自主专家笔试指导数学zzzs

组合数学主要研究满足一定条件的组态（也称组合模型）的存在、计数以及构造等方面的问题.组合数学的主要内容有组合计数、组合设计、组合优化等.相对而言，组合问题更有区分度，更能考查出考生的想法，所以近几年的高考与自主招生考试，均把组合部分列为重点考查的内容之一，在数量上占有较大的比例题，组合计数理论是组合数学中一个最基本的研究方向，主要研究满足一定条件的安排方式的数目及其计数问题.SSS计算它所含元的个数就加，所以，如何计的问题长期以一直是人关.从考虑问题；在总数中减去A不出现的个数得到A出现的个数4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花， A B C D15种不同方法。然后再把下图粘成圆形即可，下面解决两端元素相同的情况。在这种情况下我们15种不同方法，然后再把最下图粘成圆环形，把两端的两格粘在一起看成一个格即可，综上，共有4(1515)120种方法。第二类：3区和6区、2区和5区、1区、4区各栽花。共有43215120种。2.(2012年)红蓝两色车、马、棋子各一枚，将这六枚棋子排成一列，其中每对同字的棋子中，均为红色棋子，蓝色棋子在后，则不同的排列方式有（C）A36 B60 C90 D1203.（2004高中数赛）设三位数nabc，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三n有（C）A.45 B.81 C.165 D.2164.（2012年）已知6

50x2xx,x

10个数中，等于-6的数共有（ A B C D789789 多的元素个数为6+5+1=12个．军是一支南方球队.（注：每场比赛获胜队得1分，负队得0分解：xx92x92x所有球队总得分为

2x9x 2x9x4，北方球队总得分为 2x9x4 南方球队内部比赛总得分

，北方球队内部比赛总得分

xx1

x 1116 1因为 2x9(x4)为整数，所以x6或x8 2x92x当x6时，所有球队总得分为C2x9

南方球队内部比赛总得分 105，北方球队内部比赛总得分C2 分超过11分,故冠军在南方球队中.当x8时,所有球队总得分为

南方球队内部比赛总得分 136,北方球队内部比赛总得分C2 北方胜南方得分=30-28=2,北方球队最高得分=7+2=9,9×17=153270,所以南方球队中至少有一支得分超过9分,故冠军在南方球队中.任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9（0,9（1,8（2,7（3,6（4,5，B（1）两位数有C222A2C1272 三位数有C323A3C222A2432 少要从一个数对中取出两个数，则该两个数字之和为9，。四位数有C424A4C323A3 1,2,3的四位数有3C323A35761081 的规则重新装入集装箱中，将货物依次取出，依次放入集装箱中，集装箱体积都是1，且每个集装箱最多放两（0.5，0.5）,（0.7，0.33个集装箱去装它们，问在的情况时需多少个集装箱．解：要199个集装箱1，记它们的体积为a1a2a200，则a1a2a3a4a199a200100，，因此至多需要199个集装箱.0.5002,0.5003,0.5004,…,0.5100,0.5000.4999,0.4998,0.4997,…,0.4901,0.490. n记k(A)为r1(A)，r2(A)，…，rm(A)，c1(A)，c2(A)cnA中的最小值A，求kA1111cab k(A)的最大值∴kA若kA1则|c1A||a1|a11ab0ababc∴c1abab0kA1 ，an。对i

，an的最小值记为Bi，diAiBi。设d1，d2 ，dn1是公差大于0的等差数列，且d10，明a1，a2， 证明：先证明an最小。假设a1最小，则d1a1min{a2,a3,,an}0，与条件假设ak(1kn1最小，则dkmax{a1a2ak1min{ak1ak2an由以上可知：an最小。 假设am(1mn1是第一个使得amam1dmam1an，dm1am1an，所以dmdm1与条件dkakan，所以dk1dka1kakd2.（2013年 ）已知有mn个实数，排列成mn阶数阵，记作aij 递增的，即对任意的i123、、m，当j1j2时，都有aijaij.现将aij 上到下递增的顺序排列形成一个新的mn阶数阵记作aij即对任意的j123、、n当i1i2时，都有aijaij.试判断aij 中每一行的n个数的大小关系，并说明理由. aij中每一行的ni123m，都有aijaij1，其中j123、、n1.假设a/pq，a/p(q1)是 中第一组使得a 的数字，则数阵 中，第q1列的aij p( ij

1(q1) 共个数都比

ap(q1)

a

ij邻的一列中（第q列）的数分别都小于p个数中的每个数，则a 中的这p个数都小于a/，又因这pij ij aij的第p1行，与假设 。所以对于任意i123、、m，都有aijai(j1)，即数阵aij中每一行的n个数从左到右都是递增的 1（2013年）在66的表中停放3辆完全相同的红色和三辆完全相同的黑色车，每一行每一列只停一辆 A B C D6664种选择。三辆红色车的位置选定后，黑色车的位置有3！=6种选择。所以共有C36546144006 ）A B C D5555设A1,2,,10，若“方程x2bxc0满足b,cA，且方程至少有一根aA就称该方程为“漂 亮方程当一根为-2时，有3个满足题意的“漂亮方程”.共有12个，故选C. A． n3n50C r62r2

44r，由于0r3r1n13C已知两个实数集合A={a1,a2,…,a100}与B={b1,b2,…,b50}，若从A到B的映射f使得B中的每一个元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)，则这样的映射共有( C

CC

C

CC

,第i组的元素在f之下的象都是bi(i=1,2,…,50)，这样的f满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足则这样的映射共有C49，故选D6（2004年交大）已知a,b,c为三角形三边的长且均为正整数，若b=n，且abc，则满足条件三角形 .（用n表示）综上，所求三角形的个数为12 nn(n1)个27（2003 C1C2

2n解：分发数位 2n11。 8（2000年交大联读班）从自然数1至100中任取2个相乘，其结果有3的倍数的情况有 所以取法总数为C1C1C1C22739343333（m,n)为“简单的”有序数对，m+n称为有序数对（m,n)的值，那么值为1942的“简单的 位是1。所以两个数的百位只能在9-0，8-1，7-2，6-3，5-4，4-5，3-6，2-7，1-8，0-9中选取一组，两个数的十位只能在4-0，3-1，2-2，1-3，0-4中选取选取一组，两个数的个 99 【解析】1开头的数字共有C470个；2开头的数字共有C43510022 设坐标平面内有一个质点从原点出发，每次沿坐标轴向正方向或负方向跳动1个单位，经过10次跳动质点落在点2,4处，则质点不同的运动方法共有 x轴正方向平移了a个单位，沿负方向平移by轴正方向平移了c个单位，沿负方向平移d个单位，据题意有： ab

ab

ab

ab cd 4abcd 108 107 106C2C6C2+C3C108 107 106方程2x1x2x3x103的非负整数多少组解：因为02x13x1x10x119当x11时，则必有某个xi1(2i10)，其余xj1(2j10,ij)，这样的 当x10时，分三种情形：99（1）有某个xi3(2i10)，则其余xj0(2j10,ij)，这样 有C19组9（2）xi2(2i10)xj1(2j10,ijxk0(2j10ki,j，这样的有C1C172组；9xi

组,已知集合S{X|X(x,x ,x),xN*,i1, ,n}(n ,bnann anRAB之间的距离为dAB|aibi（Ⅰ）当n5A12,12,a5)B2,4,2,1,3)．若d(AB7，求a5（）（）AB,CSn，且0ABBC，则d(ABd(B,Cd(A,C（ⅱ）AB,CSn，且d(ABd(B,C)d(A,C．是否一定0ABBC？（Ⅲ）记I ,1)Sn．若A，BSn，且d(I,A)d(I,B)p，求d(A,B)的最大值5（Ⅰ）解：当n5时，由dAB|aibi|7|12||24||12||21||a53|7|a53|2．由aN*，得a1，或a5． （Ⅱ（ⅰ） 因为0，使ABBC所以0，使得(b1a1,b2a2 即0，使得biai(cibi)，其中i1,2, ,n．所以biai与cibi(i1, dABd(B,C|aibi||bici

(|biai||cibin|ciai|d(A,C)（ⅱ）AB,CSn，且d(ABd(B,C)d(A,C，此时不一定0ABBC．反例如下：取A ,1)，B(1,2,1,1,,1)，C(2,2, ,1)则dA,B)1d(B,C)2d(A,C)3，显然d(A,B)d(B,C)d(A,C)因为AB(0,1,0, ,0)，BC(1,0,1,0, ,0)所以不存在ABBCn（Ⅲ）解法一：因为dAB|biai设biai(i1, ,n)中有m(mn)项为非负数，nm项为负数不妨设i1, ,m时biai0im1m nbiai0n所以dAB|biai[(b1b2 a2 d(I,A)d(I,B)p 所以(ai1)(bi1)，整理得ai n d(A,B)|biai|2[b1b2

bm(b1b2 (pn)(nm)1pm又a1a2 amm1m所以d(A,B)2[b1b2 bm(a1a2 2[(pm)m]2pdAB2p对于A ,1,p1)，B(p ,1)，有A，BSn，且d(I,A)d(I,B)pd(A,B)2p解法二xyR，则有|xy||x||y|．证明：因为|x|x|x||y|y|y|， 所以(|x||y|xy|x||y|，即|xy||x||y 所以dAB|biai||bi1)1ai n(|bi1||1ai |ai1||bi1|2p 上式等号成立的条件为ai1，或bi1，所以dAB)2p对于A ,1,p1)，B(pd(A,B)2p

,1)，有ABSnd(I,Ad(IBpAxxn!nnN，B是AN求证：无法从B1na1a1d，则naa1，此时n!nn(modd)，故n!n可写为a1(n1)d的形式，即在这个等差数列中，但n!nB，。故无法从B中取出一个等差数列。1假设7kA，显然k1.令n!n7k，即n[(n1)!1]7k。由于7为素数，故存在正整数i，使得n7i，所以(n1)!17ki若i1，则(n1)!能被7整除，(n1)!1也能被7整除，但它们是相邻自然数，不可能，故；若i1，则n7，直接验证7!7不在等比数列中。由以上可知，等比数列中无ASn{(x1x2 x

,

是正整数1, ,

}(n2)，函数g(x)1,x big(aia1g(aia2 g(aiai1i 为排列a1,a2

（Ⅰ）当n6时，写出排列3,5,1,46,2的生成列及排列0,1,2,3,4,3证明：若a1a2an和a1a2,,anSnSna1a2an，定义变换a1a2,,an从左