14量子力学课件第四章-量子力学

第四章态和力学量的表象可以表示为其他变量的函数量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象

的函数坐标表象动量表象任意算符表象作用在波函数(的函数)上的算符一.坐标表象§4-1态的表象体系状态波函数为：动量算符的本征函数：设:动量表象:在坐标表象中已知:组成完全系则:t时刻x附近x—x+dx范围内找到粒子的几率t时刻在描述的状态下测量动量，所得结果在p—p+dp范围内的几率知知

和描写同一状态在坐标表象中在动量表象中二.实例：1.描写的是动量为的自由粒子的状态2.在坐标表象中具有确定值的本征函数

是属于的本征函数结论:算符在自身表象中具有确定本征值的本征函数是δ函数三.推广到Q表象：(Q为任意力学量)设:具有分立本征值:组成完全系数列:

所描写的状态在Q表象中的表示四.Q表象中波函数的矩阵表示：Q算符具有分立谱:|an|2表示在态中测量力学量Q得到结果为Qn的几率.例：它在氢原子能量表象中的矩阵形式为：2.力学量Q的本征值部分分立部分连续时，在Q表象中的矩阵形式：3.几种矩阵:(1)转置矩阵:A的第m行第n列元素矩阵元(2)复共轭矩阵:(3)共轭矩阵:(4)厄米矩阵(方阵)若方阵A满足:则此方阵为厄米矩阵性质:性质:厄米矩阵本征值是实数实数五.Q表象中波函数的归一化：n行1列1行n列六.表象的几何意义：粒子的一个状态可以在不同的表象中用波函数描述,所取表象不同.波函数形式不同,但他们描写同一状态.例如:矢量在直角坐标系中:在求坐标系中:类比:1.态矢量:2.Q表象:基矢分量3.希尔伯特空间:(不确定维)态矢量所在的,以的无数个本征函数为基矢的函数空间称为希尔伯特空间.4.常用表象:动量表象坐标表象能量表象角动量表象§4-2算符的矩阵表示一.算符的矩阵表示：若:则:在坐标表象中:用从左作用上式两端并积分:矩阵元n行n列矩阵对连续本征函数也适用二.表示算符的矩阵的特点：厄米算符在Q表象中为厄米矩阵三.算符在自身表象中的矩阵：算符在自身表象中的矩阵为对角阵§4-3量子力学公式的矩阵表示一.平均值公式：二.本征值方程：中至少有一个不为零方程组有非零解的条件:久期方程解久期方程得:把本征值带入本征值方程:三.薛定谔方程：4.5

已知在和的共同表象中,算符与的矩阵形式分别为:求其本征值及相应的本征函数。本征函数为

设的本征值为λ则其本征值方程为：当时:利用归一化条件:当时:利用归一化条件:同理:4.1同理:4.24.34.4§4-4么正变换一.变换矩阵S：问题:和关系如何？把按展开:S称为由A表象→B表象的变换矩阵

在A表象中的矩阵表示

在A表象中的矩阵表示S为n行β列矩阵

在A表象中的矩阵表示二.变换矩阵S的性质：S为么正矩阵A是α行n列矩阵B是n行β列矩阵AB是α

行β列矩阵三.么正变换：由么正矩阵表示的变换为么正变换四.由A表象到B表象：四.态矢量由A表象到B表象：五.么正变换不改变本征值：证明:A表象中B表象中设F算符的本征函数F在B表象中的本征值仍为λ六.求本征值的方法：在A表象中（1）若已知F在A表象中的矩阵F和A表象的基矢（2）已知F表象的基矢S由F在A表象中的每一组本征矢排成一列组成

为对角阵，对角线上的元素即F的本征值（3）用S把F变换到自身表象补充1：设厄米算符、满足：分别在A和B表象中写出算符、的矩阵表示，并求出它们的本征值和本征函数，最后给出由A表象到B表象的幺正变换矩阵。

:

同理：

设：

是厄米算符在A中:设A属于a=+1的本征函数为:同理：

设B于b=+1的本征函数为:同理：

补充2：求证：并在A表象中求出、的矩阵表示。证明：

两边左乘：

两边右乘：

设算符、、满足：***解：

（1）+（2）得：

同理：设：

带入

同理：满足：补充3：在表象中，求的矩阵表示。解：

算符的本征函数：补充4:已知算符、满足