调量感越大毁，上谷升时倘间越鸽短，虫通常顷取为宜逃，这夜时超嘉调量衫适度娇，调喊节时阵间较赏短。图5-碍4例5－7的单教位阶队跃响歼应曲辛线【例5－8】对例5－7中典患型二懒阶系队统，法绘制菌出，懂取2，4，6，8，12时的葵单位谁阶跃种响应竿。解：MA剖TL振AB程序存为：%E律xa干mp突le霜5_狗8.购mw=缝[2臭:2电:1娱2]脉;z恩et团a=乏0.药7;fi唱gu跨re栽(1困);破ho磁ld趋o轿nfo延rwn=封wnu草m=挤wn订.^皂2;de慰n=理[1索,2匪*z养et苍a*戏wn征,w怠n.顷^2郊];st蹈ep策(n侍um边,d阁en闪);炭en稳dti杏tl址e(栏'S茅te军pRe母sp僻on仁se懂')滚;h室ol艇dof历f图5-狼5例5－8的单矮位阶汤跃响豪应曲肆线3.离散辽系统肢的单叶位阶翻跃响织应离散寺系统漂的单滋位阶狗跃响主应函魔数ds裁te寸p(隶)的调克用格载式为[y,击x]=ds银te输p(nu遮m,de指n,n)或[y,讲x]=ds梢te蠢p(G,H,C,D,iu,n)式中引，n为选导定的旧取样亭点个否数，耳当n省略圆时，突取样雹点数受由函魔数自绝动选塑取，独其余锄参数娘定义寇同前烛。例5-连9已知厘二阶王离散鹅系统试求揪其单疲位阶罢跃响腰应。解：MA免TL泰AB程序复为%E码xa兆mp半le汇5_脸9.球mnu庸m=互[2荣-姑3.画4制1.凳5]芬;de予n=例[1奸-萌1.音6折0.们8]椅;ds锄te属p(嫂nu离m,询de厨n);ti盼tl例e(彼‘P嫌is娃cr沫et宏eSt绢ep亩R糟es欣po碍ns露e’顾)执行煮后得胆如图5-炕7所示嫌的单嘱位阶抓跃响背应曲嗽线。图5-细7例5－9的单丹位阶蹈跃响应桶曲线例5-疗10对于受多入鞭多出腿系统求单掉位阶疮跃响盒应。解：淘这是度双入取双出惰系统蹄，因里此其让阶跃扛响应毛应有4个。MA萌TL困AB程序控如下怜：%E怠xa洞mp吐le勒5_策10细.mA=追[2捎.2于5窜-5摘-查1.污25害-咱0.短5;寨2.询25站-勒4.辜25课-督1.陵25愤-驳0.授25答;0脏.2形5决-0镇.5葡-盏1.旧25痕-泄1;真1.良25放-订1.黎75早-隔0.源25嘴-号0.计75鱼];B=砌[4哄6竞;2载4难;2真2郑;0吼2罚];昨C=认[0抓0最0撕1枪;0佣2灿0躬2安];疾D=椅ze畅ro叙s(仔2,螺2)封;fi翅gu缴re授(1迟);坟st鱼ep严(A充,B衣,C虹,D阶)图5-乎7例5－10的结糠果曲呀线4.单位瘦脉冲堆响应单位肢脉冲属响应盘函数im塑pu占ls诉e(乐)和di尼mp手ul控se(失)与单津位阶质跃函挪数st忍ep步(连)和ds妖te远p(辅)的调筋用格蕉式完扩全一狭致，盈这里引就不事一一胀列写皮了。5.系统享的零抵输入眠响应对于娱连续臣系统肢由初扮始状墙态所疤引起踩的响钓应，仇即零胖输入神响应窝，可线由函请数in育it袋ia钢l(记)来求跃得，株其调吐用格载式为[y,光x,纪t]=赛in寒it经ia许l(A,偿B,砍C,轿D,表x0)或[y,服x,江t]=已in陈it遮ia益l(A,光B,袍C,范D,扇x0,t)其中x0为初鹿始状榴态，撕其余芝参数遣定义西同前鸭。同样楚对于买离散敞系统招的零役输入口响应后函数di爽ni滥ti泼al()的调蜡用格叫式为赌：[y,茫x]=喇di盟ni杨ti块al已(A,铜B,院C,仓D,驻x0)或[y,售x]=著di淹ni悔ti聚al逮(A,廉B,阴C,鹿D,练x0,n)其中,n为取液样点蒜数，购省略搅时由拍函数烂自动麻选取垒。【例5－11赠】已知央系统汗的状腿态空寄间表炎达式邪为：以T＝0.材5为采似样周组期，调采用辰双线粮性变荐换算酒法转雄换成爬离散乱系统支，然膀后求厘出离自散系断统的携单位拍阶跃聪响应舅、单摧位脉洗冲响拆应及吐零输谷入响歇应（盯设初喊始状替态x0=[映1烫1命1汗-1舍]T）解：MA扁TL鞋AB的程塌序为视：%E夫xa类mp奋le蒸5_续11努.mA1葵=[挂-1杠.6麻-哪0.穗9旦0群0;拴0.艘9错0跟0架0;鼻0.叨4携0.富5是-5恳.0哲-岛2.日45挺;0喘0秩2治.4回5桨0]业;B1还=[著1;躁0;断1;铜0]寻;C旺1=嘱[1疼1浪1终1照];者D1弓=0扯;T=台0.驼5;木[A蛋,B斥,C耕,D除]=跌c2认dm航(A巷1,愿B1齐,C吩1,沿D1质,T拣,'奸tu慎st认in睁')霞;fi季gu蝴re臣(1绑);否su蝇bp萌lo职t(编2,列2,她1)宽;d外st封ep数(A华,B顺,C光,D伟),践ti侨tl颗e(俩'D滑is井cr巧et蕉e拉st蚕ep腐r贪es之po蔑ns秩e'边)su馋bp挠lo很t(虫2,详2,读2)邮;d择im被pu呜ls袍e(幕A,读B,筑C,脾D)近,t矿it做le垂('拍Di绸sc巷re尘te巩i圆mp嫩ul场se鞭r堤es延po阔ns销e'长)su塞bp侦lo嫌t(牵2,腰2,泄3)赏;x谈0=母[1沸;1义;1洗;-竭1]汽;d茅in驼it禾ia排l(芹A,唯B,岗C,改D,捕x0筐)ax甩is课([嚷0扬6蚕-0赴.5伸2棒.5扯])货;t粉it本le取('币Di创sc冈re传te僻I被ni幕ti是al沾R削es川po纵ns柏e'载)su妈bp臭lo遭t(柏2,过2,渐4)磁;[念z,运p,椒k]养=s绣s2乒zp批(A疯,B堤,C注,D子);槽pz秧ma惠p(爬z,纽奉p)曾;ti四tl翅e(住'D死is碌cr衔et业ePo震le浪-Z研er喝o勒Ma存p'侄)图5-堤8例5－11的曲贼线6.任意扒输入蚁函数馆的响岗应连续顽系统住对任漏意输闷入函挥数的航响应朽可利敌用MA查TL钳AB的函踢数ls拌im(击)求取沙，其给调用筹格式钉为[y,恳x]=ls红im肥(nu善m,de心n,u,t)或[y,释x]=ls夫im去(A,楼B,餐C,璃D,闸iu,u,t)其中u为给拦定输悼入序喜列构拍成的粒矩阵烘，它着的每济列对俭应一德个输解入，胸每行祸对应陵一个巴新的驼时间免点，恼其行咸数与湖时间t的长顽度相谁等。固其他刊用法莲同st高ep爆(雅)函数屋。【例5－12棍】已知倍系统试求伟周期淹为4s的方眉波输锋出响孕应。解：森利用赚函数re推m()编写倦的MA秘TL泉AB程序蛾为：%e睁x5惜_1胃2.吓mnu钓m=帅[2罗5事1]啄;d伪en嘉=[共1修2勿3]鞋;t=闸(0恶:0老.1贴:1兔0)塞;p歇er躁io根d=艳4;习u=袖1*颈(re偿m(抓t,重pe昼ri察od)>框=p算er磁io主d.镜/2秆);ls坐im踩(n梅um冬,d慰en俭,u霸,t点);挑ti我tl牙e(粘'S击qu年ar于eWa懂re劫R土es上po零ns蠢e'勇)执行爸后可物得如落图5－9所示校的输优出响嘴应曲累线。图5-弯9例5－12的输异出响示应曲护线同样杯，离养散系拔统对牵任意凤输入袜函数礼的响搞应，秀可利撕用dl雄si惊m()函数矿求得仗，其麦基本膝调用哨格式粮为：[y,绵x]=dl宝si累m(熔nu杯m,杨de继n,眠u,肺n)或[y,刮x]=dl出si坏m(A,煤B,文C,晚D,扩iu,u,t)其中书，n为取季样点差数。【例5－13识】对离非散系绩统求当珠输入也为幅姜值±1的方药波信苦号时参，系路统的禁输出牛响应禽。解：MA纺TL延AB程序管为：%E涛xa斥mp甩le幅5_哭13系.mnu亿m=劝0.仇63惩2;茧de叨n=讽[1债-锐1.鸭36龄8派0.悄56游8]抗;u1安=[琴on兰es俯(1腥,5焰0)仆,-首1*俭on勺es碍(1涝,5昆0)技];u=绞[u栋1狐u1u1];fi坚gu阻re街(1摆),咐dl前si废m(辩nu服m,伴de兵n,姓u)企,t启it雹le萝('写Di页sc樱re塞te甲S懂ys彼te输m期Si棵mu棵la魂ti宅on翼')执行筋后可堪得如疼图5－10所示竭的仿晚真结洗果。图5-晚10例5－13的仿畏真结晕果5.阔3根轨忆迹法根轨品迹是化分析蝴和设宜计线者性定刺常系浸统的影一种器非常醉简便森的图构解方泄法，趣特别爆适用因于多视回路货系统肿的研慈究。所谓则根轨挤迹是妖指，坦当开刻环系震统的请某一乘参数聋从零旨变化袜到无鞭穷大敬时，详闭环骆系统汗的特筝征方哈程根复在s平面尘上所坦形成标的轨治迹。乏一般碧地，厉将这粗一参赵数选堆作开扶环系驻统的冒增益K，而在羞无零类极点葱对消挎时，专闭环咳系统榆特征称方程幸的根话就是染闭环赖传递仔函数调的极诱点。关于忆控制索系统负的根公轨迹欧分析蠢，在MA疏TL胶AB控制勿系统让工具验箱中序提供思了几浮个函绑数，斧如表5－2所示从。函数名说明pzmap()绘制系统的零极点图rlocus()绘制根轨迹rlocfind()求给定根的根轨迹增益sgrid()绘制连续系统的网格根轨迹。zgrid()绘制离散系统的网格根轨迹。表5－2根轨疤迹函好数1.绘制冰系统伪的零职极点借图pz初ma拖p(饲)函数处可绘美制系梦统的挺零极欺点图叠，其点调用天格式臭为[p,节z]=pz百ma摘p(A,导B,眨C,叫D)或[p,哪z]=pz垃ma唤p(p,延z)，[p,躺z]=pz矮ma盯p(nu再m,de酱n)其中辆，列茫向量p为系煮统极磁点位污置，插列向燥量z为系责统的覆零点执位置盯。对于鱼单变想量系辰统，取用pz恭ma葱p()函数限在复象平面银内可葵求出握系统江的的常零极赚点；过对单愁多变嘉量系佛统，妄用pz卧ma骨p()可求斥出系选统的圈特征轨向量雾和传捕递零蝴点。辅当带幻玉有输腾出变粗量时王，可设得到胞零极慢点位甲置，溉如需盖要可伶通过pz碰ma期p(p,狗z)绘制刊出零啄极点却图，匙图中坡的极紧点用培“×”表示区，零碰点用删“o”表示阁。2.绘制巧系统朴的根难轨迹对于助图5-滚11所示油的负柴反馈夫系统际，其悔特征下方程燃可表钥示为或利用rl漫oc回us(歪)函数设可绘两制出祥当开浙环增陵益K由0至∝述变化阻时，如闭环兽系统狐的特视征根犹在s平面电变化悼的轨伶迹，馅该函扣数的咱调用仆格式征为[r,宴K]=rl蜓oc温us筑(nu斯m,de骆n)[r,志K]=rl酷oc帐us丙(n表um棚,d网en,K)或[r,欠K]=rl妨oc贴us斤(A,禁B,危C,宝D)[r,学K]=rl碑oc临us荐(A,饼B,厉C,监D,饶K)其中处返宽回值r为系忌统的谷闭环莫极点着，K为相斗应的课增益壳。图5－11rl咏oc居us函数如既适鱼用于胡连续岸系统愧，也嚷适用符于离输散系照统。rl岛oc低us（nu仔m,根de注n）或rl洋oc全us（A,腔B,淹C,秒D）绘昼制系心统根彩轨迹哈时，丹增益K是自忌动选代取的容，rl踏oc替us（nu尺m,泳de步n,答K）或rl投oc邮us（A,扮B,做C,斜D,展K）可烟利用渴指定链的增轧益K来绘凭制系斑统的朗根轨庆迹。堂在不镜带有君输出齐变量似的引棒用函掀数时窑，rl欠oc撑us()可在姨当前昏图形挤窗口扶中绘暑制出做系统缩慧的根捎轨迹就图。起当带墓有输洒出变守量的弄引用寨函数伤时，完可得股到根诸轨迹巷的位对置列湿向量r及相奔应的偶增益K列向戏量，钻再利栗用pl踪蝶ot皮(r霉,’重x’)可绘谈制出警根轨列迹。在系卧统分糟析过既程中猜，常京常希丽望确墙定根厘轨迹闪上某铲一点帅处的蔽增益愤值K，这时浇可利贝用MA窗TL洋AB中的rl党oc闸fi桨nd(夕)函数塘，在毙使用扛此函莲数前跟要首拥先得何到系宜统的功根轨哥迹，强然后拳再执乏行如胳下命六令[K,po武le牲s]=rl绕oc卫fi汗nd燥(nu算m,de初n)或[K,po逼le芳s]=rl止oc绞fi牙nd敬(A,怨B,誉C,怖D)执行旺上述到命令他后，睁将在牵屏幕蹈上的子图形大中生劲成一锡个十严字光配标，恶使用淹鼠标扫移动厉它至浆所希豆望的速位置突，然台后敲材击鼠乞标左郊键即症可得煮到该腰极点拖的位肝置坐箭标值po筐le涛s以及恒它所纪对应糟的增洋益K值。例5-雕14已知愧某负妈反馈残系统嫁的开死环传牺递函性数为试绘筋制系叛统根翁轨迹蛾，并哄分析泽系统有稳定姓的K值范哗围。解：MA顷TL赤AB的程姜序为%E现xa男mp挡le贱5_对20暖.mnu个m=处1;核de舰n=功co谁nv悟([省1,洲0]猴,c胞on小v(论[1喇,1主],搁[1喝,2恐])音);rl表oc往us臭(n匪um睁,d扩en),[K表,p斤ol典es蔽]=rl读oc钳fi蚊nd毛(n往um绘,d膊en);执行障以上溜程序夕，并丑移动慈鼠标弟到根斗轨迹侍与虚咐轴的胡交点捐处单易击鼠夕标左各键后章可得惭如图5-役12所示填的根轮轨迹秘和如寸下结左果：se卸le穿ct收ed尖a区p趁oi撒nt逆i甚n鸽th予e点gr博ap尤hi乎cs峰w舱in鼠do浊wse改le渐ct栽ed茅_p楚oi战nt带=0.登00缴00粉-膊1趣.4夫14脂2iK纷=6.悠00叔00po椒le捆s迅=-3拒.0回00插00.露00个00湖+席1.似41惜42计i0.申00霸00宜-涛1热.4逃14精2i图5-剥12根轨翠迹图由此妈可见嘴根轨棵迹与役虚轴拢交点愚处的冒增益K=6，这说暂明当K<6时系哑统稳族定，御当K>6时，肉系统卵不稳绪定；弱利用rl患oc园fi年nd(影)函数繁也可脸找出给根轨抵迹从牵实轴允上的设分离守点处伸的增株益K=0棉.3贯8,这说他明当0<K<0弓.3兴8时，喷系统披为单溉调衰帜减稳泉定，雷当0.泼38戏<K<6时系项统为巩振荡帽衰减源稳定骂的。3.绘制奴阻尼谱系数早和自介然频亡率的息栅格甜线sg生ri身d（）技函数垮可在厦连续恒系统咽的根合轨迹者或零撞极点窗图上言绘制岗出栅命格线赛，栅的格线柏由等移阻尼浩系数昌和等盏自然捡频率召线构女成，呼阻尼侍系数泰的步心长为0.衫1；自江然频拢率赚的束步长邻为怀范围买为润。sg聚ri代d（）语函数负有以布下几碧种调倾用格扒式。sg剑ri羞d%在已距有的重图形亏上绘亩制栅董格线sg骗ri升d（’ne购w’）%先清妨除图舞形屏嚼幕，邻然后乏绘制出栅野格线激，并悼设置俩成ho共ld夸o箱n,使后续的傅绘图忍命令挣能绘怒制在练栅格陪上；sg由ri胖d（ze傍ta著,w泪n）%可指遇定阻偶尼系巾数迹和自末然频截率并且冠在绘投制栅绩格线遮之前射清除糟图形毁窗口脑。sg皇ri晨d（）告函数泉可在吨连续桐系统政的根蜻轨迹供或零伤极点粥图上哀绘制鹿出栅韵格线蹈，栅画格线窜由等犯阻尼序系数橡和等墙自然扰频率滩线构虏成，颂阻尼跨系数穿的步巩长为0.和1；自镰然频凶率莲的舰步长捏为侦范围蜜为乡丰。sg赖ri顿d（）田函数汁有以蔑下几傻种调敞用格虫式。sg享ri酸d%在已般有的西图形偷上绘芝制栅楼格线sg予ri据d（’ne絮w’）%先清蛛除图笋形屏舍幕，腐然后植绘制出栅岩格线岂，并禾设置船成ho盗ld浅o油n,使后续的稠绘图走命令兼能绘铲制在腹栅格羞上；sg娇ri轨d（ze阁ta敢,w菠n）%可指北定阻伤尼系齐数离和自怕然频新率并且宴在绘辫制栅剥格线怕之前掠清除伤图形秀窗口马。sgrid（）函数可在连续系统的根轨迹或零极点图上绘制出栅格线，栅格线由等阻尼系数和等自然频率线构成，阻尼系数的步长为0.1；自然频率的步长为范围为。sgrid（）函数有以下几种调用格式。sgrid%在已有的图形上绘制栅格线sgrid（’new’）%先清除图形屏幕，然后绘制出栅格线，并设置成holdon,使后续的绘图命令能绘制在栅格上；sgrid（zeta,wn）%可指定阻尼系数和自然频率并且在绘制栅格线之前清除图形窗口。【例5－15揭】已知旨系统连的开汤环传舒递函略数为毯：，绘棒制根兔轨迹位和栅熊格线稳。解：MA贼TL烫AB的程山序为nu止m=路[2倦5恼1浊];暂de政n=箱[1驴2尊3纲];rl挽oc绒us墓(n阀um脱,d见en穴);姻sg辫ri葡d;执行减后可嫂得如图图5－13所示响的仿蛾真结拦果。其中界圆圈伯是等慢阻尼刑系数仰曲线指，射污线为廉等自孩然频刃率曲娃线图5－13根轨肃迹5.梳4控制责系统烦的频平域分买析频域本分析罗方法屿是应携用频汉率特推性研陵究控阵制系片统的饼一种沟经典资方法滥。它讲的基俩本原猪理是匆，若估一个眼线性叛系统孝受到就频率厉为蚕的庸正弦钓信号草，但姓其幅广值M(丑)与输献入信咏号成乏比例粘关系场，而拒且输阀出与西输入矩信号腿之间涨有一阅个相持位差宫，M(昆)和做是伤关于他的有芳理函号数，逗这样锄就可竞以通知过M(隙)和隔来表拔示系谣统的播特征弃了。频率呆响应隔研究妄系统跌的频斜率行患为，贼从频枣率响炎应中点可得宴带宽谅、增海益、爸转折明频率米和闭感环系臭统稳抚定性饲等系素统特稳征。MA提TL闻AB的控慕制系疑统工鹅具箱切提供挖了多昨种求脾取线悠性系道统频烟率响细应曲筝线的嘴函数阀，如蠢表5-菌3所示炎。函数名功能函数名功能logspace()产生频率向量ngrid()尼柯尔斯网格线bode()连续系统的伯德图sigma()连续系统奇异值频率图dbode()离散系统的伯德图dsigma()离散系统奇异值频率图nyquist()连续系统的奈奎斯特图freqresp()求取频率响应值dnyquist()离散系统的奈奎斯特图evalfr()求取单个复数频率点处的频率响应值nichols()连续系统的尼柯尔斯曲线margin()求幅值裕量、相位裕量及对应的转折频率dnichols()离散系统的尼柯尔斯曲线表5－3频域钓响应宣函数1.产生匆频率暴向量频率器向量允可由lo柔gs燥pa窄ce(忽)函数简来构冤成。罢此函容数的脖调用追格式拒为ω=lo具gs达pa旗ce膜(m,n,np域ts)此命喂令可珠生成息一个怖以10为底瓶的指下数向晴量(1骑0m∽1桃0n)，点数含由np乔ts任意部选定吃。2.系统孤的伯纳德图巴（Bo族de图）毒设沃系统期的开遥环传诉递函付数为右：则系赢统的携频率范响应竹为：系统烟的伯拒德图甚就是布幅值亩与相年位狱分别弊对角配频率爱进疼行绘腐图。盖因此卵，也构称为窝幅频眨和相惑频曲贝线。德根据腐开环燥的幅庙频和湿相频前特性晶曲线指，可眉求出捏幅值衣裕量据和相守位裕晃量。连续虚系统侮的伯绒德图秋可利解用bo说de浊(导)函数层来绘配制，符其调臂用格搭式为[ma灶g,ph音as烘e,w]=材bo肺de湖(nu霉m,de诸n)[ma夺g,ph砌as众e,w]=bo垒de音(nu挤m,de雨n,w)[ma罪g,ph犁as怀e,w]=梅bo纤de脖(A,B,C,D)[ma诸g,ph差as革e,w]=bo袜de筹(A,B,C,D,iu)[ma蠢g,ph昏as绵e,w]=bo远de谁(A,B,C,D,iu,w)式中,nu桥m,de漂n和A,B,C,D分别络为系运统的盛开环腔传递回函数框和状家态方洞程的咐参数侍，而w为频伴率点你构成排的向融量。bo双de牌(n禾um连,d轧en)乖%可绘杆制出斜以传才递函略数G(宽s)=nu谋m(舒s)转/d挖en暂(s)表示影的系曾统Bo碍de图。bo卖de舒(A,B,C,D)强%可绘逗制出恰以状阿态空谢间表坚达式古所表脚示系点统的由每个促输入南的Bo纵de图。bo片de田(A,B,C,D,iu)%可得辟从系歼统第iu个输纱入到抛所有桑输出浆的Bo银de图，愉其中烘频率池范围千由函厘数自延动选芝取，堪而且锻在响腹应快采速变湿化的首位置停会自土动采葵用更所多取匀样点练。bo券de崖(n忍um比,d热en崖,w)和bo群de桃(A,B,C,D,iu控,w)%可利录用指煤定的罚频率末点向虽量夺绘糊制系使统的Bod偶e图。bo摆de函数戏本身物可以农通过愤输入疼元素婆的个叶数来播自动投地识泊别给乘出的宗是传棋递函箭数模御型还饱是状造态方顶程模伶型。老当带乏输出年变量边引用赌函数伏时，颗可得误到系钟统Bo套de图相密应的监幅值ma荐g，相口位ph猜as怎e及频究率点舞向量锅，其相互抓关系毕为相位铅以度含为单救位，绑幅值剥可转绸换成姨以分毫贝为庄单位女，即有了址这些锄数据摩就可腐以利旋用下悬面的MA偶TL谦AB命令>>完su嫂bp胶lo挺t(屯2,夺1,侨1)袜;s糊em碌il浪og坏x(锣w,屠20乡丰*l兰og至10奋(m劈燕ag离))>>怀su释bp赖lo烂t(说2,很1,灯2)翅;s克em蕉il艘og置x(污w,毫ph腰as瞎e)在同糕一个痕窗口芒上同粒时绘荡制出克系统旋的Bo滑de图了盒，其秧中前爸一条普命令刷中对辽幅值装向量ma熔g求取煌分贝(d穿B)值。如果狠只想往绘制顿出系县统的Bo示de图，吼而对烟获得这幅值吹和相份位的草具体株数值糠并不昂感兴姑趣，理则可蜘以采瘦用如肢下简雾单的都调用厉格式bo桌de寻(nu婚m,de庄n,ω)bo静de血(A,B,C,D,iu,ω）或更傅简单赠地bo荷de范(nu蚂m,de储n)bo城de驱(A,B,C,D,iu)例5-笑16已知悔二阶星系统弦的开齐环传截递函塘数为绘制忙出当a分别侧取0.恼2,购0.芳4,舒0.镇6,初0.攀8,案1.矿0时系右统的Bo笼de图。解：当a取0.狠2,吗0.卡4,湖0.杨6,邪0.大8,挂1.创0时二蝇阶系盛统的Bo任de图可债直接扮采用bo驴de茂(介)函数案得到对。MA顾TL妙AB程序周为：%e锦x5倡_1磁6.控mw=宜lo领gs汇pa励ce叶(0识,1泪);a=沟[0耗.2域:0帝.2汇:1顺.0骆];fi殊gu动re即(1牛);母nu橡m=苗9;fo驶r麦k筑=ade垫n=严[1危,6帮*k挽,乐9]庙;bo愁de恢(n栗um百,d说en,腔w)希;ho新ld粉o精nen唯dgr乎id糠;ti跃tl兽e(油‘B溉od阿epl毛ot总’)传;ho荡ld帆o蚊ff执行归后得舅如图5-爬14所示Bo肿de图。从图萄中可低以看拢出，醋当ω→0时，酸相角费趋于0，当ω→∞时，访相角学趋于-1粘800，当ω=ωn时，害相角蓄等于-9调00，此充时的读幅值迅也最之大。图5－14区B介od找e图3.幅值匀裕量搬和相换位裕接量在判批断系斥统稳颈定性卧时，逼常常撕需要否求出肿系统仆的幅摊值裕茧量和巩相位炸裕量粗。利粮用MA户TL招AB控制新系统崖工具占箱提漠供的ma佣rg血in颂(姑)函数跑可以计求出损系统连的幅定值裕窃量与寒相位宣裕量唉，该耍函数央的调俱用格喝式为[Gm,Pm,Wcg固,Wcp]=守ma通rg权in肠(n岗um绝,d甘en蛇)或[Gm,Pm,Wcg甜,Wcp]=骆ma霉rg渐in车(A,B,C,D)式中Gm和Pm分别雷为系坚统的刮幅值惑裕量辽和相密位裕滚量，嗓而Wcg和Wcp分别响为幅忠值裕滋量和券相位哄裕量匆处相狠应的皱频率终值，顷即相驶位穿予越频秤率当和幅揭值穿晶越毛。幅值漠裕量h:对于意闭环活稳定睬系统办，如旗果系育统开梨环幅伶频特图性再耕增大h倍，练系统日临界拖稳定撒。相位丈裕量左：对于铅闭环业稳定具系统浙，如凯果系页统开楚环相频特面性再互滞后狭度，聪系统介临界奇稳定炉。例5-昼17给定范系统徐的开境环状统态空雁间表那达式规为求系高统的神幅值奋裕量红和相论位裕趁量，封并画砍出Bo俗de图。解：MA纺TL扑AB程序易为：%e羡x5凡_1查7.冷mw=仍lo剪gs您pa闯ce害(-摔1,劲1)晨;A=上[0腊1轿0炊0士;0雪0撤1螺0谊;0今0陆0征1匆;-肌62句.5岂-捡21包3.联8饥-2灿04屈.2骗-排54困];B=厌[0高;0刊;0肯;1凭];C=福[1聚56冻2墨18捧75次0歉0冠];挤D=浅0;[Gm小,P盯m,鼓Wc能g,采Wc杂p]=联ma仅rg欠in项(A芹,B播,C剑,D季),咽bo优de肆(A揭,B布,C常,D勉,1气,w迈);di亡sp([渗‘幅值霞裕量=’握,n韵um置2s杯tr葡(2学0*斗lo晒g1己0(秤Gm枕))插,‘谦dB你,’思,‘相位职裕量=’馋,n乘um蒜2s棉tr关(P食m)胞,‘度。']职);ti巩tl滑e(底[‘崖Ga街in矩m古ar羡gi伤n=巷’,监nu在m2大st前r(磁Gm他),套‘全Ph社as巷e饰ma齿rg踢in册=’布nu咳m2做st芝r(神Pm歌)]规)执行询后得漠如下象数据集及图5-歼15所示Bo拍de图。Gm评=4.坟49冬22Pm球=23臂.0订70虾5Wc练g=12映.6露46甜6Wc密p=5.丽82预75幅值架裕量=1说3.料04莲92王dB，相位滔裕量=2渡3.坡07杂05度，敢即ω＝12袭.6逢46劈燕6时，集相位睡曲线剩穿越天－18魂0线，执幅值欣裕量碍为Gm劈燕=4偿.4喂92润2=预13幻玉.0快49祸2d浇B。ω＝5.料82席75时，控系统奖的幅乖值为1，相画位裕刚量为Pm为23抢.0名70困5度。图5-皱15与B绍od倦e图除了吧根据灵系统驻模型剧直接德求取河幅值逼和相姿位裕粗量之志外，MA响TL绿AB的控窑制系灰统工宅具箱保中还让提供管了由谜幅值晚和相笔位相葱应数探据来肆求取骗裕量撤的方崖法，祸这时止函数妻的调都用格牧式为[Gm,Pm,Wcg值,Wcp]=ma些rg房诚in执(ma批g,ph纤as奶e,w)式中,频率仓响应滨可以忘是由bo茄de伸(膀)函数盈获得舱的幅洞值和编相位桑向量扛，也要可以杜是系阵统的付实测裹幅值蜻与相搁位向宫量，w为相津应的汉频率智点向街量。4.频率崭响应寺值MA闭TL厘AB也提接供了拜直接仆的求虚取频妨率响呢应数狐据的吩函数fr荷eq冈re痕sp(开),其调摔用格讯式为F=f吐re访qr折es恰p(nu驼m,de眯n,s克qr绳t(僻-1搂)*w)或F=f织re饮qr台es逼p(A,B,C,D,iu,s眯qr裹t(俯-1橡)*w)式中,F为频逼率响谷应，w为给醒定的示频率导范围纯向量既。例【5－18池】已知棋系统馒的传巧递函踢数为求在连频率黑为0.恶1~讯10之间婚的频版率响纱应。解：MA锤TL疫AB程序备为：%e六x5泪_1也8.光mw=粘lo尚gs贴pa委ce秒(-内1,大1)眠;n崭um筒=[剥1乳7厚24防2皂4]解;d锁en示=[胃1追10峰3蜓5偏50避2盾4]缠;F=爱fr脊eq侮re厅sp尊(n闪um渣,d拣en婚,s慈qr古t(俊-1它)*拜w)结果皆显示贤：F单=0.芽98依92毁-沫0阴.1美07料3i0.是98雄70掠-鉴0洁.1乳17狠6i0.扭98克43骑-和0薄.1娘28霞9i0.渔02尊66染-砍0部.0趋98义3i0.练02隶39欲-仆0割.0熟91景9i0.匙02滩12慨-买0绿.0言85唤7iMA宁TL盒AB也提影供了疮直接天求取LT其I系统洒（LT庸I系统研的定徐义参帆见第差九章廉）在夏单个旨复数短频率睡点处隶的频例率响享应数牛据的铃函数ev育al碑fr()，其咐调用程格式脚为：F=ev症al粒fr乖(s舞ys捐,w)式中偿，F为频指率响蛛应，w为给艘定的缎频率胖向量抬。例【5－19魔】求例5－18所示蛾系统受在频迈率等绒于0.黄1的频晓率向嫩量。解：MA很TL眉AB程序蛙为：%e产x5贤_1简9.障mw=港0+萍0.聚1j毫;n厨um狸=[倚1咳7羊24老2澡4]更;d尘en仿=[药1匆10赢3利5网50朗2添4]叮;s驾ys露=tf诱(n及um寇,d彻en聚);差F=ev拐al壶fr脱(s疾ys补,w);结果琴显示漆：F＝0.矮98陕92帐-园0隐.1慌07尿3i5.系统今的奈弱奎斯芝特图绘（Ny炊qu睬is低t图）Ny倒qu痛is排t图是饿根据瓣开环级频率笑特性G(jω)H惩(jω)在复呼平面捞上绘晚制其活极坐尿标图扑，利犯用开格环系币统的Ny止qu塞is升t曲线静，可壁判断踩变换泊系统逮的稳齿定性遵。Ny陷qu脆is低t稳定偿性判脊据可佳表示董为：丢当ω从－晶∞研→+渔∞变化锻时，Ny谋qu夜is欲t曲线G(jω)H避(jω)逆时沫针包红围(-字1,奔j0达)点的寨次数N，等奋于系脆统开店环传铸递函圆数G(录s)铅H(递s)位于论右半s平面孟的极继点数P，即N＝P，则赢闭环递系统拐稳定小，否不则闭断环系棕统不捕稳定象。ny志qu疫is诞t(环)函数丑的调虽用格饱式为[Re,Im,w]=ny钻qu彩is勺t(nu配m,de孝n)[Re,Im,w]=ny外qu部is忽t(nu搂m,de蹦n,w)[Re,Im,w]=ny闹qu庄is餐t(A,B,C,D)[Re,Im,w]=ny赌qu哪is棋t(A,B,C,D,iu)[Re,Im,w]=ny爬qu痛is捆t(A,B,C,D,iu,w)其中通返回辅值Re,Im和w分别腥为频萌率特党性的温实部组向量手、虚表部向析量和纹对应书的频虾率向袍量，薪有了食这些季值就躲可利迅用命膨令pl继ot奔(Re,Im)来直绕接绘碧出系碑统的应奈奎晃斯特驳图。当然萌也可辅使用要下面宰的简斯单命始令来伴直接咸绘出脆系统栏的奈团奎斯和特图托。ny锡qu学is迷t(nu补m,de朴n,w)或ny宫qu汪is上t(A,B,C,D)更简洋单地ny瘦qu页is拘t(nu榨m,de仗n)或ny颂qu朗is颤t(A,B,C,D,iu)它的率使用喘方法伯基本援同bo否de箩(摸)函数炭的用熄法。例5-塑26已知圣系统罪的开颂环传桨递函队数为绘制Ny视qu愉is关t图，盗并判拼断系皱统的梁稳定筛性。解MA坟TL讨AB命令滤为>>幸nu波m=秘0.孔5;条de谦n=源[1码2垒1远0.乏5]啊;>>ny左qu株is膝t(池nu合m,惕de搏n)执行灭后可峰得如叛图5-袋16所示族的曲点线，剑由于Ny仗qu溜is宵t曲线晴没有稻包围(-帮1,射j0体)点，颗且P＝0，所以寄由G(s护)H(s尼)构成随的单德位负拳反馈趟闭环载系统缸稳定挑。图5-布16例5－20的Ny遍qu漏is惜t曲线例【5－21碑】已知解系统熄的开丛环传洽递函衬数为量：绘制户系统吓的Ny鼓qu松is草t曲线曲，并体判别头闭环仆系统反的稳灶定性衣。解：MA犁TL衰AB命令沙为：k=旁50缓;z添=[顾];昨p=您[-尽5肢2]柳;[nu倒m,散de码n]=焦zp蔑2t熟f(狮z,和p,生k)次;n贱yq缺ui痕st霉(n搬um啊,d处en位)执行哨后可浆得如现图5－21所示付的Ny讨qu滨is精t曲线商。由蝴图可紫知，Ny幼qu换is拍t曲线枣按逆让时针要方向佳包围(-舅1,铁j0肾)点1次，通而开带环系愁统包鼠含右冤半s平面寨上的宇一个汁极点傅，所咽以以辫此构再成的封闭环渠系统港稳定臭。图5-转17例5－21的Ny垃qu斜is鹅t曲线例【5－22及】已知赌多环故系统其系涛统方